Série nº6 : postulats de mécanique quantique -Mécanique quan

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Exercice n°1 : Postulats de Mécanique Quantique (Série n°6)

Année universitaire 2023-2024, FST Mohammedia, Département de Physique, Pr. HABBOU.

On considère un système physique dont l'espace des états, de 3 dimensions, est rapporté à la base orthonormée {|u₁⟩, |u₂⟩, |u₃⟩}.

Les opérateurs L et S sont définis par :

L|u₁⟩ = |u₁⟩ ; S|u₁⟩ = |u₃⟩
L|u₂⟩ = 0 ; S|u₂⟩ = |u₂⟩
L|u₃⟩ = -|u₃⟩ ; S|u₃⟩ = |u₁⟩

1°) Écrire les matrices représentant les opérateurs L, L², S et S² dans la base {|u₁⟩, |u₂⟩, |u₃⟩}. Ces opérateurs sont-ils hermitiques ?

2°) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de L et S.

3°) L² et S forment-ils un ECOC (Ensemble Complet d'Observables qui Commutent) ? Donner une base de vecteurs propres communs.

Exercice n°2 : Opérateur matriciel

Dans un espace vectoriel à 2 dimensions, on considère l'opérateur dont la matrice, dans une base orthonormée {|u₁⟩, |u₂⟩}, s'écrit :

M =
( 0 i )
( i 0 )

1°) L'opérateur M est-il hermitique ?

2°) Calculer ses valeurs propres.

3°) Trouver les vecteurs propres associés.

4°) Calculer les matrices représentant les projecteurs sur ces vecteurs propres.

5°) Vérifier que ces projecteurs satisfont aux relations d'orthogonalité et de fermeture.

Exercice n°3 : Hamiltonien et probabilités

Un système physique est de dimension deux dans l'espace des états, dont on choisit une base {|φ₁⟩, |φ₂⟩}. La matrice représentant l'Hamiltonien H du système dans cette base s'écrit :

H =
( A₁ W )
( W A₂ )

1°) Expliquer pourquoi A₁, A₂ et W ne peuvent pas être des nombres complexes.

2°) Sachant que A₁ = A₂ = 0 :

a) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres normés correspondants |v₁⟩, |v₂⟩, de H.

b) L'état du système à l'instant t = 0 est |Ψ(0)⟩ = |φ₁⟩.

i- Écrire |φ₁⟩ et |φ₂⟩ en fonction de |v₁⟩ et |v₂⟩.
j- Calculer la probabilité P de trouver le système dans l'état |φ₂⟩.

Exercice n°4 : Opérateur différentiel et fonctions propres

Soit L un opérateur qui peut s'écrire sous la forme L = -i d/dθ, agissant sur des fonctions d'onde dans l'intervalle 0 ≤ θ ≤ 2π.

1°) On appelle m la valeur propre, réelle, de cet opérateur et φ_m la fonction propre correspondante.

a) Trouver la forme des fonctions propres normées.

b) Quelle propriété doit vérifier m sachant que φ_m doit avoir la même valeur pour θ = 0 et θ = 2π (φ_m(0) = φ_m(2π)) ?

2°) L'état du système est décrit par une fonction d'onde Ψ = A cos(2θ). Trouver la valeur de A pour que Ψ soit normée.

3°) Exprimer Ψ en fonction des fonctions propres φ_m.

4°) Quelles sont les valeurs possibles de m ?

Exercice n°5 : Mesures d'observables et évolution temporelle

On considère un système physique dont l'espace des états E₃ est de dimension 3. Soit {|u₁⟩, |u₂⟩, |u₃⟩} une base orthonormée de cet espace. L'opérateur hamiltonien H et l'observable A s'écrivent dans cette base sous la forme matricielle suivante :

H = ħω₀
( 1 0 0 )
( 0 2 0 )
( 0 0 2 )

A = a
( 0 1 0 )
( 1 0 0 )
( 0 0 2 )

avec a ∈ ℝ* (a est un nombre réel non nul).

1°) Quels sont les valeurs propres et les vecteurs propres de H et A ?

2°) Dans cette question, on suppose que le système est dans l'état initial :

|Ψ(0)⟩ = |u₁⟩ + (1/√2) |u₂⟩ + (1/√2) |u₃⟩

a) L'état |Ψ(0)⟩ est-il normalisé ? Sinon, le normaliser.

b) Écrire |Ψ(0)⟩ dans les bases propres de H et A respectivement.

c) On effectue une mesure de l'énergie du système. Quels résultats peut-on trouver et avec quelles probabilités ? Quel est l'état du système après la mesure ?

d) On mesure A. Quels résultats peut-on trouver et avec quelles probabilités ?

e) Calculer les valeurs moyennes des grandeurs physiques associées à H et A lorsque le système est dans l'état |Ψ(0)⟩.

3°) On suppose que le système est dans l'état |Ψ(0)⟩ à t=0.

a) Donner le ket |Ψ(t)⟩ représentant l'état du système à l'instant t > 0 dans la base {|uᵢ⟩}.

b) Est-ce que les observables H et A sont des constantes du mouvement ?

c) On effectue une mesure de A à l'instant t. Quels résultats peut-on trouver et avec quelles probabilités ?

d) Calculer les valeurs moyennes de H et A à l'instant t.

Foire Aux Questions (FAQ) sur la Mécanique Quantique

Qu'est-ce qu'un opérateur hermitique en mécanique quantique ?

Un opérateur hermitique, ou auto-adjoint, est un opérateur égal à son adjoint hermitique. En mécanique quantique, les observables (grandeurs physiques mesurables comme l'énergie, la position, l'impulsion) sont représentées par des opérateurs hermitiques. Leurs valeurs propres sont toujours réelles, ce qui correspond aux résultats possibles de mesure de ces grandeurs physiques, et leurs vecteurs propres associés forment une base complète.

Pourquoi est-il nécessaire de normaliser les vecteurs d'état ?

En mécanique quantique, un vecteur d'état |Ψ⟩ représente l'état d'un système. La normalisation assure que la somme des probabilités de trouver le système dans tous les états possibles est égale à 1. Mathématiquement, cela signifie que le produit scalaire du vecteur d'état avec lui-même est égal à l'unité : ⟨Ψ|Ψ⟩ = 1.

Qu'est-ce qu'un ECOC (Ensemble Complet d'Observables qui Commutent) ?

Un ECOC est un ensemble d'observables (opérateurs hermitiques) qui commutent entre elles et dont les valeurs propres permettent de définir de manière unique l'état du système. En d'autres termes, si on mesure toutes les observables d'un ECOC, on peut identifier sans ambiguïté l'état quantique du système. Cela est crucial pour caractériser complètement un système.