Série n°6 : postulats de la mécanique quantique -Mécanique q

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Exercice 1 : Mesures et Opérateurs en Mécanique Quantique

On considère un système physique dont l'espace des états, qui est à 3 dimensions, est rapporté à la base orthonormée formée par |u₁⟩, |u₂⟩ et |u₃⟩. Dans la base de ces 3 vecteurs, l'opérateur Hamiltonien H et l'observable A s'écrivent :

L'opérateur H est représenté par la matrice :

H = ħω₀ [[1, 0, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 2]]

L'observable A est représentée par la matrice :

A = a [[1, 0, 0], [0, 0, 1], [0, 1, 0]]

où ω₀ et a sont des constantes réelles positives.

Le système se trouve à t = 0 dans l'état :

|Ψ₀⟩ = (1/√2)|u₁⟩ + (1/2)|u₂⟩ + (1/2)|u₃⟩

On mesure à l'instant t=0 l'énergie du système. Quelles valeurs peut-on trouver et avec quelles probabilités ?
Calculer pour le système dans l'état |Ψ₀⟩, la valeur moyenne ⟨H⟩ et l'écart quadratique moyen ΔH.
Au lieu de mesurer H à l'instant t = 0, on mesure A. Quels résultats peut-on trouver et avec quelle probabilité ? Quel est le vecteur d'état immédiatement après la mesure ?
Calculer le vecteur d'état |Ψ(t)⟩ du système à l'instant t.

Exercice 2 : Hamiltonien et Évolution d'un Système Quantique

Un système physique est de dimension deux dans l'espace des états, dont on choisit une base {|φ₁⟩, |φ₂⟩}. La matrice représentant l'Hamiltonien H du système dans cette base s'écrit :

H = [[A₁, W], [W, A₂]]

Expliquer pourquoi A₁, A₂ et W ne peuvent pas être des nombres complexes.
Sachant que A₁ = A₂ = 0 :
1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres normés correspondants |v₁⟩, |v₂⟩, de H.
2. L'état du système à l'instant t = 0 est |Ψ(0)⟩ = |φ₁⟩.
  1. Écrire |φ₁⟩ et |φ₂⟩ en fonction de |v₁⟩ et |v₂⟩.
  2. Calculer la probabilité Pr de trouver le système dans l'état |φ₂⟩.

Exercice 3 : Particule dans un Puits de Potentiel Infini

On considère une particule de masse m, dans un puits de potentiel infini. Le potentiel V(x) est défini comme suit :

V(x) = 0 pour 0 < x < a

V(x) = +∞ partout ailleurs.

La fonction d’onde à l’extérieur du puits est nulle, expliquer pourquoi.
Trouver les fonctions d’onde normées φn(x) des états propres |φn⟩ et les valeurs propres En de l'hamiltonien H du système.
L’état de la particule à l’instant t = 0 est :

|Ψ(0)⟩ = a₁|φ₁⟩ + a₂|φ₂⟩ + a₃|φ₃⟩ + a₄|φ₄⟩

Quelle est la probabilité, lorsqu’on mesure l’énergie de la particule dans l’état |Ψ(0)⟩, de trouver une valeur inférieure à la valeur (3π²ħ² / (ma²)) ?
Déterminer la valeur moyenne de l’énergie de la particule dans l'état |Ψ(0)⟩.
Lors d’une mesure de l’énergie, on trouve le résultat (8π²ħ² / (ma²)). Quel est le vecteur d’état immédiatement après la mesure ?

Exercice 4 : Opérateur Moment Angulaire et Fonctions d'Onde

Soit L un opérateur qui peut s'écrire sous la forme : L = (1/i) (d/dθ) avec 0 ≤ θ ≤ 2π.

On appelle m la valeur propre, réelle de cet opérateur et φm la fonction propre correspondante.
1. Trouver la forme des fonctions propres normées.
2. Quelle propriété doit vérifier m sachant que φm doit avoir la même valeur pour θ = 0 et θ = 2π.
L'état du système est décrit par une fonction d'onde Ψ = A cos²θ. Trouver la valeur de A pour que Ψ soit normée.
Exprimer Ψ en fonction des fonctions propres φm.
Quelles sont les valeurs possibles de m.
Quelle est la probabilité, Pr(m), de trouver chaque valeur de m.
Calculer la valeur moyenne ⟨L⟩ dans l’état Ψ.

Foire Aux Questions (FAQ) sur les Postulats de la Mécanique Quantique

Quels sont les postulats fondamentaux de la mécanique quantique ?

Les postulats de la mécanique quantique décrivent la manière dont les systèmes quantiques sont représentés et évoluent. Ils incluent des règles sur l'état d'un système (vecteur d'état dans un espace de Hilbert), les observables (opérateurs hermitiens), la mesure (valeurs propres et probabilités associées), l'évolution temporelle (équation de Schrödinger) et la réduction du paquet d'onde lors de la mesure.

Pourquoi les opérateurs associés aux observables physiques doivent-ils être hermitiens ?

Les opérateurs hermitiens sont cruciaux en mécanique quantique car leurs valeurs propres sont toujours réelles. Or, les résultats des mesures physiques (comme l'énergie, la position, l'impulsion) sont des nombres réels. De plus, les vecteurs propres d'un opérateur hermitien formant une base orthonormée, ils permettent de décomposer n'importe quel état quantique en une superposition de ces états.

Quelle est la signification de la normalisation d'une fonction d'onde ?

La normalisation d'une fonction d'onde (ou d'un vecteur d'état) signifie que la probabilité totale de trouver la particule quelque part dans l'espace est égale à 1. Mathématiquement, cela implique que l'intégrale du carré de la magnitude de la fonction d'onde sur tout l'espace (ou le produit scalaire du vecteur d'état avec lui-même) doit être égale à 1. C'est une condition essentielle pour l'interprétation probabiliste de la mécanique quantique.