Travaux dirigés série n°7 mécanique quantique -Mécanique qua
Télécharger PDFMécanique Quantique : Travaux Dirigés - Série n°7
Université Hassan II de Casablanca, Faculté des Sciences et Techniques de Mohammedia, Département de Physique. S4, P146.
Exercice n°1 : États orthogonaux et normalisés
Soient |1⟩ et |2⟩ deux états orthogonaux et normalisés d'un système physique. Soit A une observable du système et considérons une valeur propre non dégénérée de A, notée `a_n`, associée à l'état normalisé `|φ_n⟩`.
- On définit : `P_1(a_n) = |⟨φ_n|1⟩|^2` et `P_2(a_n) = |⟨φ_n|2⟩|^2`. Donner l'interprétation de `P_1(a_n)` et `P_2(a_n)`.
- Une particule se trouve dans l'état `|ψ⟩ = 3|1⟩ - 4i|2⟩`. Normaliser l'état `|ψ⟩`.
- Quelle est la probabilité de trouver `a_n` lors de la mesure de A ?
Solution :
- Selon les postulats de la mécanique quantique, `P_1(a_n)` représente la probabilité d'obtenir la valeur propre `a_n` lors de la mesure de l'opérateur A lorsque le système se trouve dans l'état `|1⟩`. De même, `P_2(a_n)` représente la probabilité d'obtenir la valeur propre `a_n` lorsque le système se trouve dans l'état `|2⟩`. Ces probabilités sont les carrés des modules des amplitudes de probabilité de trouver l'état `|φ_n⟩` dans les états `|1⟩` et `|2⟩` respectivement.
- Pour normaliser l'état `|ψ⟩ = 3|1⟩ - 4i|2⟩`, nous calculons d'abord son carré de la norme : `⟨ψ|ψ⟩ = (3⟨1| + 4i⟨2|)(3|1⟩ - 4i|2⟩)` `= 3*3⟨1|1⟩ - 3*4i⟨1|2⟩ + 4i*3⟨2|1⟩ - 4i*4i⟨2|2⟩` Comme `|1⟩` et `|2⟩` sont des états orthonormés (c'est-à-dire `⟨1|1⟩ = 1`, `⟨2|2⟩ = 1`, `⟨1|2⟩ = 0`, `⟨2|1⟩ = 0`) : `⟨ψ|ψ⟩ = 9(1) - 0 + 0 - 16i^2(1) = 9 + 16 = 25`. L'état normalisé est donc `|ψ_norm⟩ = (1/√25)|ψ⟩ = (1/5)(3|1⟩ - 4i|2⟩)`.
- La probabilité de trouver la valeur propre `a_n` (associée à l'état propre `|φ_n⟩`) lors de la mesure de A pour le système dans l'état normalisé `|ψ_norm⟩` est donnée par `P(a_n) = |⟨φ_n|ψ_norm⟩|^2`.
Si l'on considère que `|φ_n⟩` correspond à l'un des états de base `|1⟩` ou `|2⟩` :
- Si `|φ_n⟩ = |1⟩` (c'est-à-dire `a_n` est l'énergie associée à `|1⟩`) : `P(a_n) = |⟨1| (1/5)(3|1⟩ - 4i|2⟩)|^2 = |(1/5) * 3 * ⟨1|1⟩ - (1/5) * 4i * ⟨1|2⟩|^2` `= |(1/5) * 3 - 0|^2 = |3/5|^2 = 9/25`.
- Si `|φ_n⟩ = |2⟩` (c'est-à-dire `a_n` est l'énergie associée à `|2⟩`) : `P(a_n) = |⟨2| (1/5)(3|1⟩ - 4i|2⟩)|^2 = |(1/5) * 3 * ⟨2|1⟩ - (1/5) * 4i * ⟨2|2⟩|^2` `= |0 - (1/5) * 4i|^2 = |-4i/5|^2 = (4/5)^2 = 16/25`.
Exercice n°2 : Opérateurs A et B dans un espace à trois dimensions
Soit un système physique dans l'espace des états à trois dimensions. On choisit dans cet espace une base orthonormée de 3 kets notés : `|1⟩`, `|2⟩`, `|3⟩`. Ces kets sont les vecteurs propres de deux opérateurs indépendants du temps A et B. L'action de A et de B sur ces kets est la suivante :
- `A|1⟩ = a|1⟩`
- `A|2⟩ = a|2⟩`
- `A|3⟩ = a|3⟩`
Où `a` et `b` sont des constantes réelles non nulles.
- `B|1⟩ = 2b|1⟩`
- `B|2⟩ = -b|2⟩`
- `B|3⟩ = -b|3⟩`
- Exprimer les matrices des opérateurs A et B dans la base formée de `|1⟩`, `|2⟩`, `|3⟩`.
- À l'instant `t = 0`, l'état quantique du système est décrit par le ket `|ψ(0)⟩ = c(|1⟩ + |2⟩ - i|3⟩)`. Normaliser cet état.
- À l'instant `t = 0`, on mesure A.
- Quels résultats peut-on obtenir et avec quelles probabilités ?
- Préciser l'état du système immédiatement après ces mesures.
- Immédiatement après la mesure de A, on mesure B.
- Quels résultats peut-on obtenir et avec quelles probabilités ?
- Préciser l'état du système immédiatement après ces mesures.
- Le système étant dans l'état `|ψ(0)⟩`, calculer la valeur moyenne de A.
Solution :
- Les opérateurs A et B sont donnés par leurs actions sur les vecteurs de base. Leurs représentations matricielles dans la base `{|1⟩, |2⟩, |3⟩}` sont : `A = [[a, 0, 0], [0, a, 0], [0, 0, a]]` `B = [[2b, 0, 0], [0, -b, 0], [0, 0, -b]]`
- Pour normaliser `|ψ(0)⟩ = c(|1⟩ + |2⟩ - i|3⟩)`, nous calculons : `⟨ψ(0)|ψ(0)⟩ = c*c (⟨1| + ⟨2| + i⟨3|)(|1⟩ + |2⟩ - i|3⟩)` `= |c|^2 (⟨1|1⟩ + ⟨2|2⟩ + i(-i)⟨3|3⟩)` Puisque la base est orthonormée, `⟨1|1⟩ = 1`, `⟨2|2⟩ = 1`, `⟨3|3⟩ = 1`, et `⟨j|k⟩ = 0` pour `j ≠ k`. `⟨ψ(0)|ψ(0)⟩ = |c|^2 (1 + 1 + 1) = 3|c|^2`. Pour que l'état soit normalisé, `3|c|^2 = 1`, donc `|c| = 1/√3`. On peut choisir `c = 1/√3`. L'état normalisé est `|ψ(0)⟩ = (1/√3)(|1⟩ + |2⟩ - i|3⟩)`.
- Mesure de A à `t = 0` :
- Les actions de A sur les kets de base (`A|1⟩ = a|1⟩`, `A|2⟩ = a|2⟩`, `A|3⟩ = a|3⟩`) montrent que A n'a qu'une seule valeur propre, `a`, qui est triplement dégénérée. Par conséquent, le seul résultat possible lors de la mesure de A est `a`. La probabilité d'obtenir ce résultat est 1, car l'état `|ψ(0)⟩` est une superposition d'états propres de A, tous associés à la valeur propre `a`.
- Immédiatement après la mesure de A, l'état du système reste inchangé, car le résultat de la mesure (`a`) est l'unique valeur propre de A, et l'état initial est déjà une superposition de vecteurs propres de A pour cette valeur propre. Donc, l'état du système après la mesure de A est `|ψ'⟩ = |ψ(0)⟩ = (1/√3)(|1⟩ + |2⟩ - i|3⟩)`.
- Mesure de B immédiatement après la mesure de A :
L'état du système avant la mesure de B est `|ψ'⟩ = |ψ(0)⟩ = (1/√3)(|1⟩ + |2⟩ - i|3⟩)`.
- Les valeurs propres de B sont `2b` (associée à `|1⟩`) et `-b` (associée aux états `|2⟩` et `|3⟩`).
Les résultats possibles de la mesure de B sont donc `2b` et `-b`.
- La probabilité d'obtenir `2b` est `P(2b) = |⟨1|ψ'⟩|^2`. `⟨1|ψ'⟩ = (1/√3)⟨1|(|1⟩ + |2⟩ - i|3⟩) = 1/√3`. Donc, `P(2b) = |1/√3|^2 = 1/3`.
- La probabilité d'obtenir `-b` est `P(-b) = |⟨2|ψ'⟩|^2 + |⟨3|ψ'⟩|^2`. `⟨2|ψ'⟩ = (1/√3)⟨2|(|1⟩ + |2⟩ - i|3⟩) = 1/√3`. `⟨3|ψ'⟩ = (1/√3)⟨3|(|1⟩ + |2⟩ - i|3⟩) = -i/√3`. Donc, `P(-b) = |1/√3|^2 + |-i/√3|^2 = 1/3 + 1/3 = 2/3`.
- Préciser l'état du système immédiatement après ces mesures :
- Si la valeur `2b` est mesurée, l'état du système s'effondre sur le vecteur propre correspondant, `|1⟩`. L'état après la mesure est `|ψ''⟩ = |1⟩`.
- Si la valeur `-b` est mesurée, l'état du système s'effondre sur le sous-espace propre associé à `-b`, qui est le sous-espace généré par `|2⟩` et `|3⟩`. L'état projeté est : `P_{-b}|ψ'⟩ = (|2⟩⟨2| + |3⟩⟨3|)|ψ'⟩ = (1/√3)(|2⟩ - i|3⟩)`. La norme de cet état est `√((1/3)(⟨2| + i⟨3|)(|2⟩ - i|3⟩)) = √((1/3)(⟨2|2⟩ + ⟨3|3⟩)) = √((1/3)(1+1)) = √(2/3)`. L'état normalisé après la mesure de `-b` est `|ψ''⟩ = (1/√3)(|2⟩ - i|3⟩) / √(2/3) = (1/√2)(|2⟩ - i|3⟩)`.
- Les valeurs propres de B sont `2b` (associée à `|1⟩`) et `-b` (associée aux états `|2⟩` et `|3⟩`).
Les résultats possibles de la mesure de B sont donc `2b` et `-b`.
- Calcul de la valeur moyenne de A dans l'état `|ψ(0)⟩` : La valeur moyenne de A est donnée par `⟨A⟩ = ⟨ψ(0)|A|ψ(0)⟩`. On sait que `A|ψ(0)⟩ = A(1/√3)(|1⟩ + |2⟩ - i|3⟩) = (1/√3)(A|1⟩ + A|2⟩ - iA|3⟩)`. Puisque `A|1⟩ = a|1⟩`, `A|2⟩ = a|2⟩`, `A|3⟩ = a|3⟩`, on a : `A|ψ(0)⟩ = (1/√3)(a|1⟩ + a|2⟩ - ia|3⟩) = a * (1/√3)(|1⟩ + |2⟩ - i|3⟩) = a|ψ(0)⟩`. Donc, `⟨A⟩ = ⟨ψ(0)|a|ψ(0)⟩ = a⟨ψ(0)|ψ(0)⟩`. Comme `|ψ(0)⟩` est normalisé, `⟨ψ(0)|ψ(0)⟩ = 1`. Par conséquent, `⟨A⟩ = a`.
Exercice n°3 : Oscillateur Harmonique
Pour l'oscillateur harmonique, on définit les opérateurs adimensionnels de position X et d'impulsion Px, et les opérateurs d'échelle (ou d'annihilation et de création) `a` et `a†`.
Considérons les relations suivantes (où `[X, Px] = i`) : `a = (1/√2)(X + iP_x)` `a† = (1/√2)(X - iP_x)`
- Calculer les commutateurs `[X,P_x]` et `[a,a†]`.
- Rappeler l'action des deux opérateurs `a` et `a†` sur un état représenté par le ket propre `|n⟩`.
- Écrire l'Hamiltonien `H` de l'oscillateur harmonique en fonction de `a` et `a†`.
- On considère le sous-espace représenté par les vecteurs de base `{|0⟩, |1⟩, |2⟩, |3⟩}`.
- Écrire les matrices représentatives des opérateurs `a` et `a†` dans ce sous-espace.
- En déduire celles des opérateurs `X` et `P_x`.
- Calculer les valeurs moyennes des opérateurs `X`, `P_x`, `X^2`, `P_x^2` dans les états `|0⟩`, `|1⟩`, `|2⟩`, `|3⟩`. En déduire celle de `H` et `⟨H⟩`.
- Calculer les écarts quadratiques `ΔX^2` et `ΔP_x^2`.
- En déduire `Δx` et `Δp_x` pour les opérateurs physiques de position et d'impulsion.
Solution :
- Calcul des commutateurs :
- `[X, P_x]` : Par définition ou postulat, `[X, P_x] = i` (pour les opérateurs adimensionnels). Si ce sont les opérateurs canoniques `x` et `p_x`, alors `[x, p_x] = iħ`. Nous utiliserons `[X, P_x] = i` comme implicite par la suite.
- `[a, a†]` : `[a, a†] = [(1/√2)(X + iP_x), (1/√2)(X - iP_x)]` `= (1/2) [X + iP_x, X - iP_x]` `= (1/2) ([X,X] - [X, iP_x] + [iP_x, X] - [iP_x, iP_x])` `= (1/2) (0 - i[X, P_x] + i[P_x, X] - 0)` Sachant que `[P_x, X] = -[X, P_x]` : `= (1/2) (-i[X, P_x] - i[X, P_x])` `= (1/2) (-2i[X, P_x]) = -i[X, P_x]` En utilisant `[X, P_x] = i` : `[a, a†] = -i(i) = 1`.
- Action des opérateurs `a` et `a†` sur `|n⟩` : `a|n⟩ = √n |n-1⟩` (opérateur d'annihilation ou de descente) `a†|n⟩ = √(n+1) |n+1⟩` (opérateur de création ou de montée)
- L'Hamiltonien `H` de l'oscillateur harmonique : La forme générale est `H = (P_x^2 / (2M)) + (1/2)Mω^2 X^2`. Pour exprimer `X` et `P_x` en fonction de `a` et `a†` : De `a = (1/√2)(X + iP_x)` et `a† = (1/√2)(X - iP_x)` : `a + a† = √2 X ⇒ X = (1/√2)(a + a†)` `a - a† = i√2 P_x ⇒ P_x = (1/(i√2))(a - a†) = (i/√2)(a† - a)` En utilisant les opérateurs adimensionnels `X` et `P_x` dans l'expression de l'Hamiltonien `H = (ħω/2)(X^2 + P_x^2)` : `X^2 = (1/2)(a + a†)^2 = (1/2)(a^2 + a a† + a†a + a†^2)` `P_x^2 = (i/√2)^2 (a† - a)^2 = (-1/2)(a†^2 - a†a - a a† + a^2)` `H = (ħω/2) [ (1/2)(a^2 + a a† + a†a + a†^2) + (-1/2)(a†^2 - a†a - a a† + a^2) ]` `H = (ħω/4) [ 2 a a† + 2 a†a ] = (ħω/2)(a a† + a†a)` En utilisant la relation de commutation `a a† = a†a + 1` : `H = (ħω/2)(a†a + 1 + a†a) = (ħω/2)(2a†a + 1)` `H = ħω(a†a + 1/2)`.
- Matrices des opérateurs et valeurs moyennes :
- Matrices représentatives des opérateurs `a` et `a†` dans la base `{|0⟩, |1⟩, |2⟩, |3⟩}` : Les éléments de matrice sont `⟨m|a|n⟩` et `⟨m|a†|n⟩`. Pour `a`: `a|0⟩ = 0`, `a|1⟩ = |0⟩`, `a|2⟩ = √2|1⟩`, `a|3⟩ = √3|2⟩`. `a = [[0, 1, 0, 0], [0, 0, √2, 0], [0, 0, 0, √3], [0, 0, 0, 0]]` Pour `a†`: `a†|0⟩ = |1⟩`, `a†|1⟩ = √2|2⟩`, `a†|2⟩ = √3|3⟩`, `a†|3⟩ = √4|4⟩` (le ket `|4⟩` est hors de notre sous-espace, donc sa contribution est nulle dans cette base finie). `a† = [[0, 0, 0, 0], [1, 0, 0, 0], [0, √2, 0, 0], [0, 0, √3, 0]]`
- Déduction des matrices de `X` et `P_x` : `X = (1/√2)(a + a†)` `X = (1/√2) * ([[0, 1, 0, 0], [1, 0, √2, 0], [0, √2, 0, √3], [0, 0, √3, 0]])` `P_x = (i/√2)(a† - a)` `P_x = (i/√2) * ([[0, -1, 0, 0], [1, 0, -√2, 0], [0, √2, 0, -√3], [0, 0, √3, 0]])`
- Calcul des valeurs moyennes dans les états `|n⟩` :
- `⟨X⟩ = ⟨n|X|n⟩ = ⟨n|(1/√2)(a + a†)|n⟩ = (1/√2)(⟨n|a|n⟩ + ⟨n|a†|n⟩)` Puisque `a|n⟩ = √n|n-1⟩` et `a†|n⟩ = √(n+1)|n+1⟩`, les termes `⟨n|a|n⟩` (`√n⟨n|n-1⟩`) et `⟨n|a†|n⟩` (`√(n+1)⟨n|n+1⟩`) sont nuls car `|n⟩` est orthogonal à `|n-1⟩` et `|n+1⟩`. Donc, `⟨X⟩ = 0` pour tout `n`.
- `⟨P_x⟩ = ⟨n|P_x|n⟩ = ⟨n|(i/√2)(a† - a)|n⟩ = (i/√2)(⟨n|a†|n⟩ - ⟨n|a|n⟩)` Pour les mêmes raisons que pour `⟨X⟩`, `⟨P_x⟩ = 0` pour tout `n`.
- `⟨X^2⟩ = ⟨n|X^2|n⟩ = ⟨n|(1/2)(a + a†)^2|n⟩ = (1/2)⟨n|(a^2 + a a† + a†a + a†^2)|n⟩` Les termes `⟨n|a^2|n⟩` et `⟨n|a†^2|n⟩` sont nuls car `a^2|n⟩` et `a†^2|n⟩` donnent des états orthogonaux à `|n⟩`. En utilisant `a a† = a†a + 1` : `⟨n|a a†|n⟩ = ⟨n|(a†a + 1)|n⟩ = ⟨n|a†a|n⟩ + ⟨n|n⟩ = n + 1`. `⟨n|a†a|n⟩ = n`. Donc, `⟨X^2⟩ = (1/2)(0 + (n+1) + n + 0) = (1/2)(2n + 1) = n + 1/2`.
- `⟨P_x^2⟩ = ⟨n|P_x^2|n⟩ = ⟨n|(-1/2)(a† - a)^2|n⟩ = (-1/2)⟨n|(a†^2 - a†a - a a† + a^2)|n⟩` Les termes `⟨n|a†^2|n⟩` et `⟨n|a^2|n⟩` sont nuls. `⟨n|P_x^2|n⟩ = (-1/2)(0 - n - (n+1) + 0) = (-1/2)(-2n - 1) = n + 1/2`.
- Valeurs moyennes de H : `⟨H⟩ = ⟨n|ħω(a†a + 1/2)|n⟩ = ħω(⟨n|a†a|n⟩ + 1/2⟨n|n⟩)` `⟨H⟩ = ħω(n + 1/2)`. La valeur de `H` dans l'état `|n⟩` est `E_n = ħω(n + 1/2)`.
- Calcul des écarts quadratiques :
- `ΔX^2 = ⟨X^2⟩ - ⟨X⟩^2 = (n + 1/2) - 0^2 = n + 1/2`.
- `ΔP_x^2 = ⟨P_x^2⟩ - ⟨P_x⟩^2 = (n + 1/2) - 0^2 = n + 1/2`.
- Déduction de `Δx` et `Δp_x` : Les opérateurs de position `x` et d'impulsion `p_x` sont liés aux opérateurs adimensionnels `X` et `P_x` par : `x = √(ħ/(Mω)) X` (avec `X = (1/√2)(a + a†)`) `p_x = √(Mħω) P_x` (avec `P_x = (i/√2)(a† - a)`) Ces relations sont basées sur le fait que `[x, p_x] = iħ` et `[X, P_x] = i`. `Δx^2 = ⟨x^2⟩ - ⟨x⟩^2 = (ħ/(Mω)) ⟨X^2⟩ - 0^2 = (ħ/(Mω)) (n + 1/2)`. `Δp_x^2 = ⟨p_x^2⟩ - ⟨p_x⟩^2 = (Mħω) ⟨P_x^2⟩ - 0^2 = (Mħω) (n + 1/2)`. Ainsi : `Δx = √((ħ/(Mω)) (n + 1/2))` `Δp_x = √((Mħω) (n + 1/2))` Le produit d'incertitude est `Δx Δp_x = √((ħ/(Mω)) (n + 1/2) * (Mħω) (n + 1/2)) = ħ(n + 1/2)`. Pour l'état fondamental `n=0`, `Δx Δp_x = ħ/2`, ce qui est la limite inférieure du principe d'incertitude de Heisenberg.
Foire aux Questions (FAQ)
Q1 : Qu'est-ce qu'un état quantique normalisé et pourquoi est-il important ?
Un état quantique `|ψ⟩` est dit normalisé si `⟨ψ|ψ⟩ = 1`. Cela signifie que la probabilité totale de trouver la particule dans n'importe quel état possible est égale à 100%. La normalisation est cruciale en mécanique quantique car les probabilités sont calculées à partir des carrés des amplitudes des fonctions d'onde, et la somme de toutes les probabilités doit toujours être égale à 1.Q2 : Comment interpréter la mesure d'une observable en mécanique quantique ?
Lorsqu'on mesure une observable (représentée par un opérateur hermitien A) sur un système quantique dans un certain état `|ψ⟩`, le résultat de la mesure sera toujours l'une des valeurs propres de cet opérateur. Si l'opérateur a plusieurs valeurs propres, la probabilité d'obtenir une valeur propre spécifique `a_n` (associée à l'état propre `|φ_n⟩`) est donnée par `P(a_n) = |⟨φ_n|ψ⟩|^2`, à condition que `|ψ⟩` soit normalisé. Après la mesure, le système s'effondre dans l'état propre correspondant à la valeur mesurée.Q3 : Quel est le rôle des opérateurs d'échelle `a` et `a†` dans l'oscillateur harmonique ?
Les opérateurs `a` (annihilation) et `a†` (création) sont fondamentaux pour simplifier l'analyse de l'oscillateur harmonique quantique. L'opérateur `a` fait passer l'oscillateur d'un état d'énergie `E_n` à un état d'énergie `E_{n-1}` (diminuant le nombre de quanta), tandis que `a†` le fait passer de `E_n` à `E_{n+1}` (augmentant le nombre de quanta). Ils permettent de dériver facilement les niveaux d'énergie `E_n = ħω(n + 1/2)` et les propriétés des états propres `|n⟩` sans résoudre l'équation de Schrödinger directement.