Travaux dirigés de mécanique quantique série n°1 -Mécanique
Télécharger PDFFST Mohammedia – Département de Physique – Année universitaire 2023-2024
Exercice 1 : Loi de Wien
La loi de Wien est fondamentale en physique thermique pour comprendre le rayonnement des corps chauds. Elle établit une relation directe entre la température d'un corps noir et la longueur d'onde à laquelle il émet le maximum de son rayonnement. Plus un corps est chaud, plus la longueur d'onde de son rayonnement maximal est courte, tendant vers le bleu ou l'ultraviolet.
Question 1 : Longueur d'onde principale
En appliquant la loi de Wien, déterminer la longueur d'onde principale (λ_max) émise par un corps porté à la température ambiante de 27°C. La constante de Wien est b ≈ 2,898 × 10⁻³ m·K.
Exercice 2 : Loi de Stefan-Boltzmann et rayonnement
La loi de Stefan-Boltzmann décrit la puissance totale rayonnée par un corps noir par unité de surface en fonction de sa température absolue. Elle est cruciale pour le calcul du flux d'énergie émis par des objets célestes ou tout corps chaud.
La puissance totale émise par une source sphérique de rayon R est donnée par : P = σ A T⁴, où A est la surface du corps émetteur (A = 4πR² pour une sphère) et σ est la constante de Stefan-Boltzmann.
Le rayonnement étant uniforme et isotrope, le flux d'énergie à une distance D de la source est réparti sur une sphère de rayon D. Le flux surfacique (ou intensité) I à cette distance est donc : I = P / (4πD²).
Question 2 : Puissance thermique reçue
Calculer la puissance thermique reçue par un corps de surface S exposé au Soleil au zénith, en supposant que l'atmosphère est complètement transparente. Cette puissance correspond à l'énergie par unité de temps captée par la surface exposée.
Données :
- Rayon du Soleil (R_S) ≈ 7 × 10⁵ km
- Température de la surface du Soleil (T_S) ≈ 5900 K
- Distance Soleil-Terre (D) ≈ 1,5 × 10⁸ km
- Surface exposée (S) ≈ 8000 cm²
Exercice 3 : Loi de Planck et densité spectrale d'énergie
La loi de Planck est une pierre angulaire de la mécanique quantique. Elle décrit la densité spectrale d'énergie du rayonnement électromagnétique émis par un corps noir en équilibre thermique. Cette loi montre comment l'énergie est distribuée sur les différentes fréquences (ou longueurs d'onde) du spectre.
On définit une densité spectrale d'énergie en fréquence, uᵥ = du/dν, et une densité spectrale d'énergie en longueur d'onde, uẛ = du/dλ.
Les expressions de la loi de Planck pour ces densités spectrales sont :
- En fréquence (uᵥ) : `(8πhν³ / c³) × (1 / (exp(hν / k_B T) - 1))`
- En longueur d'onde (uẛ) : `(8πhc / λ⁵) × (1 / (exp(hc / λk_B T) - 1))`
Constantes fondamentales :
- Constante de Planck (h) : 6,626 × 10⁻³⁴ J·s
- Célérité de la lumière (c) : ≈ 3 × 10⁸ m·s⁻¹
- Constante de Boltzmann (k_B) : 1,381 × 10⁻²³ J·K⁻¹
Question 3 : Équivalence des densités d'énergie
Démontrer l'équivalence des densités d'énergie spectrale exprimées en fonction de la fréquence (uᵥ) et de la longueur d'onde (uẛ).
Exercice 4 : Rayonnement du Soleil et puissance reçue
La Terre reçoit une quantité considérable d'énergie du Soleil sous forme de rayonnement électromagnétique. Comprendre ce rayonnement est essentiel pour de nombreuses applications, de l'énergie solaire à la climatologie.
Question 4 : Puissance surfacique reçue sur Terre
On note R_S le rayon du Soleil et D la distance moyenne Terre-Soleil. Le rapport de la distance Soleil-Terre au rayon du Soleil (D/R_S) vaut environ 215. Ce rapport est utile pour simplifier certains calculs relatifs à la géométrie du système.
En considérant que la loi de Stefan-Boltzmann est vérifiée et en supposant que la température de surface du Soleil est de T_S = 6000 K, exprimer puis calculer la puissance reçue au niveau du sol terrestre par unité de surface.
Donnée supplémentaire :
- Constante de Stefan-Boltzmann (σ) ≈ 5,67 × 10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴
Exercice 5 : Rayonnement du corps humain et du Soleil
Cet exercice applique les principes du rayonnement des corps noirs pour comparer les émissions thermiques du Soleil et du corps humain, permettant de mieux saisir l'échelle et la nature de ces rayonnements.
Donnée utile :
- Constante de Stefan-Boltzmann (σ) ≈ 5,67 × 10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴
Question 5.1 : Longueur d'onde maximale du rayonnement humain
Le maximum du rayonnement du Soleil correspond à une longueur d'onde λ_max_Soleil = 550 nm pour une température de surface de T_Soleil = 6000 K. En utilisant la loi de Wien, calculer la longueur d'onde du maximum du rayonnement émis par le corps humain, dont la température est estimée à T_humain = 300 K.
Dans quel domaine du spectre électromagnétique ce rayonnement humain est-il principalement situé (visible, infrarouge, ultraviolet) ?
Question 5.2 : Variation de puissance surfacique du Soleil
Le Soleil, avec une température de surface de T_initial = 6000 K, rayonne au sommet de l'atmosphère terrestre une puissance par unité de surface (flux solaire) I_initial = 1,6 kW·m⁻².
Quelle puissance surfacique rayonnerait-il si sa température de surface était de T_final = 3000 K ? Indiquer clairement la loi physique employée pour ce calcul.
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'un corps noir en physique ?
Un corps noir est un objet théorique qui absorbe tout le rayonnement électromagnétique qu'il reçoit, sans en réfléchir ni en transmettre. Il émet un rayonnement thermique (appelé rayonnement du corps noir) dont le spectre dépend uniquement de sa température. C'est un modèle idéal pour étudier l'émission et l'absorption de lumière.
Quelle est la principale application de la loi de Wien ?
La loi de Wien permet de déterminer la température de surface d'un corps céleste, comme une étoile, en mesurant la longueur d'onde à laquelle il émet le maximum de son rayonnement. Elle est également utilisée pour analyser le rayonnement d'objets chauds dans l'industrie ou en laboratoire.
Comment la loi de Stefan-Boltzmann s'applique-t-elle au Soleil ?
La loi de Stefan-Boltzmann est utilisée pour calculer la puissance totale émise par le Soleil (en l'assimilant à un corps noir) à partir de sa température de surface et de son rayon. Cette puissance permet ensuite de déterminer le flux d'énergie solaire qui atteint la Terre, essentiel pour comprendre le bilan énergétique de notre planète.