Série td 2 physique mécanique quantique -Mécanique quantique
Télécharger PDFMécanique Quantique : Travaux Dirigés - Série n°2
Exercice n°1 : Effet Photoélectrique
Dans cet exercice, nous étudions l'effet photoélectrique avec différentes radiations et une cellule photoélectrique.
1. Longueur d'onde de seuil photoélectrique (λ₀)
L'énergie d'extraction du métal est W₀ = 2,5 eV. Au seuil photoélectrique, l'énergie cinétique des électrons émis est nulle. L'énergie du photon incident est alors égale à l'énergie d'extraction :
E = hc / λ₀ = W₀
Donc, λ₀ = hc / W₀
Données :
- Constante de Planck h = 6,62 × 10⁻³⁴ J·s
- Célérité de la lumière c = 3 × 10⁸ m/s
- Charge d'un électron e = 1,6 × 10⁻¹⁹ C
- 1 eV = 1,6 × 10⁻¹⁹ J
Convertissons W₀ en Joules :
W₀ = 2,5 eV = 2,5 × 1,6 × 10⁻¹⁹ J = 4 × 10⁻¹⁹ J
Calcul de λ₀ :
λ₀ = (6,62 × 10⁻³⁴ J·s × 3 × 10⁸ m/s) / (4 × 10⁻¹⁹ J)
λ₀ = 4,965 × 10⁻⁷ m = 496,5 nm = 0,4965 µm
La valeur de la longueur d'onde du seuil photoélectrique est λ₀ = 496,5 nm.
2. Extraction d'électrons et potentiel d'arrêt
Les radiations disponibles sont : 623,6 nm; 413,7 nm; 560,0 nm; 451,4 nm.
Pour que l'effet photoélectrique ait lieu, la longueur d'onde du photon incident (λ) doit être inférieure à la longueur d'onde de seuil (λ₀).
λ < λ₀
Avec λ₀ = 496,5 nm :
- 623,6 nm : 623,6 nm > 496,5 nm (pas d'émission)
- 413,7 nm : 413,7 nm < 496,5 nm (émission)
- 560,0 nm : 560,0 nm > 496,5 nm (pas d'émission)
- 451,4 nm : 451,4 nm < 496,5 nm (émission)
a. Valeurs de λ₁ et λ₂
Les deux radiations capables d'extraire des électrons sont :
λ₁ = 413,7 nm et λ₂ = 451,4 nm.
b. Expression du potentiel d'arrêt (Uarrêt)
Le potentiel d'arrêt (Uarrêt) est la tension minimale nécessaire pour arrêter les électrons les plus énergétiques émis. Il est lié à l'énergie cinétique maximale (Ec_max) des électrons par la relation :
Ec_max = e |Uarrêt|
En convention, le potentiel d'arrêt est souvent donné avec un signe négatif car il s'oppose au mouvement des électrons. Donc :
Uarrêt = - Ec_max / e
Où e est la charge élémentaire de l'électron.
c. Calcul du potentiel d'arrêt pour λ₁ et λ₂
L'énergie cinétique maximale des électrons est donnée par la loi de conservation de l'énergie (Einstein) :
Ec_max = Ephoton - W₀ = hc / λ - W₀
Pour λ₁ = 413,7 nm :
Ec_max₁ = (6,62 × 10⁻³⁴ J·s × 3 × 10⁸ m/s) / (413,7 × 10⁻⁹ m) - 4 × 10⁻¹⁹ J
Ec_max₁ = 4,80 × 10⁻¹⁹ J - 4 × 10⁻¹⁹ J = 0,80 × 10⁻¹⁹ J
Convertissons en eV : Ec_max₁ = 0,80 × 10⁻¹⁹ J / (1,6 × 10⁻¹⁹ J/eV) = 0,5 eV
Uarrêt₁ = - Ec_max₁ / e = - 0,5 eV / e = -0,5 V
Pour λ₂ = 451,4 nm :
Ec_max₂ = (6,62 × 10⁻³⁴ J·s × 3 × 10⁸ m/s) / (451,4 × 10⁻⁹ m) - 4 × 10⁻¹⁹ J
Ec_max₂ = 4,40 × 10⁻¹⁹ J - 4 × 10⁻¹⁹ J = 0,40 × 10⁻¹⁹ J
Convertissons en eV : Ec_max₂ = 0,40 × 10⁻¹⁹ J / (1,6 × 10⁻¹⁹ J/eV) = 0,25 eV
Uarrêt₂ = - Ec_max₂ / e = - 0,25 eV / e = -0,25 V
d. Potentiel d'arrêt pour une irradiation simultanée
Lorsqu'on éclaire la cathode simultanément avec les deux radiations, le potentiel d'arrêt doit être capable d'arrêter les électrons les plus énergétiques. Les électrons les plus énergétiques sont produits par la radiation de plus courte longueur d'onde (λ₁ = 413,7 nm), car elle fournit le plus d'énergie par photon.
Par conséquent, la valeur du potentiel d'arrêt correspondant à cette expérience est la valeur la plus élevée en valeur absolue, soit celle associée à λ₁ :
Uarrêt = -0,5 V
3. Étude d'une nouvelle surface métallique sous lumière UV
Une surface métallique est éclairée par une lumière UV de longueur d'onde λ = 0,150 µm. L'énergie cinétique maximale des électrons émis est Ec_max = 4,8 eV.
a. Calcul du travail d'extraction (W₀)
En utilisant la loi d'Einstein pour l'effet photoélectrique :
Ec_max = hc / λ - W₀
Donc, W₀ = hc / λ - Ec_max
Convertissons les valeurs en unités du Système International :
- λ = 0,150 µm = 0,150 × 10⁻⁶ m = 1,50 × 10⁻⁷ m
- Ec_max = 4,8 eV = 4,8 × 1,6 × 10⁻¹⁹ J = 7,68 × 10⁻¹⁹ J
Calcul de l'énergie du photon UV :
Ephoton = (6,62 × 10⁻³⁴ J·s × 3 × 10⁸ m/s) / (1,50 × 10⁻⁷ m) = 13,24 × 10⁻¹⁹ J
Calcul de W₀ :
W₀ = 13,24 × 10⁻¹⁹ J - 7,68 × 10⁻¹⁹ J = 5,56 × 10⁻¹⁹ J
Convertissons W₀ en eV :
W₀ = 5,56 × 10⁻¹⁹ J / (1,6 × 10⁻¹⁹ J/eV) = 3,475 eV
Le travail d'extraction est W₀ = 5,56 × 10⁻¹⁹ J ou 3,475 eV.
b. Tension d'arrêt nécessaire
La tension d'arrêt est donnée par Uarrêt = - Ec_max / e
Uarrêt = - 4,8 eV / e = -4,8 V
La tension nécessaire pour arrêter cette émission est -4,8 V.
c. Nature du métal
Pour identifier le métal, nous allons calculer sa longueur d'onde de seuil λ₀ à partir du travail d'extraction W₀ :
λ₀ = hc / W₀
λ₀ = (6,62 × 10⁻³⁴ J·s × 3 × 10⁸ m/s) / (5,56 × 10⁻¹⁹ J)
λ₀ = 3,57 × 10⁻⁷ m = 0,357 µm
Comparons cette valeur avec le tableau fourni :
| Métal | Seuil photoélectrique λ₀ (µm) |
|---|---|
| Zinc (Zn) | 0,35 |
| Sodium (Na) | 0,365 |
| Potassium (K) | 0,55 |
| Césium (Cs) | 0,66 |
La longueur d'onde de seuil calculée (0,357 µm) est la plus proche de celle du Zinc (0,35 µm).
La nature du métal est le Zinc.
d. Calcul de la vitesse maximale d'émission (vmax)
L'énergie cinétique maximale est également donnée par :
Ec_max = ½ me vmax²
Donc, vmax = √(2 Ec_max / me)
Données :
- Ec_max = 7,68 × 10⁻¹⁹ J
- Masse de l'électron me = 9 × 10⁻³¹ kg
vmax = √(2 × 7,68 × 10⁻¹⁹ J / 9 × 10⁻³¹ kg)
vmax = √(1,7067 × 10¹² m²/s²)
vmax = 1,306 × 10⁶ m/s
La vitesse maximale d'émission est 1,3 × 10⁶ m/s.
e. Augmenter la vitesse maximale d'émission
Pour augmenter la vitesse maximale d'émission (vmax), il faut augmenter l'énergie cinétique maximale (Ec_max) des électrons, puisque vmax = √(2 Ec_max / me).
La loi de l'effet photoélectrique est Ec_max = hc / λ - W₀. Pour un métal donné (W₀ constant), Ec_max augmente si hc/λ augmente. Cela signifie que λ doit diminuer.
Donc, pour augmenter la vitesse maximale d'émission, il faut utiliser une radiation de longueur d'onde plus courte (ou de fréquence plus élevée). La réponse est oui, il faut changer la longueur d'onde en la diminuant.
4. Puissance lumineuse reçue
On mesure un courant de saturation Is = 2 µA et le rendement quantique R = 0,2.
Le rendement quantique R est le rapport entre le nombre d'électrons émis (Ne) et le nombre de photons reçus (Nph) pendant un certain temps Δt.
R = (Ne / Δt) / (Nph / Δt) = Ṅe / Ṅph
Le courant de saturation est Is = Ṅe × e, où Ṅe est le nombre d'électrons émis par seconde.
Donc, Ṅe = Is / e
Et Ṅph = Ṅe / R = (Is / e) / R
La puissance lumineuse reçue P est l'énergie totale des photons reçus par unité de temps :
P = Ṅph × Ephoton = Ṅph × hc / λ
Substituons Ṅph :
P = (Is / (R × e)) × (hc / λ)
Données :
- Is = 2 µA = 2 × 10⁻⁶ A
- e = 1,6 × 10⁻¹⁹ C
- R = 0,2
- h = 6,62 × 10⁻³⁴ J·s
- c = 3 × 10⁸ m/s
- λ = 0,150 µm = 1,50 × 10⁻⁷ m (longueur d'onde de la lumière UV du problème 3)
Calcul de P :
P = (2 × 10⁻⁶ / (0,2 × 1,6 × 10⁻¹⁹)) × ((6,62 × 10⁻³⁴ × 3 × 10⁸) / (1,50 × 10⁻⁷))
P = (2 × 10⁻⁶ / 0,32 × 10⁻¹⁹) × (1,986 × 10⁻²⁵ / 1,50 × 10⁻⁷)
P = 6,25 × 10¹³ × 1,324 × 10⁻¹⁸
P = 8,275 × 10⁻⁵ W
La puissance lumineuse reçue est 8,275 × 10⁻⁵ W.
Exercice n°2 : Diffusion Compton
Dans cet exercice, nous analysons la diffusion Compton, où un photon incident interagit avec un électron au repos.
Un photon incident de fréquence ν₀ et longueur d'onde λ₀ rencontre un électron libre et au repos de masse me. Après le choc élastique, le photon diffusé a une longueur d'onde λ' et se propage dans une direction faisant un angle θ avec l'axe du photon incident. L'électron recule avec une vitesse faisant un angle φ avec l'axe (Ox) du photon incident.
On utilise la constante de Planck h, la célérité de la lumière c, et la masse de l'électron me.
Données supplémentaires :
- La longueur d'onde de Compton λC = h / (mec) = 0,024 Å
- La longueur d'onde du photon incident λ₀ = 0,1 Å
- L'énergie de l'électron au repos mec² = 0,511 MeV
On définit le paramètre α = λC / λ₀.
1. Variation de la longueur d'onde et énergie du photon diffusé
a. Variation relative de la longueur d'onde
La variation de la longueur d'onde du photon diffusé est donnée par la formule de Compton :
Δλ = λ' - λ₀ = (h / (mec)) (1 - cosθ)
Ou, en utilisant la longueur d'onde de Compton λC = h / (mec) :
Δλ = λC (1 - cosθ)
La variation relative est :
Δλ / λ₀ = (λC / λ₀) (1 - cosθ)
En utilisant la définition α = λC / λ₀ :
Δλ / λ₀ = α (1 - cosθ)
Pour déduire la longueur d'onde du photon émergeant lorsque la diffusion se fait à θ = 90° :
Si θ = 90°, alors cosθ = 0.
Δλ / λ₀ = α (1 - 0) = α
Donc, λ' - λ₀ = αλ₀, ce qui donne λ' = λ₀ (1 + α)
b. L'énergie du photon diffusé (E')
L'énergie du photon diffusé est E' = hc / λ'. En utilisant la relation λ' = λ₀ (1 + α (1 - cosθ)) :
E' = hc / (λ₀ (1 + α (1 - cosθ)))
Puisque l'énergie du photon incident est E₀ = hc / λ₀, on peut écrire :
E' = E₀ / (1 + α (1 - cosθ))
Note : Le paramètre α dans cette formule peut aussi être défini comme E₀ / (mec²). Les deux définitions sont équivalentes car E₀ / (mec²) = (hc/λ₀) / (mec²) = (h/(mec)) / λ₀ = λC / λ₀.
En déduire l'énergie du photon si θ = 90° :
Pour θ = 90°, cosθ = 0.
E' = E₀ / (1 + α)
2. Expression de tan(φ)
L'angle de recul de l'électron φ est lié à l'angle de diffusion du photon θ par la relation :
tan(φ) = sinθ / (α + 1 - cosθ)
où α = λC / λ₀ (ou E₀ / (mec²)).
Calcul de φ dans le cas de θ = 90° :
Si θ = 90°, alors sinθ = 1 et cosθ = 0.
tan(φ) = 1 / (α + 1 - 0) = 1 / (α + 1)
3. Application numérique
Données :
- λC = 0,024 Å
- λ₀ = 0,1 Å
- mec² = 0,511 MeV
Calculons α :
α = λC / λ₀ = 0,024 Å / 0,1 Å = 0,24
Pour θ = 90° :
a. Longueur d'onde du photon diffusé (λ') :
λ' = λ₀ (1 + α) = 0,1 Å (1 + 0,24) = 0,1 Å × 1,24 = 0,124 Å
b. Énergie du photon diffusé (E') :
D'abord, calculons l'énergie du photon incident E₀ :
E₀ = hc / λ₀ = (6,62 × 10⁻³⁴ J·s × 3 × 10⁸ m/s) / (0,1 × 10⁻¹⁰ m) = 1,986 × 10⁻¹⁵ J
Convertissons E₀ en MeV :
E₀ = 1,986 × 10⁻¹⁵ J / (1,6 × 10⁻¹³ J/MeV) = 12,4125 MeV
Ensuite, calculons E' pour θ = 90° :
E' = E₀ / (1 + α) = 12,4125 MeV / (1 + 0,24) = 12,4125 MeV / 1,24 = 10,009 MeV
L'énergie cinétique de l'électron diffusé (Ee_kin) serait :
Ee_kin = E₀ - E' = 12,4125 MeV - 10,009 MeV = 2,4035 MeV
Note: La valeur de 96,8 KeV donnée dans la solution originale pour l'application numérique de l'énergie de l'électron diffusé ne correspond pas aux données fournies (λ₀, λC, mec²).
c. Angle de recul de l'électron (φ) :
Pour θ = 90° :
tan(φ) = 1 / (α + 1) = 1 / (0,24 + 1) = 1 / 1,24 = 0,80645
φ = arctan(0,80645) = 38,89°
L'angle de recul de l'électron est environ φ = 39°.
Foire aux Questions (FAQ) sur l'Effet Photoélectrique et la Diffusion Compton
Q1 : Qu'est-ce que l'énergie d'extraction dans l'effet photoélectrique ?
L'énergie d'extraction, ou travail de sortie (W₀), est l'énergie minimale requise pour qu'un électron soit libéré de la surface d'un matériau. Elle est spécifique à chaque matériau et doit être fournie par l'énergie d'un photon incident pour que l'émission photoélectrique se produise.
Q2 : Quelle est la principale différence entre l'effet photoélectrique et la diffusion Compton ?
L'effet photoélectrique est l'absorption totale d'un photon par un électron lié à un atome, entraînant l'éjection de cet électron. La diffusion Compton, en revanche, est l'interaction d'un photon avec un électron libre ou faiblement lié, où le photon est diffusé avec une perte d'énergie (sa longueur d'onde augmente) et l'électron recule.
Q3 : Comment la longueur d'onde d'un photon change-t-elle lors de la diffusion Compton ?
Lors de la diffusion Compton, un photon transfère une partie de son énergie à l'électron avec lequel il interagit. Cette perte d'énergie se traduit par une diminution de la fréquence du photon et donc une augmentation de sa longueur d'onde. La variation de la longueur d'onde dépend de l'angle de diffusion du photon.