Travaux dirigés de mécanique quantique série n°1 -Mécanique
Télécharger PDFExercices de Mécanique Quantique : Concepts Fondamentaux et Applications
La mécanique quantique est une branche fondamentale de la physique qui décrit le comportement de la matière et de la lumière à l'échelle atomique et subatomique. Cette série d'exercices vous permettra d'explorer des concepts clés tels que la dualité onde-particule, le modèle de Bohr, l'effet photoélectrique et la particule dans une boîte unidimensionnelle. Chaque problème est conçu pour approfondir votre compréhension des principes qui régissent le monde quantique.
Exercice 1 : Longueur d'onde de De Broglie
Le concept de longueur d'onde de De Broglie est fondamental pour la dualité onde-particule, proposant que toute particule en mouvement possède des propriétés ondulatoires.
Questions :
- Calculer la longueur d'onde de De Broglie pour :
- Un électron, d'énergie cinétique égale à 10 eV.
- Une personne, de masse m = 70 kg, se déplaçant à une vitesse de l'ordre du mètre par seconde.
Commenter les ordres de grandeur obtenus.
- Les fullerènes C60 sont les molécules les plus grosses pour lesquelles des phénomènes ondulatoires ont été observés. Dans les expériences correspondantes, les molécules ont une vitesse moyenne de 220 m/s. Calculer la longueur d'onde de De Broglie de ces molécules. Comment se compare-t-elle aux dimensions de la molécule (de l'ordre du nanomètre) ?
Exercice 2 : Le Modèle de Bohr
Le modèle de Bohr fut une étape cruciale pour expliquer la stabilité de l'atome et la quantification de l'énergie, malgré ses limitations.
Questions :
Pour expliquer la stabilité de l'atome, Bohr imagina que les électrons devaient se mouvoir sur des orbites circulaires. Sur la première orbite, de rayon a₀, la quantité de mouvement de l'électron est donnée par : p₀ = ħ/a₀
- Afin qu'on puisse parler de trajectoire au sens classique du terme, quelle limitation doit-on imposer aux indéterminations Δr et Δp pour l'orbite de Bohr considérée ?
- Montrer que ces limitations sont incompatibles avec le principe d'incertitude de Heisenberg.
- Que doit-on en déduire pour le modèle de Bohr ?
Exercice 3 : L'Effet Photoélectrique
L'effet photoélectrique est une démonstration clé de la nature quantifiée de la lumière, où des électrons sont éjectés d'un matériau lorsqu'il est exposé à une lumière de fréquence suffisante.
Questions :
La photocathode d'une cellule photoélectrique est en Césium. La longueur d'onde seuil du Césium est λ₀ = 0,660 μm. L'intensité du courant de saturation est Is = 7,20 μA lorsque la cathode reçoit un faisceau lumineux monochromatique de longueur d'onde λ = 0,450 μm et de puissance P = 1,00 mW.
Déterminer :
- Le travail d'extraction W₀ d'un photoélectron.
- L'énergie cinétique maximale (Ec,max) et la vitesse maximale d'un électron (vmax).
- Le potentiel d'arrêt Um.
- Le nombre Nphotons de photons reçus par la cathode par unité de temps. Le nombre Nélectrons d'électrons émis par la cathode par unité de temps.
- L'intensité I's du courant de saturation si la puissance du faisceau lumineux est P' = P/3.
Exercice 4 : Particule dans une Boîte Unidimensionnelle
Le modèle de la particule dans une boîte est l'un des problèmes les plus simples mais aussi les plus illustratifs en mécanique quantique, montrant la quantification de l'énergie pour une particule confinée.
1. Traitement Classique
Une particule de masse m, d'énergie E, est confinée dans un intervalle 0 ≤ x ≤ L où son énergie potentielle est choisie nulle V(x) = 0.
On adopte dans cette question seulement un traitement classique. On admet que la densité de probabilité de présence classique de la particule entre x et x+dx est proportionnelle au temps dt qu'elle passe dans cet intervalle.
- En exploitant la conservation de l'énergie, exprimer la vitesse classique v(x) de la particule à l'abscisse x.
- Montrer qu'après normalisation, la densité de probabilité de présence classique s'exprime ainsi : dPcl/dx = 1/L.
- Calculer la probabilité de trouver la particule entre les positions 0 et L/4.
2. Traitement Quantique
On adopte maintenant un traitement quantique. L'énergie E de la particule correspond à un état stationnaire représenté par la fonction d'onde : Ψn(x,t) = An sin (n π x / L) exp(-i E t / ħ) où n ∈ ℕ*.
- Déterminer la constante An en normalisant cette fonction d'onde.
- Calculer la probabilité de présence de la particule entre 0 et L/4.
- Que devient ce dernier résultat dans la limite où n ⟫ 1 ? Comment ce résultat se compare-t-il au résultat de la théorie classique ? Cette comparaison illustre le principe de correspondance.
Questions Fréquemment Posées (FAQ)
Qu'est-ce que la longueur d'onde de De Broglie et quelle est son importance ?
La longueur d'onde de De Broglie associe une onde à chaque particule en mouvement. Elle est inversement proportionnelle à la quantité de mouvement de la particule (λ = h/p). Son importance réside dans la démonstration de la dualité onde-particule, un concept central de la mécanique quantique, qui stipule que les particules (comme les électrons) peuvent se comporter comme des ondes, et les ondes (comme la lumière) peuvent se comporter comme des particules.
Pourquoi le modèle de Bohr est-il considéré comme obsolète malgré ses apports ?
Le modèle de Bohr a été un pas révolutionnaire en introduisant la quantification des orbites électroniques et en expliquant la stabilité des atomes et les spectres de l'hydrogène. Cependant, il ne peut pas expliquer les spectres d'atomes plus complexes que l'hydrogène, ni l'intensité des raies spectrales, ni l'effet Zeeman. Il est également incompatible avec le principe d'incertitude de Heisenberg et ne décrit pas la nature ondulatoire de l'électron. Il a été remplacé par des modèles basés sur la mécanique quantique ondulatoire, plus complets et précis.
Quelle est l'application principale de l'effet photoélectrique ?
L'effet photoélectrique a des applications variées et cruciales. Il est le principe de fonctionnement des cellules solaires (panneaux photovoltaïques) qui convertissent la lumière en électricité, des détecteurs de lumière (photodiodes, photomultiplicateurs) utilisés dans les appareils photo numériques, les lecteurs de codes-barres et les capteurs de sécurité. Il est également à la base de la technologie des caméras à faible luminosité et de certains types de capteurs industriels.