Série td 8 corrigés mécanique quantique -Mécanique quantique

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Exercices de Mécanique Quantique : Opérateurs et Collisions Relativistes

Ce document présente des exercices de mécanique quantique, abordant des concepts fondamentaux tels que les opérateurs de création et d'annihilation, les états cohérents, l'oscillateur harmonique et les collisions relativistes.

Exercice n°1 : États Propres de l'Opérateur d'Annihilation

1. Rappeler l'action des opérateurs d'annihilation et de création

Rappelons l'action des opérateurs d'annihilation a et de création a⁺ sur un ket propre |n⟩ :

L'opérateur d'annihilation a : a|n⟩ = √n |n-1⟩
L'opérateur de création a⁺ : a⁺|n⟩ = √(n+1) |n+1⟩

2. Établir la relation de récurrence vérifiée par les coefficients c_n

Pour établir la relation de récurrence, nous partons de l'équation a|ψ⟩ = b|ψ⟩ et de l'expansion de |ψ⟩ :

a Σ_n=0^∞ c_n|n⟩ = b Σ_n=0^∞ c_n|n⟩

En appliquant l'opérateur d'annihilation a :

Σ_n=0^∞ c_n a|n⟩ = Σ_n=0^∞ c_n √n |n-1⟩

Pour n=0, a|0⟩ = 0, donc le premier terme de la somme (n=0) est nul. La somme commence donc à n=1 :

Σ_n=1^∞ c_n √n |n-1⟩

Effectuons un changement de variable en posant m = n-1, ce qui implique n = m+1. Lorsque n=1, m=0 :

Σ_m=0^∞ c_m+1 √(m+1) |m⟩

En renommant l'indice m en n :

Σ_n=0^∞ c_n+1 √(n+1) |n⟩

En comparant cette expression à b Σ_n=0^∞ c_n|n⟩, par identification des coefficients de |n⟩ :

c_n+1 √(n+1) = b c_n

La relation de récurrence est donc : c_n+1 = (b / √(n+1)) c_n.

3. Montrer que c_n = (bⁿ / √n!) c₀

En utilisant la relation de récurrence obtenue précédemment :

Pour n=0 : c₁ = (b / √1) c₀
Pour n=1 : c₂ = (b / √2) c₁ = (b / √2) (b / √1) c₀ = (b² / √(2×1)) c₀ = (b² / √2!) c₀
Pour n=2 : c₃ = (b / √3) c₂ = (b / √3) (b² / √2!) c₀ = (b³ / √(3×2×1)) c₀ = (b³ / √3!) c₀

Par induction, on peut généraliser cette relation pour tout n ∈ ℕ :

c_n = (bⁿ / √n!) c₀.

4. Déterminer c₀ pour que l'état |ψ⟩ soit normé

Pour que l'état |ψ⟩ soit normé, nous devons avoir ⟨ψ|ψ⟩ = 1. L'état |ψ⟩ est donné par :

|ψ⟩ = Σ_n=0^∞ c_n|n⟩ = Σ_n=0^∞ (bⁿ / √n!) c₀ |n⟩.

Alors, ⟨ψ| = Σ_m=0^∞ (b^m / √m!) c₀^* ⟨m|.

⟨ψ|ψ⟩ = (Σ_m=0^∞ (b^m / √m!) c₀^* ⟨m|) (Σ_n=0^∞ (bⁿ / √n!) c₀ |n⟩)

⟨ψ|ψ⟩ = Σ_m,n (b^m / √m!) (bⁿ / √n!) |c₀|² ⟨m|n⟩

Puisque les états |n⟩ forment une base orthonormée, ⟨m|n⟩ = δ_m,n. La somme double se réduit à une somme simple :

⟨ψ|ψ⟩ = |c₀|² Σ_n=0^∞ (bⁿ / √n!) (bⁿ / √n!) = |c₀|² Σ_n=0^∞ (b²ⁿ / n!)

Nous utilisons la relation de la série exponentielle : e^x = Σ_n=0^∞ (xⁿ / n!). En posant x = b² :

Σ_n=0^∞ (b²ⁿ / n!) = e^b².

Donc, ⟨ψ|ψ⟩ = |c₀|² e^b².

Pour la normalisation, |c₀|² e^b² = 1, ce qui donne |c₀|² = e^-b². Par conséquent, |c₀| = e^-b²/2.

En choisissant le facteur de phase réel et positif (une convention courante), on a c₀ = e^-b²/2.

L'expression de |ψ⟩ est alors :

|ψ⟩ = e^-b²/2 Σ_n=0^∞ (bⁿ / √n!) |n⟩.

5. Montrer que l'état |ψ(b=0)⟩ coïncide avec l'état fondamental de l'oscillateur harmonique

En utilisant l'expression de |ψ⟩ avec c₀ = e^-b²/2 :

|ψ⟩ = e^-b²/2 Σ_n=0^∞ (bⁿ / √n!) |n⟩.

Pour b = 0, l'expression devient :

|ψ(b=0)⟩ = e^-0²/2 Σ_n=0^∞ (0ⁿ / √n!) |n⟩

|ψ(b=0)⟩ = 1 × [ (0⁰ / √0!) |0⟩ + (0¹ / √1!) |1⟩ + (0² / √2!) |2⟩ + ... ]

Rappelons que 0⁰ = 1 et 0ⁿ = 0 pour n > 0. Aussi, √0! = √1 = 1.

Ainsi, la somme se simplifie à :

|ψ(b=0)⟩ = [ (1 / 1) |0⟩ + 0 |1⟩ + 0 |2⟩ + ... ] = |0⟩.

L'état |0⟩ est l'état fondamental de l'oscillateur harmonique.

6. Rappeler l'expression de l'opérateur hamiltonien du système

L'opérateur hamiltonien H pour un oscillateur harmonique unidimensionnel est donné par :

H = P² / (2m) + (1/2) mω² X².

Où P est l'opérateur d'impulsion, X est l'opérateur de position, m est la masse et ω est la fréquence angulaire de l'oscillateur.

7. Établir l'expression de H en fonction de ħ, ω, a et a⁺

On nous donne les opérateurs de position X et d'impulsion P en fonction des opérateurs de création et d'annihilation :

X = √(ħ / (2mω)) (a⁺ + a)

P = i√(mħω / 2) (a⁺ - a)

Nous savons également que le commutateur [a, a⁺] = aa⁺ - a⁺a = 1.

Calculons X² et P² :

X² = (ħ / (2mω)) (a⁺ + a)² = (ħ / (2mω)) (a⁺a⁺ + a⁺a + aa⁺ + aa)

P² = (i√(mħω / 2))² (a⁺ - a)² = - (mħω / 2) (a⁺a⁺ - a⁺a - aa⁺ + aa)

Maintenant, substituons ces expressions dans l'hamiltonien H = P² / (2m) + (1/2) mω² X² :

H = (1 / (2m)) [ - (mħω / 2) (a⁺a⁺ - a⁺a - aa⁺ + aa) ] + (1/2) mω² [ (ħ / (2mω)) (a⁺a⁺ + a⁺a + aa⁺ + aa) ]

H = - (ħω / 4) (a⁺a⁺ - a⁺a - aa⁺ + aa) + (ħω / 4) (a⁺a⁺ + a⁺a + aa⁺ + aa)

Regroupons les termes :

H = (ħω / 4) [ (-a⁺a⁺ + a⁺a + aa⁺ - aa) + (a⁺a⁺ + a⁺a + aa⁺ + aa) ]

H = (ħω / 4) [ 2a⁺a + 2aa⁺ ] = (ħω / 2) (a⁺a + aa⁺)

En utilisant la relation de commutation aa⁺ = a⁺a + 1 :

H = (ħω / 2) (a⁺a + a⁺a + 1) = (ħω / 2) (2a⁺a + 1)

Finalement, l'expression de l'hamiltonien est :

H = ħω (a⁺a + 1/2).

8. Calculer les valeurs moyennes des opérateurs X, P, H, X², et P² sur l'état |ψ⟩

Nous calculons les valeurs moyennes pour l'état |ψ⟩, qui est un état propre de l'opérateur d'annihilation (a|ψ⟩ = b|ψ⟩) et est normé (⟨ψ|ψ⟩ = 1), avec b ∈ ℝ⁺.

Valeur moyenne de a :

⟨a⟩ = ⟨ψ|a|ψ⟩ = ⟨ψ|b|ψ⟩ = b ⟨ψ|ψ⟩ = b.
Valeur moyenne de a⁺ :

Puisque a|ψ⟩ = b|ψ⟩, en prenant l'adjoint de cette équation, nous obtenons ⟨ψ|a⁺ = b^*⟨ψ|. Comme b est réel, b^* = b. Donc ⟨ψ|a⁺ = b⟨ψ|.

⟨a⁺⟩ = ⟨ψ|a⁺|ψ⟩ = b⟨ψ|ψ⟩ = b.
Valeur moyenne de X :

⟨X⟩ = ⟨√(ħ / (2mω)) (a⁺ + a)⟩ = √(ħ / (2mω)) (⟨a⁺⟩ + ⟨a⟩) = √(ħ / (2mω)) (b + b) = 2b√(ħ / (2mω)) = b√(2ħ / (mω)).
Valeur moyenne de P :

⟨P⟩ = ⟨i√(mħω / 2) (a⁺ - a)⟩ = i√(mħω / 2) (⟨a⁺⟩ - ⟨a⟩) = i√(mħω / 2) (b - b) = 0.
Valeur moyenne de H :

⟨H⟩ = ⟨ħω (a⁺a + 1/2)⟩ = ħω (⟨a⁺a⟩ + 1/2).

Calculons ⟨a⁺a⟩ : ⟨a⁺a⟩ = ⟨ψ|a⁺a|ψ⟩ = ⟨ψ|a⁺(b|ψ⟩) = b⟨ψ|a⁺|ψ⟩ = b × b = b².

Donc, ⟨H⟩ = ħω (b² + 1/2).
Valeur moyenne de X² :

X² = (ħ / (2mω)) (a⁺a⁺ + a⁺a + aa⁺ + aa).

⟨X²⟩ = (ħ / (2mω)) (⟨a⁺a⁺⟩ + ⟨a⁺a⟩ + ⟨aa⁺⟩ + ⟨aa⟩).

Nous avons déjà ⟨a⁺a⟩ = b². De plus :
- ⟨aa⟩ = ⟨ψ|aa|ψ⟩ = ⟨ψ|a(b|ψ⟩) = b⟨ψ|a|ψ⟩ = b × b = b².
- ⟨a⁺a⁺⟩ = (⟨aa⟩)^* = b² (car b est réel).
- ⟨aa⁺⟩ = ⟨a⁺a + 1⟩ = ⟨a⁺a⟩ + 1 = b² + 1.
Donc, ⟨X²⟩ = (ħ / (2mω)) (b² + b² + (b² + 1) + b²) = (ħ / (2mω)) (4b² + 1).
Valeur moyenne de P² :

P² = - (mħω / 2) (a⁺a⁺ - a⁺a - aa⁺ + aa).

⟨P²⟩ = - (mħω / 2) (⟨a⁺a⁺⟩ - ⟨a⁺a⟩ - ⟨aa⁺⟩ + ⟨aa⟩).

En utilisant les valeurs moyennes des produits d'opérateurs calculées précédemment :

⟨P²⟩ = - (mħω / 2) (b² - b² - (b² + 1) + b²)

⟨P²⟩ = - (mħω / 2) ( - (b² + 1) + b²) = - (mħω / 2) (-1) = mħω / 2.

9. Calcul de ΔXΔP

Calculons le produit des incertitudes ΔXΔP.

Incertitude sur X (ΔX) :

(ΔX)² = ⟨X²⟩ - ⟨X⟩²

(ΔX)² = (ħ / (2mω)) (4b² + 1) - (b√(2ħ / (mω)))²

(ΔX)² = (ħ / (2mω)) (4b² + 1) - b² (2ħ / (mω))

(ΔX)² = (ħ / (2mω)) (4b² + 1 - 4b²) = ħ / (2mω).

Donc, ΔX = √(ħ / (2mω)).
Incertitude sur P (ΔP) :

(ΔP)² = ⟨P²⟩ - ⟨P⟩²

(ΔP)² = (mħω / 2) - 0² = mħω / 2.

Donc, ΔP = √(mħω / 2).

Le produit des incertitudes est :

ΔXΔP = √(ħ / (2mω)) × √(mħω / 2) = √( (ħ / (2mω)) × (mħω / 2) ) = √(ħ² / 4) = ħ / 2.

Ce résultat est la valeur minimale du principe d'incertitude de Heisenberg pour des variables canoniquement conjuguées, ce qui est caractéristique des états cohérents.

Exercice n°2 : Collision Élastique Relativiste de Deux Protons

Ce problème a pour objectif de traiter la collision élastique de deux protons en appliquant les principes de la relativité restreinte.

1. Impulsion et Vitesse Relativistes

Montrer que p₁ = 1-(m²) et que v₁ = c.

Note : Les expressions originales des formules dans le texte étaient incomplètes ou ambiguës. Voici les questions telles qu'elles ont été fournies. Pour une résolution complète, il serait nécessaire de clarifier ces expressions. Dans un contexte de relativité restreinte, les formules générales pour l'impulsion et la vitesse d'une particule sont, par exemple : impulsion p = γmv et v = c√(1 - (mc²/E)²).

2. Relation Angulaire dans une Collision

Montrer que cos(α) = (E - E₀) / (E + 3E₀).

Cette formule est typique d'une collision où E est l'énergie totale du proton incident et E₀ = mc² est l'énergie au repos des protons. L'angle α est probablement l'angle de diffusion d'un des protons par rapport à la direction incidente, ou l'angle entre les deux protons après la collision, dans le référentiel du laboratoire.

3. Condition de Perpendicularité des Directions

À quelle condition sur l'énergie du proton 1, les directions des deux protons sont-elles perpendiculaires après la collision ?

Dans une collision élastique entre deux particules identiques, la condition de perpendicularité des directions des particules diffusées est souvent observée lorsque l'énergie cinétique incidente atteint une certaine valeur, permettant aux produits de s'éloigner à 90 degrés l'un de l'autre dans le référentiel du laboratoire. Cette condition est directement liée à l'énergie du proton incident.

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce qu'un état cohérent en mécanique quantique ?

Un état cohérent est un état quantique qui minimise le principe d'incertitude de Heisenberg et se comporte de manière très similaire à un oscillateur classique. Il est un état propre de l'opérateur d'annihilation et possède des propriétés uniques, notamment le fait que ses valeurs moyennes de position et d'impulsion suivent les équations du mouvement classiques pour un oscillateur harmonique. Il est souvent utilisé pour modéliser des faisceaux laser.

À quoi servent les opérateurs de création et d'annihilation ?

Les opérateurs de création (a⁺) et d'annihilation (a) sont des outils mathématiques fondamentaux en mécanique quantique, particulièrement utiles pour l'oscillateur harmonique et la théorie quantique des champs. L'opérateur d'annihilation réduit l'énergie d'un système en "détruisant" un quantum d'énergie ou une particule, tandis que l'opérateur de création augmente l'énergie en "créant" un quantum ou une particule. Ils simplifient grandement le calcul des observables et la compréhension des niveaux d'énergie.

Quelle est la signification du produit d'incertitude ΔXΔP = ħ/2 ?

Le produit ΔXΔP = ħ/2 représente la borne inférieure du principe d'incertitude de Heisenberg pour une paire de variables canoniquement conjuguées comme la position (X) et l'impulsion (P). Cela signifie qu'il est impossible de connaître simultanément la position et l'impulsion d'une particule avec une précision arbitraire ; plus la mesure de l'une est précise, moins celle de l'autre l'est. Les états qui atteignent cette borne minimale sont appelés états de minimum d'incertitude, comme les états cohérents et l'état fondamental de l'oscillateur harmonique, ce qui démontre leur nature la plus "classique" possible en mécanique quantique.