Td 5 physique mécanique quantique -Mécanique quantique - Tél
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Département de Physique - S4, P146: Mécanique Quantique
Travaux Dirigés - Série n°5 (Année Universitaire 2022/2023)
Exercice n° 1
Soit {|e₁⟩, |e₂⟩, |e₃⟩} une base orthonormée d'un espace vectoriel E de dimension 3 dont le corps des scalaires est celui des nombres complexes. On considère deux scalaires α et β et deux vecteurs |v⟩ = α(i|e₁⟩ + |e₂⟩ - |e₃⟩) et |φ⟩ = β(|e₂⟩ + |e₃⟩).
- Montrer que le produit scalaire ⟨v|φ⟩ = 0 quels que soient α et β.
- Déterminer α et β tels que ⟨v|v⟩ = 1 et ⟨φ|φ⟩ = 1.
Solution de l'Exercice n° 1
- Démontrons que ⟨v|φ⟩ = 0.
Étant donné |v⟩ = α(i|e₁⟩ + |e₂⟩ - |e₃⟩), son dual est ⟨v| = α*(-i⟨e₁| + ⟨e₂| - ⟨e₃|).
Étant donné |φ⟩ = β(|e₂⟩ + |e₃⟩), son dual est ⟨φ| = β*(⟨e₂| + ⟨e₃|).
Le produit scalaire est :
⟨v|φ⟩ = (α*(-i⟨e₁| + ⟨e₂| - ⟨e₃|)) (β(|e₂⟩ + |e₃⟩))
= α*β (-i⟨e₁|e₂⟩ - i⟨e₁|e₃⟩ + ⟨e₂|e₂⟩ + ⟨e₂|e₃⟩ - ⟨e₃|e₂⟩ - ⟨e₃|e₃⟩)
Puisque la base est orthonormée (⟨eᵢ|eⱼ⟩ = δᵢⱼ) :
= α*β (-i(0) - i(0) + 1 + 0 - 0 - 1)
= α*β (0)
= 0
Les vecteurs |v⟩ et |φ⟩ sont orthogonaux.
- Déterminons α et β tels que ⟨v|v⟩ = 1 et ⟨φ|φ⟩ = 1.
Pour le vecteur |v⟩ :
⟨v|v⟩ = (α*(-i⟨e₁| + ⟨e₂| - ⟨e₃|)) (α(i|e₁⟩ + |e₂⟩ - |e₃⟩))
= |α|² ((-i⟨e₁| + ⟨e₂| - ⟨e₃|) (i|e₁⟩ + |e₂⟩ - |e₃⟩))
= |α|² ((-i)(i)⟨e₁|e₁⟩ + (1)(1)⟨e₂|e₂⟩ + (-1)(-1)⟨e₃|e₃⟩)
= |α|² (1 × 1 + 1 × 1 + 1 × 1) (car les termes croisés sont nuls)
= |α|² (1 + 1 + 1)
= 3|α|²
Condition de normalisation : ⟨v|v⟩ = 1 ⇒ 3|α|² = 1 ⇒ |α| = 1/√3.
Pour le vecteur |φ⟩ :
⟨φ|φ⟩ = (β*(⟨e₂| + ⟨e₃|)) (β(|e₂⟩ + |e₃⟩))
= |β|² ((⟨e₂| + ⟨e₃|) (|e₂⟩ + |e₃⟩))
= |β|² (⟨e₂|e₂⟩ + ⟨e₃|e₃⟩)
= |β|² (1 + 1)
= 2|β|²
Condition de normalisation : ⟨φ|φ⟩ = 1 ⇒ 2|β|² = 1 ⇒ |β| = 1/√2.
Exercice n° 2
Les opérateurs suivants A(ψ) = ∂²/∂x² et D(ψ(χ)) = sin(ψ(χ)) sont-ils linéaires ?
Solution de l'Exercice n° 2
Pour qu'un opérateur Ω soit linéaire, il doit satisfaire deux conditions pour toutes fonctions ψ₁, ψ₂ et toutes constantes λ₁, λ₂ :
- Additivité : Ω(ψ₁ + ψ₂) = Ω(ψ₁) + Ω(ψ₂)
- Homogénéité : Ω(λψ₁) = λΩ(ψ₁)
Ces deux conditions peuvent être combinées en une seule : Ω(λ₁ψ₁ + λ₂ψ₂) = λ₁Ω(ψ₁) + λ₂Ω(ψ₂).
Vérifions pour chaque opérateur :
Soient ψ₁(χ) et ψ₂(χ) deux fonctions et λ₁ et λ₂ deux constantes.
Opérateur A(ψ(χ)) = ∂²/∂x²
A(λ₁ψ₁(χ) + λ₂ψ₂(χ)) = ∂²/∂x² (λ₁ψ₁(χ) + λ₂ψ₂(χ))
= λ₁ (∂²ψ₁(χ)/∂x²) + λ₂ (∂²ψ₂(χ)/∂x²)
= λ₁ A(ψ₁(χ)) + λ₂ A(ψ₂(χ))
Donc, l'opérateur A est linéaire.
Opérateur D(ψ(χ)) = sin(ψ(χ))
D(λ₁ψ₁(χ) + λ₂ψ₂(χ)) = sin(λ₁ψ₁(χ) + λ₂ψ₂(χ))
En général, sin(λ₁ψ₁(χ) + λ₂ψ₂(χ)) ≠ λ₁ sin(ψ₁(χ)) + λ₂ sin(ψ₂(χ)).
Pour un contre-exemple, prenons ψ₁(χ) = π/2, ψ₂(χ) = 0, λ₁ = 1, λ₂ = 0. Alors D(ψ₁(χ)) = sin(π/2) = 1. Si D était linéaire, D(2ψ₁(χ)) = 2 D(ψ₁(χ)) = 2. Mais D(2ψ₁(χ)) = D(π) = sin(π) = 0. Donc, il n'est pas linéaire.
Donc, l'opérateur D n'est pas linéaire.
Exercice n° 3
- Soient A, B et C des opérateurs, démontrer les relations :
- [A, A] = 0
- [A, B] = -[B, A]
- [A, B + C] = [A, B] + [A, C]
- [A + B, C] = [A, C] + [B, C]
- [A, BC] = [A, B]C + B[A, C]
- [AB, C] = [A, C]B + A[B, C]
- Montrer que : [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0. (Identité de Jacobi)
- Dans les représentations {x} et {y}, les opérateurs de quantité de mouvement sont Px = -iℏ∂/∂x et Py = -iℏ∂/∂y. Établir l'expression des commutateurs [X, Px], [Y, Px] et [Px, Py].
- Soit l'opérateur de la matrice B. Écrire la matrice représentant de l'opérateur adjoint B†.
- Calculer les valeurs propres de B.
Solution de l'Exercice n° 3
- Démontrons les relations de commutateur :
- [A, A] = AA - AA = 0
- [A, B] = AB - BA = -(BA - AB) = -[B, A]
- [A, B + C] = A(B + C) - (B + C)A = AB + AC - BA - CA = (AB - BA) + (AC - CA) = [A, B] + [A, C]
- [A + B, C] = (A + B)C - C(A + B) = AC + BC - CA - CB = (AC - CA) + (BC - CB) = [A, C] + [B, C]
- [A, BC] = ABC - BCA. Pour obtenir la forme désirée, ajoutons et soustrayons BAC :
ABC - BAC + BAC - BCA = A(BC) - (BA)C + B(AC) - B(CA)
= (AB - BA)C + B(AC - CA) = [A, B]C + B[A, C] - [AB, C] = ABC - CAB. Ajoutons et soustrayons ACB :
ABC - ACB + ACB - CAB = A(BC) - A(CB) + A(CB) - (CA)B
= A(BC - CB) + (AC - CA)B = A[B, C] + [A, C]B
- Montrons l'identité de Jacobi : [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0.
Développons chaque terme :
[A, [B, C]] = [A, BC - CB] = A(BC - CB) - (BC - CB)A = ABC - ACB - BCA + CBA
[B, [C, A]] = [B, CA - AC] = B(CA - AC) - (CA - AC)B = BCA - BAC - CAB + ACB
[C, [A, B]] = [C, AB - BA] = C(AB - BA) - (AB - BA)C = CAB - CBA - ABC + BAC
Sommons les trois expressions :
ABC - ACB - BCA + CBA
+ BCA - BAC - CAB + ACB
+ CAB - CBA - ABC + BAC
-----------------------------------
= 0 (tous les termes s'annulent)
- Établissons l'expression des commutateurs :
Soit ψ(χ, y) une fonction d'onde quelconque.
[X, Px]
[X, Px]ψ = (XPx - PxX)ψ
= X(-iℏ∂/∂x)ψ - (-iℏ∂/∂x)(Xψ)
= -iℏX ∂ψ/∂x + iℏ∂/∂x(Xψ)
En utilisant la règle du produit pour la dérivée ∂/∂x(Xψ) = 1·ψ + X·∂ψ/∂x :
= -iℏX ∂ψ/∂x + iℏ(ψ + X∂ψ/∂x)
= -iℏX ∂ψ/∂x + iℏψ + iℏX∂ψ/∂x
= iℏψ
Donc, [X, Px] = iℏ.
[Y, Px]
[Y, Px]ψ = (YPx - PxY)ψ
= Y(-iℏ∂/∂x)ψ - (-iℏ∂/∂x)(Yψ)
= -iℏY ∂ψ/∂x + iℏ∂/∂x(Yψ)
Puisque Y est une variable indépendante de x, ∂Y/∂x = 0. Donc ∂/∂x(Yψ) = Y∂ψ/∂x :
= -iℏY ∂ψ/∂x + iℏY∂ψ/∂x
= 0
Donc, [Y, Px] = 0.
[Px, Py]
[Px, Py]ψ = (PxPy - PyPx)ψ
= (-iℏ∂/∂x)(-iℏ∂/∂y)ψ - (-iℏ∂/∂y)(-iℏ∂/∂x)ψ
= (-ℏ²)∂²ψ/∂x∂y - (-ℏ²)∂²ψ/∂y∂x
Si les dérivées partielles sont continues, l'ordre de dérivation n'importe pas (∂²ψ/∂x∂y = ∂²ψ/∂y∂x) :
= -ℏ²∂²ψ/∂x∂y + ℏ²∂²ψ/∂x∂y
= 0
Donc, [Px, Py] = 0.
- Matrice de l'opérateur adjoint B† (Hermitien conjugué) :
La matrice B est donnée par :
B = &pmatrix; 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1+i \\ 1 & 1-i & 1 &pmatrix;
L'opérateur adjoint B† est la transposée conjuguée de B, c'est-à-dire (Bᵀ)*.
Bᵀ = &pmatrix; 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1-i \\ 0 & 1+i & 1 &pmatrix;
B† = (Bᵀ)* = &pmatrix; 2* & 0* & 1* \\ 0* & 0* & (1-i)* \\ 0* & (1+i)* & 1* &pmatrix; = &pmatrix; 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1+i \\ 0 & 1-i & 1 &pmatrix;
- Calcul des valeurs propres de B :
Les valeurs propres λ sont les solutions de l'équation caractéristique det(B - λI) = 0.
B - λI = &pmatrix; 2-λ & 0 & 0 \\ 0 & -λ & 1+i \\ 1 & 1-i & 1-λ &pmatrix;
det(B - λI) = (2-λ) × det&pmatrix; -λ & 1+i \\ 1-i & 1-λ &pmatrix; - 0 × (...) + 0 × (...)
= (2-λ) [(-λ)(1-λ) - (1+i)(1-i)]
= (2-λ) [-λ + λ² - (1² - i²)]
= (2-λ) [λ² - λ - (1 - (-1))]
= (2-λ) [λ² - λ - 2]
Factorisons le polynôme quadratique λ² - λ - 2 :
λ² - λ - 2 = (λ - 2)(λ + 1)
Donc, det(B - λI) = (2-λ)(λ - 2)(λ + 1) = -(λ - 2)(λ - 2)(λ + 1) = -(λ - 2)²(λ + 1)
L'équation caractéristique est -(λ - 2)²(λ + 1) = 0.
Les valeurs propres de B sont λ = 2 (valeur propre double) et λ = -1.
Exercice n° 5
- Calculer le commutateur [X, Px] dans la représentation {px}, sachant que l'action de l'opérateur X dans cette représentation s'écrit X = iℏ∂/∂px.
- Montrer que l'opérateur défini par la matrice T = &pmatrix; cos(θ) & -sin(θ) \\ sin(θ) & cos(θ) &pmatrix; est unitaire.
Solution de l'Exercice n° 5
- Calcul du commutateur [X, Px] dans la représentation {px} :
Dans la représentation de l'impulsion (ou du moment) {px}, l'opérateur de position est X = iℏ∂/∂px et l'opérateur de quantité de mouvement est Px = px.
Soit ψ(px) une fonction d'onde quelconque dans cette représentation.
[X, Px]ψ(px) = (XPx - PxX)ψ(px)
= (iℏ∂/∂px) (pxψ(px)) - px (iℏ∂/∂px) ψ(px)
Appliquons la règle du produit pour la première dérivée : ∂/∂px(pxψ) = (1)ψ + px(∂ψ/∂px).
= iℏ (ψ(px) + px∂ψ/∂px) - iℏ px(∂ψ/∂px)
= iℏψ(px) + iℏpx∂ψ/∂px - iℏpx∂ψ/∂px
= iℏψ(px)
Donc, [X, Px] = iℏ.
- Démontrons que l'opérateur T est unitaire :
Un opérateur T est unitaire si T T† = T† T = I, où I est la matrice identité et T† est l'adjoint hermitien de T.
La matrice T est donnée par : T = &pmatrix; cos(θ) & -sin(θ) \\ sin(θ) & cos(θ) &pmatrix;
Puisque tous les éléments de T sont réels, l'adjoint hermitien T† est simplement la transposée Tᵀ.
T† = Tᵀ = &pmatrix; cos(θ) & sin(θ) \\ -sin(θ) & cos(θ) &pmatrix;
Calculons T T† :
T T† = &pmatrix; cos(θ) & -sin(θ) \\ sin(θ) & cos(θ) &pmatrix; &pmatrix; cos(θ) & sin(θ) \\ -sin(θ) & cos(θ) &pmatrix;
= &pmatrix; cos²(θ) + sin²(θ) & cos(θ)sin(θ) - sin(θ)cos(θ) \\ sin(θ)cos(θ) - cos(θ)sin(θ) & sin²(θ) + cos²(θ) &pmatrix;
En utilisant l'identité trigonométrique cos²(θ) + sin²(θ) = 1 :
= &pmatrix; 1 & 0 \\ 0 & 1 &pmatrix; = I
Calculons T† T :
T† T = &pmatrix; cos(θ) & sin(θ) \\ -sin(θ) & cos(θ) &pmatrix; &pmatrix; cos(θ) & -sin(θ) \\ sin(θ) & cos(θ) &pmatrix;
= &pmatrix; cos²(θ) + sin²(θ) & -cos(θ)sin(θ) + sin(θ)cos(θ) \\ -sin(θ)cos(θ) + cos(θ)sin(θ) & sin²(θ) + cos²(θ) &pmatrix;
= &pmatrix; 1 & 0 \\ 0 & 1 &pmatrix; = I
Puisque T T† = T† T = I, l'opérateur T est unitaire.
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'un opérateur linéaire en mécanique quantique ?
Un opérateur linéaire Ω est une transformation qui agit sur les fonctions d'onde ψ et satisfait la propriété Ω(λ₁ψ₁ + λ₂ψ₂) = λ₁Ω(ψ₁) + λ₂Ω(ψ₂) pour toutes fonctions d'onde ψ₁, ψ₂ et toutes constantes (scalaires) λ₁, λ₂. Les opérateurs physiques en mécanique quantique, comme l'énergie, la position ou l'impulsion, sont généralement linéaires.
Quelle est la signification du commutateur [X, Px] = iℏ ?
Le commutateur [X, Px] = iℏ est l'une des relations fondamentales de la mécanique quantique, connue sous le nom de relation de commutation canonique. Il signifie que les opérateurs de position X et de quantité de mouvement Px ne commutent pas, ce qui est une expression mathématique du principe d'incertitude de Heisenberg. On ne peut pas connaître simultanément et avec une précision arbitraire la position et l'impulsion d'une particule.
Pourquoi les opérateurs unitaires sont-ils importants en mécanique quantique ?
Les opérateurs unitaires sont cruciaux en mécanique quantique car ils préservent la norme des vecteurs d'état (fonctions d'onde) et donc la probabilité totale. Ils représentent des transformations qui ne changent pas la physique du système, telles que l'évolution temporelle des états (via l'opérateur d'évolution temporelle) ou les rotations spatiales. Une transformation unitaire garantit que si un état est normalisé avant la transformation, il le reste après, ce qui est essentiel pour l'interprétation probabiliste de la mécanique quantique.