Td 3 cinématique du solide - Télécharger pdf

Télécharger PDF

TD3 – Exercices de Cinématique du Solide

Exercice 1

On se propose d’étudier le mouvement d’un disque S, de centre G et de rayon R, qui roule sans glisser autour de l’axe vertical.

Pour étudier le mouvement du disque, on introduit le référentiel fixe R₀(O, e₁, e₂, e₃) tel que le centre d’inertie G du disque décrit un mouvement circulaire de rayon a et de centre H (OI = HG = a et GM = R). Le référentiel mobile R₁ (O, u, v, w) est en mouvement par rapport à R₀, tel que : (e₂, u) = ϕ. Le référentiel R₂(G, u₁, u₂, u₃) est direct, lié au disque et le suit dans son mouvement de roulement, sans glissement, avec : (v, u₂) = θ « sens positif » ; u₁ ∧ u₂ = u₃.

N.B. Tous les résultats sont donnés dans le référentiel R₁ (O, u, v, w).

Déterminer le vecteur rotation instantanée du solide S par rapport à R₁, souvent noté Ω(S/R₁).
Déterminer le vecteur rotation instantanée du solide S par rapport à R₀, souvent noté Ω(S/R₀).
Déterminer les éléments de réduction du torseur cinématique V(S/R₀) au point G. Ces éléments sont le vecteur rotation instantanée (résultante cinématique) et le vecteur vitesse du point G.
Déterminer la vitesse V(M) du point M du solide S par rapport au référentiel R₀.
Donner la condition de roulement sans glissement du solide.

Déduire, dans cette condition, la direction du vecteur rotation instantanée (résultante cinématique).

Exercice 2

Une sphère S de centre G et de rayon R roule sans glissement sur le plan horizontal d’un référentiel fixe R₀(O, e_x, e_y, e_z), de telle sorte que le point A de sa surface reste fixe sur l’axe vertical dirigé par e_z et le point I de la sphère reste constamment en contact avec le plan horizontal.

Le repère orthonormé R₁(O, u_r, v_r, e_z) est déduit de la rotation de la sphère autour de l’axe vertical, avec : (e_x, u_r) = ϕ. Le repère orthonormé R(G, u'_r, v'_r, w'_r) lié à la sphère traduit sa rotation propre autour d’elle-même, avec : (v_r, u'_r) = θ.

Déterminer les éléments de réduction du torseur cinématique au point G (vecteur rotation instantanée et vitesse du point G).
Déduire ces mêmes éléments au point I (point de contact).
Exprimer la condition de roulement sans glissement.

Dans cette condition, conjecturer et démontrer l’axe instantané de rotation.

Exercice 3

On considère le repère fixe R₀(O, x₀, y₀, z₀), vis-à-vis duquel le repère R₁(O, x₁, y₁, z₁) est mobile. Les vecteurs x₁ et y₁ restent dans le plan (O, x₀, y₀) tels que : (x₀, x₁) = θ(t), et OI = λ x₁. Un cercle C de centre G et de rayon R se déplace dans le plan (O, x₁, y₁) en restant constamment en contact, au point I, avec l'axe (O, x₁).

Le vecteur unitaire u_r lié au cercle C est tel que : (x₁, u_r) = ϕ(t). Les paramètres de position du cercle sont donnés à travers les coordonnées du point G « qui est le centre d’inertie du cercle ».

Toutes les réponses sont à projeter dans le repère R₁.

Donner la position du centre d’inertie G du cercle dans le repère R₁.
Déterminer, au point G, les éléments de réduction du torseur cinématique V(C/R₁) associé au mouvement du cercle par rapport à R₁.
Déduire, au point G, les éléments de réduction du torseur cinématique V(C/R₀) associé au mouvement du cercle par rapport à R₀.
Déterminer dans R₁ les composantes des vecteurs V(C/R₁)(I) et V(C/R₀)(I).
Déduire la condition de roulement sans glissement de C par rapport à l'axe (O, x₁).

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce qu'un torseur cinématique ?

Un torseur cinématique est un outil mathématique utilisé en mécanique du solide pour représenter de manière unifiée le champ des vitesses de tous les points d'un solide en mouvement. Il est caractérisé par deux éléments principaux : le vecteur rotation instantanée (également appelé résultante cinématique) et le vecteur vitesse d'un point particulier (souvent le centre d'inertie ou un point de contact), exprimés en un même point de réduction.

Que signifie la condition de "roulement sans glissement" ?

La condition de roulement sans glissement implique que le point du solide en contact avec la surface sur laquelle il roule a une vitesse nulle par rapport à cette surface. Il n'y a donc pas de mouvement relatif de glissement entre les deux surfaces au point de contact, ce qui est une hypothèse courante et simplificatrice en cinématique et en dynamique.

Comment déterminer l'axe instantané de rotation ?

L'axe instantané de rotation (AIR) est la ligne de l'espace dont tous les points ont une vitesse nulle à un instant donné. Pour un mouvement plan, cet axe est perpendiculaire au plan du mouvement et passe par le centre instantané de rotation (CIR). Pour un mouvement en trois dimensions, l'AIR est porté par le vecteur rotation instantanée et passe par tout point dont le vecteur vitesse est parallèle à ce même vecteur rotation instantanée.