Ce document de Travaux Dirigés (TD) est conçu pour les étudiants universitaires abordant la mécanique du solide.
Il se concentre sur la cinématique des solides rigides à travers une série d'exercices pratiques. Les notions fondamentales couvertes incluent :
- Les référentiels et les mouvements relatifs
- Les théorèmes de composition des vitesses et des accélérations
- L'utilisation du torseur cinématique
- La condition de roulement sans glissement
Une section FAQ est également incluse pour clarifier les concepts clés.
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Télécharger PDFTD Chapitre 2 : Cinématique du solide
Exercice 1
Soit R0 (O, er1, er2, er3) un repère orthonormé direct lié à l'espace de référence absolu R0. On désigne par Ri (O, xi, yi, zi) un repère orthonormé lié au solide Si en mouvement par rapport à R0.
S1 est une barre O1L1 de longueur 2L dont l'extrémité O1 coïncide constamment avec O. Elle se déplace dans le plan (O, x0, y0) et est repérée par le paramètre Ψ = (O, x0, x1), mesuré autour de z0. La position est donnée par le vecteur O1L1 = 2L x1 (avec z0 = z1).
S2 est une plaque carrée, de côté 2a, qui peut glisser et tourner autour de l'axe (O1, x1). Le vecteur A2B2 = 2a x2. G2 étant le centre de la plaque et O2 le milieu de A2B2, on pose O2G2 = a y2.
On repère S2 par les paramètres suivants : le vecteur OO2 = λ x1 et l'angle (z1, z2) = θ mesuré autour de x1.
- Calculer vectoriellement la vitesse relative et la vitesse d'entraînement de G2 (repère relatif R1 par rapport au repère absolu R0). En déduire les composantes dans R1 de la vitesse absolue de G2.
- Calculer les composantes de l'accélération absolue de G2 en projection dans R1 :
- par la méthode de dérivation vectorielle composée,
- en appliquant le théorème de composition des accélérations.
Exercice 2
On considère une barre AB rectiligne de longueur 2L, dont l’extrémité A est en mouvement sur l’axe Ox3 d’un référentiel fixe R0(O, er1, er2, er3). L’extrémité B est mobile dans le plan (O, x1x2).
Pour étudier le mouvement de la barre, on se propose d’introduire deux référentiels mobiles par rapport à R0 :
- R1(O, ur, vr, er3) où vr est un vecteur unitaire parallèle au plan (O, x1x2).
- R2(G, ur, wr, er3) lié au solide S tel que : ur ∧ wr = er3. G est le centre d’inertie de la barre AB.
- Déterminer la position du point G au moyen des angles d’Euler.
- Déterminer les éléments de réduction du torseur cinématique au point A.
- Déterminer la vitesse absolue au point G de trois façons différentes.
Exercice 3
Une sphère S de centre G et de rayon R est en mouvement par rapport au référentiel fixe R0(O, er1, er2, er3). La sphère roule sans glisser sur le plan horizontal π(O, er1, er2) de telle sorte que le point O1 lié à S et situé à une distance égale à R du plan π, reste fixe. La condition est que OO1 = R er3.
- Représenter graphiquement l’état du mouvement à un instant t, en définissant le repère orthonormé d’origine O1 lié à la sphère par ses angles d’Euler.
- Déduire la résultante du torseur cinématique.
- Exprimer la condition de roulement sans glissement.
Exercice 4
Soit le référentiel R0 auquel est attaché le repère direct R0 (O, ex0, ey0, ez0). Le repère R1 (O, ex1, ey1, ez1) est mobile par rapport à R0, avec (ex1, ey1) formant un plan dans (O, ex0, ey0) tel que ez1 = ez0.
L'angle entre l'axe ex0 et ex1 est défini par θ(t). Un cercle C de centre G et de rayon R se déplace dans le plan (O, ex1, ey1) en restant constamment en contact avec l'axe (O, ex1). Le vecteur unitaire ur lié au cercle C est tel que l'angle (ex1, ur) = ϕ(t). Les paramètres de position du cercle sont donnés par les coordonnées du point G, qui est le centre d’inertie du cercle.
- Donner la position du centre d’inertie du cercle dans le repère R1.
- Déterminer par leurs composantes dans le repère R1 :
- les éléments de réduction au point G du torseur cinématique VC/R1 associé au mouvement du cercle par rapport à R1.
- les éléments de réduction au point G du torseur cinématique VC/R0 associé au mouvement du cercle par rapport à R0.
- Déterminer dans R1 les composantes des vecteurs VrC/R1(P) et VrC/R0(P).
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce que le théorème de composition des vitesses et des accélérations ?
Le théorème de composition des vitesses permet de relier la vitesse d'un point dans un référentiel absolu à sa vitesse dans un référentiel relatif et à la vitesse d'entraînement. Similairement, le théorème de composition des accélérations relie l'accélération absolue, l'accélération relative, l'accélération d'entraînement et l'accélération de Coriolis.
Qu'est-ce qu'un torseur cinématique ?
En mécanique des solides, le torseur cinématique est un outil mathématique qui caractérise le mouvement instantané d'un solide rigide. Il est composé de deux vecteurs : le vecteur rotation instantanée du solide (la résultante du torseur) et le vecteur vitesse en un point donné du solide (le moment du torseur).
Comment exprime-t-on la condition de roulement sans glissement ?
La condition de roulement sans glissement entre un solide et une surface se traduit par l'annulation de la vitesse du point de contact du solide par rapport à la surface. Autrement dit, le point du solide en contact avec la surface a une vitesse nulle dans le référentiel de la surface.