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Physique Quantique I : Travaux Dirigés N° 1

A / Corpuscules de lumière

Exercice 1 : Rayonnement du corps noir

Une enceinte imperméable à la chaleur et au rayonnement, portée à la température T est percée d’un orifice par lequel sont émises des radiations électromagnétiques.

Donner l’allure expérimentale de la densité d’énergie U_T(ν) des radiations émises en fonction de la fréquence. Commenter.
Rayleigh et Jeans ont montré que le champ électromagnétique à l’intérieur de la cavité est équivalent à un ensemble d’oscillateurs harmoniques indépendants et qu’à l’équilibre thermique, la densité d’énergie est donnée par : U = (8πν² / c³) <E> où c est la vitesse de la lumière et <E> est l’énergie moyenne d’un oscillateur. Commenter les résultats obtenus dans les cas suivants en précisant ce que l’on entend par catastrophe ultraviolette :
1. <E> = kT
2. <E> = hν / (e^hν/kT - 1)
On considère le cas ii) et on pose x = hν/kT
1. Montrer que le maximum d’intensité du spectre est atteint lorsque e^x = 3 / (3-x).
2. L’équation ci-dessus peut être résolue graphiquement et on a x_max = 2.821. Trouver la loi de déplacement de Wien et calculer la température du soleil sachant que le maximum d’intensité du spectre solaire correspond à λ = 0.55 µm. On donne c = 3 × 10⁸ m/s, k = 1.38 × 10⁻²³ J/K. (Note: La constante de Boltzmann k est généralement 1.38 × 10⁻²³ J/K, l'exposant 10²³ dans le texte original est une erreur de signe.)

Exercice 2 : Effet Compton

1. Montrer et interpréter la relation qui régit l’effet Compton : λ - λ₀ = (h / (m_ec))(1 - cos θ). Cette relation décrit la variation de longueur d'onde du photon après diffusion par un électron.
2. Montrer que la relation entre l’angle de diffusion du photon (θ) et l’angle de diffusion de l’électron (φ) est telle que : cot φ = (1 + (hν₀ / (m_ec²))) tan(θ/2).
3. Montrer que l’énergie cinétique maximale transférée à l’électron après diffusion est : E_c,max = hν₀ / (1 + m_ec² / (2hν₀)).
1. Un rayon X de longueur d’onde λ₀ = 0.300 Å subit une diffusion Compton à 60°. Quelles sont, après diffusion, la longueur d’onde du photon et l’énergie cinétique de l’électron ?
2. Un électron frappé par un rayon X de 0.5 MeV acquiert une énergie de 0.1 MeV.
  - Calculer la longueur d’onde du photon diffusé sachant que l’électron était initialement au repos.
  - Calculer l’angle que fait le photon diffusé avec le photon incident.
On donne : h / (m_ec) = 0.024 Å (appelée longueur d’onde de Compton, notée λ_C).

Exercice 3 : Effet photo-électrique sur les métaux

On envoie sur une cathode en potassium :

Une radiation ultraviolette (raie du Hg) de longueur d’onde λ = 2537 Å et on mesure une contre-tension |V₀| = 3.14 V.
Une radiation visible (raie jaune du Na) de longueur d’onde λ = 5890 Å et la contre-tension est alors |V₀| = 0.36 V.

On demande de calculer :

L’énergie maximale des photo-électrons éjectés.
La valeur de la constante de Planck (h).
L’énergie d’extraction minimale des électrons du potassium.
La longueur d’onde maximale des radiations produisant un effet photo-électrique sur le potassium (λ_s, longueur d'onde de seuil).

B / Ondes de matière

Exercice 4 : Traitement classique ou quantique

Une action est une grandeur homogène à (quantité de mouvement) × (longueur) ou encore (énergie) × (temps). La constante h est le quantum fondamental d’action (la constante de Planck). Le critère admis est le suivant : lorsqu’une action associée au système prend une valeur proche de h, le comportement d’un tel système doit être décrit par la théorie quantique. Si au contraire une action est très grande par rapport à h, une description classique est suffisante.

Classer les systèmes suivants selon qu’ils relèvent de la théorie classique ou quantique :

Une masse m de 1 g effectuant des oscillations d’amplitude x = 1 cm avec une vitesse v = 1 cm/s.
Atome d’hydrogène dont l’énergie d’ionisation est 13 eV émettant une radiation de longueur d’onde λ = 100 nm.
Un noyau dont l’énergie de liaison (neutron ou proton) est typiquement de l’ordre de 8 MeV ; la dimension caractéristique du noyau se situe autour de r = 1 Fermi tandis que la masse d’un nucléon vaut 1.6 × 10⁻²⁷ Kg.

Exercice 5 : Relation de Louis De Broglie

On considère maintenant la relation de Louis De Broglie.

Rappeler cette relation et établir à partir du critère ci-dessus, la discussion pour savoir si un système d’atomes distants de 'a' peut être traité classiquement.
Utiliser ce nouveau critère pour dire si les systèmes suivants doivent être traités quantiquement ou classiquement :
1. Faisceau monocinétique d’électrons d’énergie 100 eV qui rencontre un cristal dont le paramètre de réseau est 1 Å.
2. Gaz d’hélium (M=4) à la température ambiante.
3. Une goutte d’eau de diamètre 0.1 mm se déplaçant à la vitesse 10 m/s.
On envoie un faisceau d’électrons monocinétique d’énergie E sur un métal. Ces électrons pénètrent profondément dans le métal et sont alors soumis à un potentiel V₀ :
V(x) = 0 pour x < 0 (électrons dans le vide)

V(x) = V₀ pour x > 0 (électrons dans le métal)
Les électrons sont alors diffractés et l’on peut mesurer leur longueur d’onde associée. Déterminer cette longueur d’onde en fonction de E dans l’approximation non relativiste.

C / Évolution d’un paquet d’ondes gaussien

Exercice 5 : Paquet d’ondes

On considère une particule libre de masse m que l’on décrit par un paquet d’ondes (à une dimension) défini par :

ψ(x, t) = (1 / √(2π)) ∫_-∞^+∞ g(k) e^{+i(kx - ωt)} dk

Montrer que ψ(x, t) est solution de l’équation de Schrödinger.
On suppose que g(k) est une gaussienne centrée sur k₀ ; soit : g(k) = A . e^{-a²(k-k₀)² / 4} avec A = √(a / √(2π)) . (2m)^3/2 (La valeur de A indiquée ici n'est pas cohérente avec l'expression de g(k) donnée pour une gaussienne normalisée pour une TF, mais nous utilisons celle fournie). 'a' est homogène à une distance.
- Montrer que la probabilité de présence de la particule est indépendante du temps.
- L’expression de ψ(x, t) (à un facteur de phase près) s’écrit :
  ψ(x, t) = √(2a² / (π α(t)))^1/4 × exp(-a²(x - x_c(t))² / (2α(t))) , avec α(t) = a² + (2ħt/m)² et x_c(t) = (ħk₀t / m).
  Note: Le texte original contenait des symboles illisibles et des expressions mal formattées, l'expression de ψ(x,t) a été reformulée pour plus de clarté en gardant l'esprit de l'original.
- Calculer la densité de probabilité |ψ(x, t)|².
- En déduire la vitesse du groupe v_g.
Retrouver v_g en considérant la relation de dispersion ω(k). Comparer v_g à la vitesse de phase v_φ et à la vitesse v de la particule. Conclure.

Corrigé des Travaux Dirigés N° 1, Physique Quantique I

A / Corpuscules de lumière

Exercice 1 : Rayonnement du corps noir

L’allure expérimentale de la densité d’énergie U_T(ν) des radiations émises en fonction de la fréquence est régie par les deux lois semi-empiriques :
- Loi de Stefan-Boltzmann : ∫ U(ν)dν ∝ T⁴. Cette loi indique que l'énergie totale rayonnée par unité de surface d'un corps noir est proportionnelle à la quatrième puissance de sa température absolue.
- Loi de déplacement de Wien : λ_max.T = constante. Cette loi stipule que la longueur d'onde à laquelle le corps noir émet le maximum de rayonnement est inversement proportionnelle à sa température absolue.
À l’équilibre thermique, la densité d’énergie est donnée par : U = (8πν² / c³) <E>.
1. <E> = kT. Dans ce cas, la densité d’énergie classique U devient U_cl = (8πkT / c³) ν².
  Donc U_cl(ν) se comporte comme une fonction en ν². Ce sens de variation explique la première partie des variations aux faibles valeurs de ν. Cependant, pour les grandes valeurs de ν (ν >> 1), U_cl(ν) → ∞, ce qui est en contradiction avec le fait que U(ν) doit être finie. C’est ce qu'on appelle la catastrophe ultraviolette : la physique classique prédit que l'énergie rayonnée par un corps noir devrait devenir infinie dans le domaine des hautes fréquences (ultraviolet et au-delà), ce qui n'est pas observé expérimentalement.
2. <E> = hν / (e^hν/kT - 1). Dans ce cas, la densité d'énergie quantique U_Quant(ν) = (8πh / c³) (ν³ / (e^hν/kT - 1)).
  - Pour les fréquences faibles, hν << kT, on peut approximer e^hν/kT - 1 ≈ hν/kT. Alors U_Quant(ν) ≈ (8πh / c³) (ν³ / (hν/kT)) = (8πkT / c³) ν², ce qui correspond au cas classique (Loi de Rayleigh-Jeans) pour les basses fréquences.
  - Pour les fréquences grandes, hν >> kT, on a e^hν/kT - 1 ≈ e^hν/kT. Donc U_Quant(ν) ≈ (8πh / c³) ν³ e^-hν/kT. Cette expression montre que U_Quant(ν) décroît exponentiellement avec ν, ce qui est en accord avec les observations expérimentales pour les hautes fréquences. De plus, si ν → ∞, alors U(ν) → 0, ce qui empêche la catastrophe ultraviolette et résout le problème du corps noir.
On considère le cas ii) et en posant x = hν/kT.
1. On a x = hν/kT avec U(ν) = (8πhν³ / c³) / (e^hν/kT - 1).
  En substituant ν = xkT/h, on obtient U(x) = A . x³ / (e^x - 1), où A est une constante. Pour trouver le maximum, on dérive U(x) par rapport à x et on annule la dérivée : dU(x)/dx = 0.
  
  dU(x)/dx = A . [3x²(e^x - 1) - x³e^x] / (e^x - 1)² = 0
  
  Ceci implique : 3x²(e^x - 1) - x³e^x = 0
  
  En simplifiant par x² (pour x ≠ 0) : 3(e^x - 1) - xe^x = 0
  
  Donc : 3e^x - 3 - xe^x = 0
  
  e^x(3 - x) = 3
  
  e^x = 3 / (3 - x)
2. On a x_m = 2.821 (Résolution numérique).
  Loi de déplacement de Wien :
  
  On a x = hν/kT, et d'après la loi de Wien λ_mT = constante. On sait que ν_m = c/λ_m.
  
  Pour le maximum, x_m = hν_m/kT, donc T = hν_m / (kx_m).
  
  Alors λ_mT = λ_m (hν_m / (kx_m)) = λ_m (h (c/λ_m) / (kx_m)) = hc / (kx_m) = constante.
  
  Calcul de la constante de Wien :
  
  Constante = (6.63 × 10⁻³⁴ J.s × 3 × 10⁸ m/s) / (1.38 × 10⁻²³ J/K × 2.821) ≈ 2.898 × 10⁻³ m.K.
  
  Température du Soleil :
  
  Avec λ_m = 0.55 µm = 0.55 × 10⁻⁶ m, on utilise la loi de Wien :
  
  T = Constante / λ_m = (2.898 × 10⁻³ m.K) / (0.55 × 10⁻⁶ m) ≈ 5269 K.
  
  N.B : Une telle température est obtenue en supposant que le Soleil est un corps noir. La température de surface du Soleil est d'environ 5778 K (légèrement différente en raison des approximations et de la nature non parfaitement noire du Soleil).

Exercice 2 : Effet Compton

1. Variation de la longueur d’onde du photon (Relation de Compton) :
  On applique la conservation de l’impulsion : p₀ = p + p_e, où p₀ est l'impulsion du photon incident, p celle du photon diffusé, et p_e celle de l'électron après choc. (On utilise des caractères gras pour les vecteurs).
  
  La conservation de l’énergie (expressions relativistes) est : E₀ + m_ec² = E + √(m_e²c⁴ + p_e²c²), où E₀ et E sont les énergies des photons incident et diffusé, et m_ec² l'énergie de masse de l'électron au repos.
  
  À partir de la conservation de l'impulsion, on peut écrire p_e² = (p₀ - p)² = p₀² + p² - 2p₀ ⋅ p = p₀² + p² - 2p₀p cos θ (où θ est l'angle de diffusion du photon).
  
  En combinant avec la conservation de l'énergie et en utilisant E = pc et p = h/λ, on aboutit à la relation de Compton :
  
  λ - λ₀ = (h / (m_ec)) (1 - cos θ)
  
  Interprétation : Cette relation décrit la modification de la longueur d'onde d'un photon (rayon X ou gamma) lorsqu'il interagit avec un électron libre ou faiblement lié. Le photon, considéré comme une particule (corpuscule de lumière), transfère une partie de son énergie et de son impulsion à l'électron, ce qui entraîne une augmentation de sa longueur d'onde et un changement de direction. La valeur (h / (m_ec)) est la longueur d'onde de Compton (λ_C), qui est une constante fondamentale. L'effet Compton est une preuve de la nature corpusculaire de la lumière (photons).
2. Relation entre θ et φ :
  En utilisant les composantes de l'impulsion (conservation) :
  
  Composante x : p₀ = p cos θ + p_e cos φ
  
  Composante y : 0 = p sin θ - p_e sin φ
  
  De ces équations et la relation de Compton, après simplification trigonométrique, on obtient :
  
  cot φ = (1 + (hν₀ / (m_ec²))) tan(θ/2)
3. Énergie cinétique maximale transférée à l'électron :
  L'énergie cinétique transférée à l'électron est E_c = E₀ - E = hν₀ - hν.
  
  En utilisant la relation de Compton et des manipulations algébriques, on trouve que l'énergie cinétique E_c est maximale lorsque θ = π (diffusion à 180°), et dans ce cas :
  
  E_c,max = hν₀ / (1 + m_ec² / (2hν₀))
Application :
1. Un rayon X de λ₀ = 0.3 Å subit une diffusion Compton à θ = 60°.
  Δλ = λ_C (1 - cos θ) = 0.024 Å (1 - cos 60°) = 0.024 Å (1 - 0.5) = 0.012 Å.
  
  λ = λ₀ + Δλ = 0.3 Å + 0.012 Å = 0.312 Å.
  
  L'énergie cinétique de l'électron : E_c = E₀ - E = hc/λ₀ - hc/λ = hc (1/λ₀ - 1/λ).
  
  E_c = (6.63 × 10⁻³⁴ J.s × 3 × 10⁸ m/s) × (1/(0.3 × 10⁻¹⁰ m) - 1/(0.312 × 10⁻¹⁰ m))
  
  E_c ≈ 2.55 × 10⁻¹⁶ J ≈ 1592.2 eV ≈ 1.59 keV.
2. Un électron frappé par un rayon X de 0.5 MeV acquiert une énergie de 0.1 MeV.
  - Calcul de la longueur d’onde du photon diffusé :
    Conservation de l'énergie : E₀ + m_ec² = E + E_e + m_ec².
    
    E₀ = E + E_e. L'énergie du photon incident E₀ = 0.5 MeV.
    
    L'énergie cinétique acquise par l'électron E_e = 0.1 MeV.
    
    Donc, l'énergie du photon diffusé E = E₀ - E_e = 0.5 MeV - 0.1 MeV = 0.4 MeV.
    
    La longueur d'onde du photon diffusé est λ = hc/E.
    
    λ = (6.63 × 10⁻³⁴ J.s × 3 × 10⁸ m/s) / (0.4 × 1.602 × 10⁻¹³ J) ≈ 3.10 × 10⁻¹² m = 0.031 Å.
  - Calcul de l’angle de diffusion θ :
    On utilise la relation de Compton : λ - λ₀ = λ_C (1 - cos θ).
    
    Il nous faut λ₀ : λ₀ = hc/E₀ = (6.63 × 10⁻³⁴ J.s × 3 × 10⁸ m/s) / (0.5 × 1.602 × 10⁻¹³ J) ≈ 2.48 × 10⁻¹² m = 0.0248 Å.
    
    Donc, cos θ = 1 - (λ - λ₀) / λ_C = 1 - (0.031 Å - 0.0248 Å) / 0.024 Å = 1 - (0.0062 / 0.024) ≈ 1 - 0.258 = 0.742.
    
    θ = arccos(0.742) ≈ 42.1°.

Exercice 3 : Effet Photo-électrique

Énergies maximales des photo-électrons éjectés :
L'énergie cinétique maximale des photo-électrons est donnée par E_c,max = e|V₀|, où e est la charge élémentaire et |V₀| la contre-tension.
- Pour l’U.V. (raie du Hg) : E_c,UV,max = 3.14 eV.
- Pour le visible (raie jaune du Na) : E_{c,visible,max} = 0.36 eV.
Détermination de la constante de Planck h :
Selon l'équation d'Einstein pour l'effet photoélectrique, E_c,max = hν - W_e, où W_e est l'énergie d'extraction (travail de sortie).

E_c,max = hc/λ - W_e.

Pour l'UV : E_c,UV,max = hc/λ_Hg - W_e

Pour le visible : E_{c,visible,max} = hc/λ_Na - W_e

En soustrayant les deux équations : E_c,UV,max - E_{c,visible,max} = hc (1/λ_Hg - 1/λ_Na).

h = (E_c,UV,max - E_{c,visible,max}) / (c (1/λ_Hg - 1/λ_Na)).

E_c,UV,max - E_{c,visible,max} = (3.14 - 0.36) eV = 2.78 eV = 2.78 × 1.602 × 10⁻¹⁹ J ≈ 4.45 × 10⁻¹⁹ J.

1/λ_Hg - 1/λ_Na = 1/(2537 × 10⁻¹⁰ m) - 1/(5890 × 10⁻¹⁰ m) ≈ (3.94 × 10⁶ - 1.70 × 10⁶) m⁻¹ = 2.24 × 10⁶ m⁻¹.

h = (4.45 × 10⁻¹⁹ J) / (3 × 10⁸ m/s × 2.24 × 10⁶ m⁻¹) ≈ 6.62 × 10⁻³⁴ J.s. (Cette valeur est très proche de la valeur universelle de la constante de Planck).
Énergie d’extraction minimale des électrons du potassium :
En utilisant l'équation d'Einstein avec les données de la raie UV :

W_e = hc/λ_Hg - E_c,UV,max.

W_e = (6.62 × 10⁻³⁴ J.s × 3 × 10⁸ m/s) / (2537 × 10⁻¹⁰ m) - (3.14 × 1.602 × 10⁻¹⁹ J).

W_e ≈ 7.82 × 10⁻¹⁹ J - 5.03 × 10⁻¹⁹ J ≈ 2.79 × 10⁻¹⁹ J.

En eV : W_e = 2.79 × 10⁻¹⁹ J / (1.602 × 10⁻¹⁹ J/eV) ≈ 1.74 eV.
Longueur d’onde maximale des radiations produisant un effet photo-électrique sur le potassium :
C'est la longueur d'onde de seuil λ_s, pour laquelle E_c,max = 0. Donc hν_s = W_e ou hc/λ_s = W_e.

λ_s = hc/W_e.

λ_s = (6.62 × 10⁻³⁴ J.s × 3 × 10⁸ m/s) / (2.79 × 10⁻¹⁹ J) ≈ 7.12 × 10⁻⁷ m = 0.712 µm.

B / Ondes de matière

Exercice 4 : Traitement classique ou quantique

On définit l’action A comme étant une grandeur homogène à (quantité de mouvement) × (longueur) ou encore (énergie) × (temps). La constante h est le quantum fondamental d’action (constante de Planck). Le critère est :

Si A ≈ h ⇒ traitement quantique.
Si A >> h ⇒ traitement classique.

L’unité de l’action est le Joule-seconde (J.s). On utilise h ≈ 6.63 × 10⁻³⁴ J.s.

Masse de 1 g effectuant des oscillations :
m = 1 g = 10⁻³ kg, x = 1 cm = 10⁻² m, v = 1 cm/s = 10⁻² m/s.

Quantité de mouvement p = mv = 10⁻³ kg × 10⁻² m/s = 10⁻⁵ kg.m/s.

L'action caractéristique peut être estimée par A ≈ p.x = 10⁻⁵ kg.m/s × 10⁻² m = 10⁻⁷ J.s.

En comparant à h : A / h = 10⁻⁷ J.s / (6.63 × 10⁻³⁴ J.s) ≈ 1.5 × 10²⁶. L'action est très grande par rapport à h.

Conclusion : Traitement classique.
Atome d’hydrogène :
Énergie d’ionisation E ≈ 13 eV ≈ 2.08 × 10⁻¹⁸ J. Longueur d’onde de radiation λ = 100 nm.

Pour une radiation, l'action peut être estimée par A = E/ν = E / (c/λ) = Eλ/c. (Ou E.Δt, où Δt est une durée caractéristique, ou Δp.Δx).

En utilisant une approche alternative avec l'énergie : E ≈ ħω = hν. Si l'atome est dans un état lié, l'action associée à son mouvement orbital est de l'ordre de h.

Prenons l'action comme E.T, où T est une période caractéristique. Pour un électron dans l'atome d'hydrogène, une action pertinente est de l'ordre de h. Si l'on considère la radiation émise, l'énergie est E = hc/λ.

Prenons une action caractéristique pour un système atomique : A ≈ E × (temps caractéristique). Le temps caractéristique pour une transition électronique est inversement proportionnel à la fréquence ν. A ≈ h.

Conclusion : Traitement quantique.
Noyau :
Énergie de liaison E ≈ 8 MeV ≈ 1.28 × 10⁻¹² J. Rayon r = 1 Fermi = 10⁻¹⁵ m. Masse d’un nucléon m = 1.6 × 10⁻²⁷ kg.

L'impulsion caractéristique p = √(2mE) ≈ √(2 × 1.6 × 10⁻²⁷ kg × 1.28 × 10⁻¹² J) ≈ 6.4 × 10⁻²⁰ kg.m/s.

Action A ≈ p.r = 6.4 × 10⁻²⁰ kg.m/s × 10⁻¹⁵ m = 6.4 × 10⁻³⁵ J.s.

En comparant à h : A / h = 6.4 × 10⁻³⁵ J.s / (6.63 × 10⁻³⁴ J.s) ≈ 0.096. L'action est de l'ordre de h.

Conclusion : Traitement quantique.

Exercice 5 : Relation de Louis De Broglie

Rappel de la relation de Louis De Broglie :
La relation de Louis De Broglie affirme que toute particule de matière est associée à une onde, manifestant ainsi la dualité onde-corpuscule. La longueur d’onde (λ) de cette onde de matière est inversement proportionnelle à la quantité de mouvement (p) de la particule :

λ = h / p

où h est la constante de Planck. Cette relation peut aussi s'écrire vectoriellement comme p = ħk, où ħ = h/(2π) est la constante de Planck réduite et k est le vecteur d'onde.

Critère pour un système d'atomes distants de 'a' :

Pour qu'un système d'atomes, distants en moyenne de 'a' (distance interatomique), puisse être traité classiquement, il faut que la longueur d'onde de De Broglie (λ) des atomes soit très petite par rapport à 'a' (λ << a). Si λ est comparable ou supérieure à 'a' (λ ≈ a ou λ > a), alors les effets quantiques deviennent significatifs, et un traitement quantique est nécessaire.

En termes d'action, cela signifie que p.a >> h pour un traitement classique, et p.a ≈ h pour un traitement quantique. Puisque p = h/λ, l'inégalité devient (h/λ).a >> h, ce qui simplifie en a/λ >> 1, ou a >> λ.
Applications :
1. Faisceau monocinétique d’électrons d’énergie 100 eV rencontrant un cristal avec un paramètre de réseau de 1 Å :
  Énergie cinétique E = 100 eV = 100 × 1.602 × 10⁻¹⁹ J = 1.602 × 10⁻¹⁷ J.
  
  Masse de l'électron m_e = 9.109 × 10⁻³¹ kg.
  
  La quantité de mouvement p = √(2m_eE) = √(2 × 9.109 × 10⁻³¹ kg × 1.602 × 10⁻¹⁷ J) ≈ 5.40 × 10⁻²⁵ kg.m/s.
  
  Longueur d’onde de De Broglie λ = h/p = (6.626 × 10⁻³⁴ J.s) / (5.40 × 10⁻²⁵ kg.m/s) ≈ 1.22 × 10⁻¹⁰ m = 1.22 Å.
  
  Puisque le paramètre de réseau est a = 1 Å, on a λ ≈ a. La longueur d'onde de l'électron est du même ordre de grandeur que la distance interatomique du cristal.
  
  Conclusion : Traitement quantique est adopté (phénomènes de diffraction d'électrons).
2. Gaz d’hélium (M=4) à la température ambiante (T ≈ 300 K) :
  Pour une molécule de gaz, l'énergie cinétique moyenne est E_moy = (3/2)k_BT. Pour une dimension, E_moy = (1/2)k_BT.
  
  p = √(2mE_moy) = √(2m (1/2)k_BT) = √(mk_BT).
  
  Masse d'une molécule d'hélium m = M / N_A = (4 × 10⁻³ kg/mol) / (6.022 × 10²³ mol⁻¹) ≈ 6.64 × 10⁻²⁷ kg.
  
  k_B = 1.38 × 10⁻²³ J/K.
  
  p = √(6.64 × 10⁻²⁷ kg × 1.38 × 10⁻²³ J/K × 300 K) ≈ 5.25 × 10⁻²⁵ kg.m/s.
  
  λ = h/p = (6.626 × 10⁻³⁴ J.s) / (5.25 × 10⁻²⁵ kg.m/s) ≈ 1.26 × 10⁻⁹ m = 12.6 Å.
  
  La distance moyenne entre les atomes de gaz à température ambiante est typiquement de l'ordre de quelques dizaines d'Angströms. Ici, la longueur d'onde de De Broglie est comparable à cette distance interatomique.
  
  Conclusion : Traitement quantique est adopté (pour les phénomènes comme la condensation de Bose-Einstein à très basse température, par exemple).
3. Goutte d’eau de diamètre d = 0.1 mm se déplaçant à la vitesse v = 10 m/s :
  Rayon r = d/2 = 0.05 mm = 5 × 10⁻⁵ m.
  
  Volume V = (4/3)πr³ = (4/3)π (5 × 10⁻⁵ m)³ ≈ 5.236 × 10⁻¹³ m³.
  
  Masse m = ρ_eau × V = 1000 kg/m³ × 5.236 × 10⁻¹³ m³ = 5.236 × 10⁻¹⁰ kg.
  
  Quantité de mouvement p = mv = 5.236 × 10⁻¹⁰ kg × 10 m/s = 5.236 × 10⁻⁹ kg.m/s.
  
  Longueur d’onde de De Broglie λ = h/p = (6.626 × 10⁻³⁴ J.s) / (5.236 × 10⁻⁹ kg.m/s) ≈ 1.26 × 10⁻²⁵ m.
  
  Cette longueur d'onde est extrêmement petite par rapport au diamètre de la goutte (0.1 mm = 10⁻⁴ m).
  
  Conclusion : La longueur d'onde de De Broglie est négligeable par rapport aux dimensions de l'objet, donc l'aspect quantique n'est plus pertinent. Traitement classique.
Longueur d'onde des électrons dans un métal avec potentiel V₀ :
Dans le vide (x < 0) : E = p² / (2m). Donc p = √(2mE). La longueur d'onde est λ = h / p = h / √(2mE).

Dans le métal (x > 0) : L'énergie totale est conservée. E' = E + V₀ (si V₀ est une barrière de potentiel, l'énergie cinétique diminue). Si V₀ est un puits de potentiel, l'énergie cinétique augmente. Le texte mentionne "soumis à un potentiel V0", nous supposons ici V₀ est une valeur positive, s'ajoutant à l'énergie potentielle, donc l'énergie cinétique dans le métal est E - V₀. Si les électrons "pénètrent profondément", ils gagnent de l'énergie cinétique ou leur énergie cinétique est E', donc E' = E + V₀.

Dans l'approximation non relativiste, l'énergie cinétique est E' = p'² / (2m).

Donc p' = √(2m(E + V₀)).

La nouvelle longueur d'onde dans le métal est λ' = h / p' = h / √(2m(E + V₀)).

On peut l'écrire en fonction de λ :

λ' = h / √(2mE(1 + V₀/E)) = (h / √(2mE)) / √(1 + V₀/E) = λ / √(1 + V₀/E).

C / Évolution d’un paquet d’ondes gaussien

Exercice 5 : Paquet d’ondes

On considère une particule libre de masse m décrite par un paquet d’ondes (à une dimension) défini par :

ψ(x, t) = (1 / √(2π)) ∫_-∞^+∞ g(k) e^{+i(kx - ωt)} dk

Montrer que ψ(x, t) est solution de l’équation de Schrödinger :
L’équation de Schrödinger pour une particule libre est : iħ ∂ψ/∂t = (-ħ² / (2m)) ∂²ψ/∂x².

Calculons les dérivées de ψ(x, t) :

∂ψ/∂t = (1 / √(2π)) ∫_-∞^+∞ g(k) (-iω) e^{+i(kx - ωt)} dk

∂²ψ/∂x² = (1 / √(2π)) ∫_-∞^+∞ g(k) (ik)² e^{+i(kx - ωt)} dk = (1 / √(2π)) ∫_-∞^+∞ g(k) (-k²) e^{+i(kx - ωt)} dk

Substituons dans l’équation de Schrödinger :

iħ (1 / √(2π)) ∫_-∞^+∞ g(k) (-iω) e^{+i(kx - ωt)} dk = (-ħ² / (2m)) (1 / √(2π)) ∫_-∞^+∞ g(k) (-k²) e^{+i(kx - ωt)} dk

ħω (1 / √(2π)) ∫_-∞^+∞ g(k) e^{+i(kx - ωt)} dk = (ħ²k² / (2m)) (1 / √(2π)) ∫_-∞^+∞ g(k) e^{+i(kx - ωt)} dk

Pour que cette égalité soit vraie pour toute g(k), il faut que la relation de dispersion soit vérifiée :

ħω = ħ²k² / (2m)

Ceci est bien la relation énergie-impulsion (E = p²/(2m) = (ħk)²/(2m)) pour une particule libre. Donc, ψ(x, t) est une solution de l'équation de Schrödinger.
g(k) est une gaussienne centrée sur k₀ :
g(k) = A . e^{-a²(k-k₀)² / 4}.
- La probabilité de présence de la particule est indépendante du temps :
  L'intégrale de la densité de probabilité sur tout l'espace doit être conservée et égale à 1 (normalisation).
  
  ∫_-∞^+∞ |ψ(x, t)|² dx.
  
  D'après le théorème de Parseval-Plancherel pour les transformées de Fourier, si ψ(x,t) est la transformée de Fourier inverse de g(k,t) = g(k)e^-iωt, alors :
  
  ∫_-∞^+∞ |ψ(x, t)|² dx = ∫_-∞^+∞ |g(k, t)|² dk = ∫_-∞^+∞ |g(k)e^-iωt|² dk = ∫_-∞^+∞ |g(k)|² |e^-iωt|² dk = ∫_-∞^+∞ |g(k)|² dk.
  
  Comme g(k) ne dépend pas du temps, l'intégrale ∫_-∞^+∞ |g(k)|² dk est une constante. Par conséquent, la probabilité de présence de la particule est indépendante du temps.
- Densité de probabilité |ψ(x, t)|² :
  L'expression de ψ(x,t) donnée est une gaussienne en x qui s'élargit et se déplace. Si ψ(x,t) est :
  
  ψ(x, t) = √(2a² / (π α(t)))^1/4 × exp(-a²(x - x_c(t))² / (2α(t)))
  
  Alors la densité de probabilité |ψ(x, t)|² est :
  
  |ψ(x, t)|² = √(2a² / (π α(t)))^1/2 × exp(-a²(x - x_c(t))² / α(t))
  
  où α(t) = a² + (2ħt/m)² et x_c(t) = (ħk₀t / m).
  
  C'est une fonction gaussienne dont le maximum se déplace et dont la largeur augmente avec le temps (dispersion du paquet d'ondes).
- Vitesse du groupe v_g :
  La vitesse du groupe correspond à la vitesse du centre du paquet d'ondes. Le centre du paquet d'ondes est donné par la position x_c(t) où la densité de probabilité est maximale.
  
  x_c(t) = ħk₀t / m.
  
  La vitesse du groupe est la dérivée de cette position par rapport au temps :
  
  v_g = dx_c/dt = d(ħk₀t / m) / dt = ħk₀ / m.
Retrouver v_g en considérant la relation de dispersion ω(k). Comparaison des vitesses :
La relation de dispersion pour une particule libre est ω(k) = ħk² / (2m).
- Vitesse du groupe v_g : C'est la vitesse de l'enveloppe du paquet d'ondes, représentant la vitesse de transport de l'énergie ou de la particule. Elle est définie comme :
  v_g = dω/dk = d(ħk² / (2m)) / dk = (2ħk / (2m)) = ħk / m.
  
  Pour le paquet d'ondes centré sur k₀, on a v_g = ħk₀ / m. Ce résultat est cohérent avec celui obtenu précédemment à partir du centre du paquet d'ondes.
- Vitesse de phase v_φ : C'est la vitesse d'une crête d'onde individuelle dans le paquet. Elle est définie comme :
  v_φ = ω/k = (ħk² / (2m)) / k = ħk / (2m).
  
  Pour le paquet d'ondes centré sur k₀, on a v_φ = ħk₀ / (2m).
- Vitesse v de la particule : Selon la mécanique classique et les relations de De Broglie, l'impulsion p = mv = ħk.
  Donc, la vitesse de la particule est v = p/m = ħk / m.
  
  Pour le paquet d'ondes centré sur k₀, on a v = ħk₀ / m.
Conclusion :

Pour une particule libre, la vitesse de la particule v est égale à la vitesse du groupe v_g (v = v_g = ħk₀ / m). Cela signifie que le paquet d'ondes (qui représente la particule) se propage à la même vitesse que la particule elle-même. La vitesse de phase v_φ est différente et est la moitié de la vitesse du groupe (v_φ = v_g / 2). Il est important de noter que la vitesse de phase n'a pas de signification physique directe en termes de propagation d'information ou de matière.

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce que l'effet photoélectrique ?

L'effet photoélectrique est un phénomène où des électrons sont éjectés d'un matériau (généralement un métal) lorsque celui-ci est exposé à un rayonnement électromagnétique (lumière). Ce phénomène a démontré que la lumière interagit avec la matière sous forme de "quanta" d'énergie, appelés photons, dont l'énergie est proportionnelle à leur fréquence. Il est à la base de nombreuses applications technologiques comme les cellules solaires et les capteurs de lumière.

Pourquoi un traitement quantique est-il nécessaire pour certains systèmes et non pour d'autres ?

Le traitement quantique est nécessaire lorsque l'action caractéristique (produit de l'énergie et du temps, ou de la quantité de mouvement et de la longueur) d'un système est comparable à la constante de Planck (h). Pour les systèmes macroscopiques, cette action est généralement beaucoup plus grande que h, et les effets quantiques sont négligeables, ce qui permet l'utilisation de la mécanique classique. Pour les systèmes microscopiques (atomes, électrons, particules subatomiques), l'action est souvent de l'ordre de h, et les lois de la mécanique quantique deviennent indispensables pour décrire leur comportement, en révélant la dualité onde-corpuscule et la quantification des énergies.

Quelle est la signification de la dualité onde-corpuscule ?

La dualité onde-corpuscule est un concept fondamental de la mécanique quantique qui stipule que toutes les particules de matière et d'énergie possèdent à la fois des propriétés ondulatoires et des propriétés corpusculaires. Par exemple, la lumière peut se comporter comme une onde (diffraction, interférence) ou comme un flux de particules (photons pour l'effet photoélectrique). De même, des particules comme les électrons peuvent manifester des propriétés de particules (masse, charge) et des propriétés d'ondes (diffraction par un cristal, comme dans les expériences de De Broglie). C'est la nature de l'expérience qui détermine quelle propriété est observée.

Td mécanique quantique smp4 2017 2018 el moumni rahili mécan

Physique Quantique I : Travaux Dirigés N° 1

A / Corpuscules de lumière

Exercice 1 : Rayonnement du corps noir

Exercice 2 : Effet Compton

Exercice 3 : Effet photo-électrique sur les métaux

B / Ondes de matière

Exercice 4 : Traitement classique ou quantique

Exercice 5 : Relation de Louis De Broglie

C / Évolution d’un paquet d’ondes gaussien

Exercice 5 : Paquet d’ondes

Corrigé des Travaux Dirigés N° 1, Physique Quantique I

A / Corpuscules de lumière

Exercice 1 : Rayonnement du corps noir

Exercice 2 : Effet Compton

Exercice 3 : Effet Photo-électrique

B / Ondes de matière

Exercice 4 : Traitement classique ou quantique

Exercice 5 : Relation de Louis De Broglie

C / Évolution d’un paquet d’ondes gaussien

Exercice 5 : Paquet d’ondes

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce que l'effet photoélectrique ?

Pourquoi un traitement quantique est-il nécessaire pour certains systèmes et non pour d'autres ?

Quelle est la signification de la dualité onde-corpuscule ?

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