Td correction mécanique quantique smp4 opérateurs linéaires

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Mécanique Quantique : Correction Série N°3 - Opérateurs Linéaires

On considère trois opérateurs linéaires A, B et C.

1. Démontrer les relations suivantes

a) [A, B + C] = [A, B] + [A, C]

La relation de linéarité du commutateur se démontre comme suit :

[A, B + C] = A(B + C) − (B + C)A

= AB + AC − BA − CA

= (AB − BA) + (AC − CA)

= [A, B] + [A, C]

Cette propriété se généralise pour des sommes d'opérateurs :

[A, ∑_k B_k] = ∑_k [A, B_k]

[∑_i A_i, B] = ∑_i [A_i, B]

b) [A, BC] = [A, B]C + B[A, C]

Pour démontrer cette relation, développons le second membre de l'égalité :

[A, B]C + B[A, C]

= (AB − BA)C + B(AC − CA)

= ABC − BAC + BAC − BCA

= ABC − BCA

= A(BC) − (BC)A

= [A, BC]

c) Démontrer par récurrence : [A, Bⁿ] = ∑_i=0^n-1 Bⁱ[A, B]B^n-i-1

La relation à démontrer par récurrence est :

[A, Bⁿ] = ∑_i=0^n-1 Bⁱ[A, B]B^n-i-1

Initialisation :

Pour n = 1 : [A, B¹] = B⁰[A, B]B^1-0-1 = [A, B]B⁰ = [A, B]. La relation est vérifiée.

Pour n = 2 : En utilisant la propriété [A, BC] = [A, B]C + B[A, C], avec C = B, on obtient :

[A, B²] = [A, B]B + B[A, B]

En utilisant la formule générale : ∑_i=0^2-1 Bⁱ[A, B]B^2-i-1 = B⁰[A, B]B¹ + B¹[A, B]B⁰ = [A, B]B + B[A, B].

La relation est donc vérifiée pour n=1 et n=2.

Hérédité :

Supposons que la relation soit vraie pour n-1 (où n ≥ 2) :

[A, B^n-1] = ∑_i=0^n-2 Bⁱ[A, B]B^(n-1)-i-1 = ∑_i=0^n-2 Bⁱ[A, B]B^n-i-2

Maintenant, démontrons-la pour n :

[A, Bⁿ] = [A, B B^n-1]

En utilisant la propriété [A, BC] = [A, B]C + B[A, C], avec C = B^n-1 :

[A, Bⁿ] = [A, B]B^n-1 + B[A, B^n-1]

Substituons l'hypothèse de récurrence :

[A, Bⁿ] = [A, B]B^n-1 + B (∑_i=0^n-2 Bⁱ[A, B]B^n-i-2)

[A, Bⁿ] = [A, B]B^n-1 + ∑_i=0^n-2 Bⁱ⁺¹[A, B]B^n-(i+1)-1

Soit j = i+1. Lorsque i=0, j=1. Lorsque i=n-2, j=n-1.

[A, Bⁿ] = [A, B]B^n-1 + ∑_j=1^n-1 B^j[A, B]B^n-j-1

Le premier terme peut être écrit comme le terme j=0 de la somme : B⁰[A, B]B^n-0-1 = [A, B]B^n-1.

Donc : [A, Bⁿ] = ∑_j=0^n-1 B^j[A, B]B^n-j-1

Conclusion : La relation est vérifiée par récurrence.

d) [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0 (Identité de Jacobi)

Pour démontrer l'identité de Jacobi, nous allons développer chaque terme :

[A, [B, C]] = A(BC − CB) − (BC − CB)A = ABC − ACB − BCA + CBA

[B, [C, A]] = B(CA − AC) − (CA − AC)B = BCA − BAC − CAB + ACB

[C, [A, B]] = C(AB − BA) − (AB − BA)C = CAB − CBA − ABC + BAC

En additionnant ces trois expressions, on obtient :

(ABC − ACB − BCA + CBA) + (BCA − BAC − CAB + ACB) + (CAB − CBA − ABC + BAC)

= ABC − ABC − ACB + ACB − BCA + BCA + CBA − CBA − BAC + BAC − CAB + CAB = 0

Cette relation est connue sous le nom d'identité de Jacobi.

e) [A, B]^† = [B^†, A^†]

On utilise la propriété de l'adjoint (dagger) : (XY)^† = Y^†X^† et (X − Y)^† = X^† − Y^†.

[A, B]^† = (AB − BA)^†

= (AB)^† − (BA)^†

= B^†A^† − A^†B^†

= [B^†, A^†]

Cas particulier : Si les opérateurs A et B sont hermitiques (A^† = A et B^† = B), alors la relation devient :

[A, B]^† = [B, A]

De plus, si [A, B] est lui-même hermitique, alors [A, B] = [B, A], ce qui implique que 2[A, B] = 0, et donc [A, B] = 0. Autrement dit, si A et B sont hermitiques, leur commutateur est anti-hermitique ([A, B]^† = -[A, B]), et donc [B, A] = -[A, B].

2. Relation de commutateur avec une fonction d'opérateur : [A, G(B)]

Démontrons que si [B, [A, B]] = 0, alors [A, G(B)] = [A, B]dG/dB.

Soit G(B) un polynôme d'ordre quelconque en l'opérateur B, qui s'écrit :

G(B) = ∑_j g_j B^j = g₀ B⁰ + g₁ B¹ + g₂ B² + ...

Calculons le commutateur [A, G(B)] :

[A, G(B)] = [A, ∑_j g_j B^j] = ∑_j g_j [A, B^j]

En utilisant la relation démontrée précédemment [A, Bⁿ] = ∑_s=0^n-1 B^s[A, B]B^n-s-1 :

[A, G(B)] = ∑_j g_j (∑_s=0^j-1 B^s[A, B]B^j-s-1)

La condition [B, [A, B]] = 0 signifie que l'opérateur [A, B] commute avec B. Par conséquent, il commute également avec toute puissance de B (B^s).

Donc, B^s[A, B] = [A, B]B^s.

Substituons cela dans l'expression :

[A, G(B)] = ∑_j g_j (∑_s=0^j-1 [A, B]B^sB^j-s-1)

[A, G(B)] = ∑_j g_j (∑_s=0^j-1 [A, B]B^j-1)

La somme interne ∑_s=0^j-1 comporte j termes, chacun étant [A, B]B^j-1.

[A, G(B)] = ∑_j g_j j [A, B]B^j-1

On peut factoriser [A, B] puisque c'est un opérateur :

[A, G(B)] = [A, B] ∑_j g_j j B^j-1

D'autre part, la dérivée de G(B) par rapport à B est :

dG/dB = d/dB (∑_j g_j B^j) = ∑_j g_j d(B^j)/dB = ∑_j g_j j B^j-1

En comparant les deux expressions, nous obtenons finalement :

[A, G(B)] = [A, B] dG/dB

Représentation Matricielle d'un Opérateur

Soit A un opérateur représenté dans la base orthonormée {|u₁⟩, |u₂⟩, |u₃⟩} par la matrice :

A = a * [[1, 1, 1], [1, 1, 1], [1, 1, 1]]

où 'a' est un réel non nul.

1. L'opérateur A est-il hermitique ?

Une matrice A est hermitique si elle est égale à son adjoint (A^† = A). L'adjoint est la transposée conjuguée (A^† = (A^*)^T).

Ici, la matrice A est réelle, donc A^* = A. De plus, elle est symétrique (A^T = A).

Par conséquent, A^† = (A^*)^T = A^T = A.

Oui, l'opérateur A est hermitique.

2. Calcul des valeurs propres de A

Les valeurs propres de A sont déterminées en résolvant l'équation caractéristique : det(A - λI) = 0.

A - λI = [[a-λ, a, a], [a, a-λ, a], [a, a, a-λ]]

Le calcul du déterminant mène à :

(a - λ) * ((a - λ)² - a²) - a * (a(a - λ) - a²) + a * (a² - a(a - λ)) = 0

(a - λ) * (a² - 2aλ + λ² - a²) - a * (a² - aλ - a²) + a * (a² - a² + aλ) = 0

(a - λ) * (λ² - 2aλ) - a * (-aλ) + a * (aλ) = 0

λ * [(a - λ)(λ - 2a) + 2a²] = 0

λ * [aλ - 2a² - λ² + 2aλ + 2a²] = 0

λ * [-λ² + 3aλ] = 0

λ² * (3a - λ) = 0

Les valeurs propres de A sont :

λ = 0 (valeur propre dégénérée d'ordre 2)
λ = 3a (valeur propre non dégénérée ou simple)

3. Calcul des vecteurs propres de A

Soient |φ₁⟩, |φ₂⟩ les deux vecteurs propres associés à λ = 0, et |φ₃⟩ le vecteur propre associé à λ = 3a.

Pour la valeur propre λ = 0 :

L'équation aux valeurs propres A|φ⟩ = 0|φ⟩ se traduit par le système :

a(x₁ + x₂ + x₃) = 0

Ce qui simplifie à : x₁ + x₂ + x₃ = 0.

Nous devons trouver deux vecteurs propres orthogonaux et normalisés satisfaisant cette condition.

Pour |φ₁⟩ = x₁|u₁⟩ + x₂|u₂⟩ + x₃|u₃⟩ :

Si nous choisissons x₃ = 0, alors x₁ + x₂ = 0 ⇒ x₂ = -x₁.

Normalisation : |x₁|² + |-x₁|² + 0² = 1 ⇒ 2|x₁|² = 1 ⇒ x₁ = 1/√2 (en choisissant la phase réelle).

Donc, |φ₁⟩ = (1/√2)|u₁⟩ - (1/√2)|u₂⟩ = (|u₁⟩ - |u₂⟩) / √2

Pour |φ₂⟩ = y₁|u₁⟩ + y₂|u₂⟩ + y₃|u₃⟩ :

Les conditions sont :

1. y₁ + y₂ + y₃ = 0 (provenant de A|φ₂⟩ = 0)

2. ⟨φ₁|φ₂⟩ = 0 (orthogonalité avec |φ₁⟩)

3. ⟨φ₂|φ₂⟩ = 1 (normalisation)

De la condition 2 : ⟨φ₁|φ₂⟩ = (1/√2)⟨u₁| - (1/√2)⟨u₂|) (y₁|u₁⟩ + y₂|u₂⟩ + y₃|u₃⟩) = (1/√2)y₁ - (1/√2)y₂ = 0. Cela implique y₁ = y₂.

Substituons y₁ = y₂ dans la condition 1 : y₁ + y₁ + y₃ = 0 ⇒ 2y₁ + y₃ = 0 ⇒ y₃ = -2y₁.

Substituons dans la condition 3 (normalisation) : |y₁|² + |y₂|² + |y₃|² = 1.

|y₁|² + |y₁|² + |-2y₁|² = 1

y₁² + y₁² + 4y₁² = 1 ⇒ 6y₁² = 1 ⇒ y₁ = 1/√6.

Donc, y₁ = 1/√6, y₂ = 1/√6, y₃ = -2/√6.

Ce qui donne : |φ₂⟩ = (1/√6)|u₁⟩ + (1/√6)|u₂⟩ - (2/√6)|u₃⟩ = (|u₁⟩ + |u₂⟩ - 2|u₃⟩) / √6

Pour la valeur propre λ = 3a :

L'équation aux valeurs propres A|φ₃⟩ = 3a|φ₃⟩ se traduit par le système :

a(z₁ + z₂ + z₃) = 3az₁ ⇒ -2z₁ + z₂ + z₃ = 0

a(z₁ + z₂ + z₃) = 3az₂ ⇒ z₁ - 2z₂ + z₃ = 0

a(z₁ + z₂ + z₃) = 3az₃ ⇒ z₁ + z₂ - 2z₃ = 0

En soustrayant la première équation de la deuxième : (-2z₁ + z₂ + z₃) - (z₁ - 2z₂ + z₃) = 0 ⇒ -3z₁ + 3z₂ = 0 ⇒ z₁ = z₂.

En soustrayant la deuxième équation de la troisième : (z₁ - 2z₂ + z₃) - (z₁ + z₂ - 2z₃) = 0 ⇒ -3z₂ + 3z₃ = 0 ⇒ z₂ = z₃.

Donc, z₁ = z₂ = z₃.

Normalisation : |z₁|² + |z₂|² + |z₃|² = 1 ⇒ 3|z₁|² = 1 ⇒ z₁ = 1/√3.

Donc, |φ₃⟩ = (1/√3)|u₁⟩ + (1/√3)|u₂⟩ + (1/√3)|u₃⟩ = (|u₁⟩ + |u₂⟩ + |u₃⟩) / √3

4. L'opérateur A est-il une observable ?

Un opérateur est une observable s'il est hermitique et si ses vecteurs propres forment une base complète de l'espace des états.

Nous avons montré que A est hermitique.

L'ensemble des vecteurs propres {|φ₁⟩, |φ₂⟩, |φ₃⟩} est formé de kets linéairement indépendants (ils sont même orthogonaux, et donc constituent une base orthonormée).

Ces vecteurs vérifient les relations d'orthonormalisation (⟨φ_i|φ_j⟩ = δ_ij) et de fermeture (∑_i |φ_i⟩⟨φ_i| = I).

Par conséquent, {|φ_i⟩} forme une base complète de l'espace des états, et l'opérateur A est bien une observable.

5. Matrice de A et de F(A) dans la base propre de A

Dans sa propre base de vecteurs propres {|φ₁⟩, |φ₂⟩, |φ₃⟩}, la matrice de l'opérateur A est diagonale, avec les valeurs propres correspondantes sur la diagonale :

A_diagonale = [[0, 0, 0], [0, 0, 0], [0, 0, 3a]]

Pour toute fonction F(A) d'un opérateur A, si A|φ⟩ = λ|φ⟩, alors F(A)|φ⟩ = F(λ)|φ⟩.

Dans la base des vecteurs propres {|φ₁⟩, |φ₂⟩, |φ₃⟩}, la matrice représentant F(A) est également diagonale, avec F(λ) sur la diagonale :

F(A)_diagonale = [[F(0), 0, 0], [0, F(0), 0], [0, 0, F(3a)]]

Applications :

a) Pour l'opérateur exponentiel e^A :

e^A = [[e⁰, 0, 0], [0, e⁰, 0], [0, 0, e^3a]] = [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, e^3a]]

b) Pour l'opérateur racine carrée √A :

√A = [[√0, 0, 0], [0, √0, 0], [0, 0, √3a]] = [[0, 0, 0], [0, 0, 0], [0, 0, √3a]]

Ces matrices sont exprimées dans l'ordre des vecteurs propres |φ₁⟩, |φ₂⟩, |φ₃⟩.

Ensemble Complet d'Observables qui Commutent (E.C.O.C)

On considère un système physique dont l'espace des états ξ est de dimension 3. Soit {|1⟩, |2⟩, |3⟩} une base orthonormée de ξ.

Les opérateurs A et B (indépendants du temps) se décomposent dans cette base comme suit :

A = [[a, 0, 0], [0, a, 0], [0, 0, 0]]

B = [[b, 0, 0], [0, -b, 0], [0, 0, -b]]

où 'a' et 'b' sont des constantes réelles non nulles.

1. Les opérateurs A et B sont-ils des observables ?

Un opérateur est une observable s'il est hermitique et si ses vecteurs propres forment une base complète.

a) Caractère hermitique :

Les matrices A et B sont réelles et symétriques. Par conséquent, A^† = A et B^† = B. Les opérateurs A et B sont donc hermitiques.

b) Base de vecteurs propres :

Les matrices étant diagonales dans la base {|1⟩, |2⟩, |3⟩}, les vecteurs de cette base sont déjà les vecteurs propres des opérateurs A et B.

La base {|1⟩, |2⟩, |3⟩} est une base orthonormée et complète de l'espace des états.

Ainsi, A et B sont des observables.

2. Les Ensembles Complets d'Observables qui Commutent (E.C.O.C) possibles

Un E.C.O.C est un ensemble d'observables qui commutent entre elles et dont les vecteurs propres communs sont non dégénérés (c'est-à-dire, chaque ensemble de valeurs propres correspond à un unique vecteur propre normalisé).

a) Valeurs et vecteurs propres de A :

λ = a : associé aux vecteurs propres |1⟩ et |2⟩. Cette valeur propre est dégénérée.
λ = 0 : associé au vecteur propre |3⟩.

Puisque la valeur propre λ = a est doublement dégénérée, l'ensemble {A} seul ne forme pas un E.C.O.C.

b) Valeurs et vecteurs propres de B :

μ = b : associé au vecteur propre |1⟩.
μ = -b : associé aux vecteurs propres |2⟩ et |3⟩. Cette valeur propre est dégénérée.

Puisque la valeur propre μ = -b est doublement dégénérée, l'ensemble {B} seul ne forme pas un E.C.O.C.

c) L'ensemble {A, B} :

Tout d'abord, vérifions si A et B commutent :

AB = [[a, 0, 0], [0, a, 0], [0, 0, 0]] * [[b, 0, 0], [0, -b, 0], [0, 0, -b]] = [[ab, 0, 0], [0, -ab, 0], [0, 0, 0]]

BA = [[b, 0, 0], [0, -b, 0], [0, 0, -b]] * [[a, 0, 0], [0, a, 0], [0, 0, 0]] = [[ab, 0, 0], [0, -ab, 0], [0, 0, 0]]

Puisque AB = BA, alors [A, B] = 0. Les opérateurs A et B commutent.

Ensuite, examinons les vecteurs propres communs :

Vecteur propre commun	Valeur propre de A	Valeur propre de B
\|1⟩	a	b
\|2⟩	a	-b
\|3⟩	0	-b

À chaque combinaison unique de valeurs propres (a, b), (a, -b) et (0, -b) correspond un seul vecteur propre commun (|1⟩, |2⟩, |3⟩ respectivement).

L'ensemble {|1⟩, |2⟩, |3⟩} est une base orthonormée de l'espace des états (⟨i|j⟩ = δ_ij et ∑_i=1³ |i⟩⟨i| = I).

Puisque A et B commutent et possèdent une base de vecteurs propres communs qui ne sont pas dégénérés par rapport à l'ensemble {A, B}, ils forment un E.C.O.C.

3. Matrice de l'opérateur H dans la base {|i⟩}

Soit l'opérateur H représenté dans la base {|1⟩, |2⟩, |3⟩} par la matrice :

H = E * [[1, √3, 0], [√3, -1, 0], [0, 0, 1]]

où E est une constante.

Calcul des valeurs propres de H :

Elles sont obtenues en résolvant det(H - λI) = 0 :

det (E * [[1-λ/E, √3, 0], [√3, -1-λ/E, 0], [0, 0, 1-λ/E]]) = 0

Facteur (E - λ) du déterminant :

(E - λ) * det ([[E-λ, √3E], [√3E, -E-λ]]) = 0

(E - λ) * [(E - λ)(-E - λ) - (√3E)²] = 0

(E - λ) * [-(E² - λ²) - 3E²] = 0

(E - λ) * [-E² + λ² - 3E²] = 0

(E - λ) * [λ² - 4E²] = 0

(E - λ) * (λ - 2E) * (λ + 2E) = 0

Les valeurs propres de H sont :

λ = E (simple)
λ = 2E (simple)
λ = -2E (simple)

Toutes les valeurs propres sont non dégénérées.

4. Calcul des vecteurs propres de H

a) Pour la valeur propre λ = E :

L'équation H|φ₁⟩ = E|φ₁⟩ se traduit par le système :

E(x₁ + √3x₂) = Ex₁ ⇒ √3x₂ = 0 ⇒ x₂ = 0

E(√3x₁ - x₂) = Ex₂ ⇒ E√3x₁ - Ex₂ = Ex₂ ⇒ E√3x₁ = 2Ex₂. Avec x₂=0, cela donne x₁=0.

E(x₃) = Ex₃ ⇒ x₃ est quelconque.

Pour la normalisation : |x₁|² + |x₂|² + |x₃|² = 1 ⇒ 0² + 0² + |x₃|² = 1 ⇒ x₃ = 1 (en choisissant la phase réelle).

Donc, le vecteur propre est |φ₁⟩ = |3⟩.

b) Pour la valeur propre λ = 2E :

L'équation H|φ₂⟩ = 2E|φ₂⟩ se traduit par le système :

E(y₁ + √3y₂) = 2Ey₁ ⇒ E√3y₂ = Ey₁ ⇒ y₁ = √3y₂

E(√3y₁ - y₂) = 2Ey₂ ⇒ E√3y₁ = 3Ey₂ ⇒ √3y₁ = 3y₂. En remplaçant y₁ par √3y₂ : √3(√3y₂) = 3y₂ ⇒ 3y₂ = 3y₂. Cette équation est consistante.

E(y₃) = 2Ey₃ ⇒ y₃ = 2y₃ ⇒ y₃ = 0.

Pour la normalisation : |y₁|² + |y₂|² + |y₃|² = 1.

|(√3)y₂|² + |y₂|² + 0² = 1 ⇒ 3|y₂|² + |y₂|² = 1 ⇒ 4|y₂|² = 1 ⇒ y₂ = 1/2.

Donc, y₁ = √3/2, y₂ = 1/2, y₃ = 0.

Le vecteur propre est |φ₂⟩ = (√3/2)|1⟩ + (1/2)|2⟩.

c) Pour la valeur propre λ = -2E :

L'équation H|φ₃⟩ = -2E|φ₃⟩ se traduit par le système :

E(z₁ + √3z₂) = -2Ez₁ ⇒ E√3z₂ = -3Ez₁ ⇒ z₂ = -√3z₁

E(√3z₁ - z₂) = -2Ez₂ ⇒ E√3z₁ = -Ez₂ ⇒ √3z₁ = -z₂. En remplaçant z₂ par -√3z₁ : √3z₁ = -(-√3z₁) ⇒ √3z₁ = √3z₁. Consistant.

E(z₃) = -2Ez₃ ⇒ z₃ = -2z₃ ⇒ 3z₃ = 0 ⇒ z₃ = 0.

Pour la normalisation : |z₁|² + |z₂|² + |z₃|² = 1.

|z₁|² + |(-√3)z₁|² + 0² = 1 ⇒ |z₁|² + 3|z₁|² = 1 ⇒ 4|z₁|² = 1 ⇒ z₁ = 1/2.

Donc, z₁ = 1/2, z₂ = -√3/2, z₃ = 0.

Le vecteur propre est |φ₃⟩ = (1/2)|1⟩ - (√3/2)|2⟩.

5. Commutation de H avec A et E.C.O.C. de {H, A}

a) Vérification de la commutation :

Nous calculons le produit matriciel AH et HA :

A = [[a, 0, 0], [0, a, 0], [0, 0, 0]]

H = E * [[1, √3, 0], [√3, -1, 0], [0, 0, 1]]

AH = [[a, 0, 0], [0, a, 0], [0, 0, 0]] * E * [[1, √3, 0], [√3, -1, 0], [0, 0, 1]]

AH = E * [[a*1 + 0, a*√3 + 0, 0], [0 + a*√3, 0 + a*(-1), 0], [0, 0, 0]]

AH = E * [[a, a√3, 0], [a√3, -a, 0], [0, 0, 0]]

HA = E * [[1, √3, 0], [√3, -1, 0], [0, 0, 1]] * [[a, 0, 0], [0, a, 0], [0, 0, 0]]

HA = E * [[1*a + √3*0 + 0, 1*0 + √3*a + 0, 0], [√3*a - 1*0 + 0, √3*0 - 1*a + 0, 0], [0, 0, 0]]

HA = E * [[a, a√3, 0], [a√3, -a, 0], [0, 0, 0]]

Puisque AH = HA, le commutateur [A, H] = AH - HA = 0. Les opérateurs A et H commutent.

b) Base de vecteurs propres communs :

Puisque A et H commutent, ils partagent une base commune de vecteurs propres.

Vérifions si les vecteurs propres de H sont aussi des vecteurs propres de A :

Pour |φ₁⟩ = |3⟩ (valeur propre de H : E) :

A|φ₁⟩ = A|3⟩ = [[a, 0, 0], [0, a, 0], [0, 0, 0]] * [[0], [0], [1]] = [[0], [0], [0]] = 0 * |3⟩

Donc, |φ₁⟩ est un vecteur propre de A avec la valeur propre 0.

Pour |φ₂⟩ = (√3/2)|1⟩ + (1/2)|2⟩ (valeur propre de H : 2E) :

A|φ₂⟩ = A((√3/2)|1⟩ + (1/2)|2⟩) = (√3/2)A|1⟩ + (1/2)A|2⟩

Nous savons que A|1⟩ = a|1⟩ et A|2⟩ = a|2⟩.

A|φ₂⟩ = (√3/2)a|1⟩ + (1/2)a|2⟩ = a((√3/2)|1⟩ + (1/2)|2⟩) = a|φ₂⟩

Donc, |φ₂⟩ est un vecteur propre de A avec la valeur propre a.

Pour |φ₃⟩ = (1/2)|1⟩ - (√3/2)|2⟩ (valeur propre de H : -2E) :

A|φ₃⟩ = A((1/2)|1⟩ - (√3/2)|2⟩) = (1/2)A|1⟩ - (√3/2)A|2⟩

A|φ₃⟩ = (1/2)a|1⟩ - (√3/2)a|2⟩ = a((1/2)|1⟩ - (√3/2)|2⟩) = a|φ₃⟩

Donc, |φ₃⟩ est un vecteur propre de A avec la valeur propre a.

Récapitulatif des vecteurs propres communs et de leurs valeurs propres :

Vecteur propre	Valeur propre de H	Valeur propre de A
\|φ₁⟩	E	0
\|φ₂⟩	2E	a
\|φ₃⟩	-2E	a

L'opérateur H seul forme un E.C.O.C. car toutes ses valeurs propres sont non dégénérées. Chaque valeur propre unique identifie un seul vecteur propre.

L'ensemble {H, A} forme également un E.C.O.C. car A et H commutent, et chaque vecteur de la base commune {|φ₁⟩, |φ₂⟩, |φ₃⟩} est identifié de manière unique par un jeu de valeurs propres de H et A. En d'autres termes, les dégénérescences individuelles de A sont levées par l'opérateur H.

Opérateurs Linéaires (Propriétés de l'Adjoint)

1. Propriétés de l'adjoint

Soit L un opérateur linéaire arbitraire. Nous utilisons les propriétés de l'opérateur adjoint (^†) : (A^†)^† = A, (A + B)^† = A^† + B^†, (AB)^† = B^†A^† et (cA)^† = c^*A^† (où c est une constante complexe).

a) (L^†)^† = L :

C'est une propriété fondamentale de l'adjoint, comme rappelé.

b) L^†L et LL^† sont hermitiques :

(L^†L)^† = L^†(L^†)^† = L^†L. Donc L^†L est hermitique.

(LL^†)^† = (L^†)^†L^† = LL^†. Donc LL^† est hermitique.

c) L + L^† et i(L - L^†) sont hermitiques :

(L + L^†)^† = L^† + (L^†)^† = L^† + L. Donc L + L^† est hermitique (c'est la partie hermitique de L).

[i(L − L^†)]^† = i^*(L − L^†)^† = -i(L^† − (L^†)^†) = -i(L^† − L) = i(L − L^†). Donc i(L − L^†) est hermitique (c'est i fois la partie anti-hermitique de L).

2. Hermiticité de G = ACA^†

Soit C un opérateur hermitique (C^† = C). Soit G un opérateur défini par G = ACA^†.

Calculons l'adjoint de G :

G^† = (ACA^†)^†

= (A^†)^† C^† A^†

= A C A^† (car (A^†)^† = A et C^† = C)

Donc, G^† = G. L'opérateur G est hermitique.

3. Dérivation d'un opérateur transformé par similarité (formule de Baker-Campbell-Hausdorff)

Soit un opérateur F(λ) = e^λA B e^-λA, où λ est une constante et A, B sont des opérateurs.

Calculons la première dérivée de F par rapport à λ :

dF/dλ = (d/dλ e^λA) B e^-λA + e^λA B (d/dλ e^-λA)

= (A e^λA) B e^-λA + e^λA B (-A e^-λA)

= e^λA A B e^-λA - e^λA B A e^-λA (car A commute avec e^λA)

= e^λA (AB - BA) e^-λA

= e^λA [A, B] e^-λA

Calculons la deuxième dérivée de F par rapport à λ :

d²F/dλ² = d/dλ (e^λA [A, B] e^-λA)

= A e^λA [A, B] e^-λA - e^λA [A, B] A e^-λA

= e^λA (A[A, B] - [A, B]A) e^-λA

= e^λA [A, [A, B]] e^-λA

Et ainsi de suite pour les ordres supérieurs. En général, dⁿF/dλⁿ = e^λA [A, [A, ..., [A, B]...]] e^-λA (n fois le commutateur).

La formule de Baker-Campbell-Hausdorff (BCH) pour F(1) = e^A B e^-A est donnée par la série de Taylor autour de λ=0 :

F(λ) = ∑_n=0^∞ (1/n!) (dⁿF/dλⁿ)|_λ=0 λⁿ

Pour λ=1 :

e^A B e^-A = B + (1/1!) [A, B] + (1/2!) [A, [A, B]] + (1/3!) [A, [A, [A, B]]] + ...

Équation aux Valeurs Propres (Projecteurs)

1. Normalisation d'un ket

Soit {|u₁⟩, |u₂⟩} une base orthonormée de l'espace des états à deux dimensions, et soit le ket |Ψ⟩ défini par :

|Ψ⟩ = |u₁⟩ + i|u₂⟩

a) Vérifier si |Ψ⟩ est normé à l'unité :

La norme au carré d'un ket est donnée par ⟨Ψ|Ψ⟩. L'adjoint de |Ψ⟩ est ⟨Ψ| = ⟨u₁| - i⟨u₂|.

⟨Ψ|Ψ⟩ = (⟨u₁| - i⟨u₂|) (|u₁⟩ + i|u₂⟩)

= ⟨u₁|u₁⟩ + i⟨u₁|u₂⟩ - i⟨u₂|u₁⟩ - i²⟨u₂|u₂⟩

Puisque la base est orthonormée, ⟨u₁|u₁⟩ = 1, ⟨u₂|u₂⟩ = 1, et ⟨u₁|u₂⟩ = ⟨u₂|u₁⟩ = 0.

⟨Ψ|Ψ⟩ = 1 + i(0) - i(0) - (-1)(1) = 1 + 1 = 2

Comme ⟨Ψ|Ψ⟩ = 2 ≠ 1, le ket |Ψ⟩ n'est pas normé à l'unité.

b) Construire un ket normé à l'unité |Φ⟩ :

Un ket normé |Φ⟩ est obtenu en divisant |Ψ⟩ par sa norme : |Φ⟩ = |Ψ⟩ / √⟨Ψ|Ψ⟩.

|Φ⟩ = (|u₁⟩ + i|u₂⟩) / √2

2. Matrice de l'opérateur projecteur K sur |Φ⟩

L'opérateur projecteur K sur le ket normalisé |Φ⟩ est défini par K = |Φ⟩⟨Φ|.

La matrice de l'opérateur K dans la base {|u₁⟩, |u₂⟩} est :

K = (1/2) * [[1, -i], [i, 1]]

Vérification de l'hermiticité :

L'adjoint de K est K^† = ( (1/2) * [[1, -i], [i, 1]] )^† = (1/2)^* ([[1, -i], [i, 1]]^*)^T

K^† = (1/2) * ([[1, i], [-i, 1]])^T = (1/2) * [[1, -i], [i, 1]]

Puisque K^† = K, l'opérateur projecteur K est bien hermitique.

3. Valeurs et vecteurs propres de K

a) Calcul des valeurs propres :

Résolvons det(K - λI) = 0 :

det( (1/2) * [[1-2λ, -i], [i, 1-2λ]] ) = 0

(1/4) * ((1-2λ)² - (-i)(i)) = 0

(1-2λ)² - (-i²) = 0

(1-2λ)² - 1 = 0

(1-2λ - 1)(1-2λ + 1) = 0

(-2λ)(2-2λ) = 0

-4λ(1-λ) = 0

Les valeurs propres sont : λ = 0 (simple) et λ = 1 (simple).

b) Calcul des vecteurs propres :

Soit |φ⟩ = α|u₁⟩ + β|u₂⟩ un vecteur propre. L'équation K|φ⟩ = λ|φ⟩ s'écrit matriciellement :

(1/2) * [[1, -i], [i, 1]] * [[α], [β]] = λ * [[α], [β]]

Ce qui donne le système :

(1/2)(α - iβ) = λα

(1/2)(iα + β) = λβ

Pour λ = 0 :

(1/2)(α - iβ) = 0 ⇒ α = iβ

(1/2)(iα + β) = 0 ⇒ i(iβ) + β = 0 ⇒ -β + β = 0. Cette équation est consistante.

Le vecteur propre est |φ₁⟩ = iβ|u₁⟩ + β|u₂⟩ = β(i|u₁⟩ + |u₂⟩).

Normalisation : ⟨φ₁|φ₁⟩ = |β|²⟨(i|u₁⟩ + |u₂⟩)|(i|u₁⟩ + |u₂⟩) = |β|² (i^*i⟨u₁|u₁⟩ + ⟨u₂|u₂⟩) = |β|² (1+1) = 2|β|² = 1.

D'où β = 1/√2 (en choisissant la phase réelle).

Le vecteur propre |φ₁⟩ = (i/√2)|u₁⟩ + (1/√2)|u₂⟩.

Pour λ = 1 :

(1/2)(α - iβ) = α ⇒ α - iβ = 2α ⇒ -iβ = α

(1/2)(iα + β) = β ⇒ iα + β = 2β ⇒ iα = β

Les deux équations sont cohérentes (β = iα et α = -iβ ⇒ α = -i(iα) ⇒ α = α).

Le vecteur propre est |φ₂⟩ = α|u₁⟩ + iα|u₂⟩ = α(|u₁⟩ + i|u₂⟩).

Normalisation : ⟨φ₂|φ₂⟩ = |α|²⟨(|u₁⟩ + i|u₂⟩)|(|u₁⟩ + i|u₂⟩) = |α|² (⟨u₁|u₁⟩ + i^*i⟨u₂|u₂⟩) = |α|² (1+1) = 2|α|² = 1.

D'où α = 1/√2 (en choisissant la phase réelle).

Le vecteur propre |φ₂⟩ = (1/√2)|u₁⟩ + (i/√2)|u₂⟩.

4. Relations d'orthonormalisation et de fermeture

Les vecteurs propres d'un opérateur hermitique avec des valeurs propres distinctes sont orthogonaux. Vérifions-le :

⟨φ₁|φ₂⟩ = ((-i/√2)⟨u₁| + (1/√2)⟨u₂|) ((1/√2)|u₁⟩ + (i/√2)|u₂⟩)

= (-i/2)⟨u₁|u₁⟩ + (-i²/2)⟨u₁|u₂⟩ + (1/2)⟨u₂|u₁⟩ + (i/2)⟨u₂|u₂⟩

= (-i/2)(1) + (1/2)(0) + (1/2)(0) + (i/2)(1) = -i/2 + i/2 = 0

Les vecteurs propres |φ₁⟩ et |φ₂⟩ sont bien orthogonaux. Étant déjà normalisés, ils forment une base orthonormée.

Relation de fermeture : ∑_k |φ_k⟩⟨φ_k| = I.

|φ₁⟩⟨φ₁| = ( (i/√2)|u₁⟩ + (1/√2)|u₂⟩ ) ( (-i/√2)⟨u₁| + (1/√2)⟨u₂| )

= (1/2) * [[1, i], [-i, 1]]

|φ₂⟩⟨φ₂| = ( (1/√2)|u₁⟩ + (i/√2)|u₂⟩ ) ( (1/√2)⟨u₁| - (i/√2)⟨u₂| )

= (1/2) * [[1, -i], [i, 1]]

|φ₁⟩⟨φ₁| + |φ₂⟩⟨φ₂| = (1/2) * [[1, i], [-i, 1]] + (1/2) * [[1, -i], [i, 1]]

= (1/2) * [[1+1, i-i], [-i+i, 1+1]] = (1/2) * [[2, 0], [0, 2]] = [[1, 0], [0, 1]] = I_2x2

La relation de fermeture est vérifiée. Les vecteurs propres forment une base complète.

5. Opérateur racine carrée (√A) dans la base d'origine

Considérons un opérateur A représenté dans la base {|u₁⟩, |u₂⟩} par la matrice :

A = [[2, 1], [1, 2]]

Les valeurs propres et vecteurs propres de A sont :

λ₁ = 1, associé à |ψ₁⟩ = (1/√2)(|u₁⟩ - |u₂⟩)
λ₂ = 3, associé à |ψ₂⟩ = (1/√2)(|u₁⟩ + |u₂⟩)

Nous pouvons exprimer les vecteurs de la base d'origine {|u₁⟩, |u₂⟩} en fonction des vecteurs propres {|ψ₁⟩, |ψ₂⟩} :

|u₁⟩ = (1/√2)(|ψ₁⟩ + |ψ₂⟩)

|u₂⟩ = (1/√2)(|ψ₂⟩ - |ψ₁⟩)

a) Matrice représentant l'opérateur √A :

Dans la base de ses propres vecteurs {|ψ₁⟩, |ψ₂⟩}, la matrice de √A est diagonale avec les racines carrées des valeurs propres :

√A_diagonale = [[√1, 0], [0, √3]] = [[1, 0], [0, √3]]

Pour obtenir la représentation de √A dans la base {|u₁⟩, |u₂⟩}, nous utilisons la définition de l'opérateur sur les vecteurs de base :

√A|u₁⟩ = √A ( (1/√2)(|ψ₁⟩ + |ψ₂⟩) ) = (1/√2)(√A|ψ₁⟩ + √A|ψ₂⟩)

= (1/√2)(1|ψ₁⟩ + √3|ψ₂⟩)

= (1/√2)( (1/√2)(|u₁⟩ - |u₂⟩) + √3 (1/√2)(|u₁⟩ + |u₂⟩) )

= (1/2)(|u₁⟩ - |u₂⟩ + √3|u₁⟩ + √3|u₂⟩)

= (1/2)((1+√3)|u₁⟩ + (√3-1)|u₂⟩)

√A|u₂⟩ = √A ( (1/√2)(|ψ₂⟩ - |ψ₁⟩) ) = (1/√2)(√A|ψ₂⟩ - √A|ψ₁⟩)

= (1/√2)(√3|ψ₂⟩ - 1|ψ₁⟩)

= (1/√2)( √3 (1/√2)(|u₁⟩ + |u₂⟩) - (1/√2)(|u₁⟩ - |u₂⟩) )

= (1/2)(√3|u₁⟩ + √3|u₂⟩ - |u₁⟩ + |u₂⟩)

= (1/2)((√3-1)|u₁⟩ + (√3+1)|u₂⟩)

La matrice de √A dans la base {|u₁⟩, |u₂⟩} est donc :

√A = (1/2) * [[1+√3, √3-1], [√3-1, 1+√3]]

On procède de la même manière pour l'opérateur A^3/2.

Foire aux Questions (FAQ)

1. Qu'est-ce qu'un opérateur hermitique en mécanique quantique et pourquoi est-il important ?

Un opérateur hermitique (ou auto-adjoint) est un opérateur égal à son propre adjoint (A^† = A). En mécanique quantique, les observables (grandeurs physiques mesurables comme l'énergie, la position ou l'impulsion) sont représentées par des opérateurs hermitiques. Cette propriété garantit que les valeurs propres de ces opérateurs (qui correspondent aux résultats de mesure) sont toujours réelles et que leurs vecteurs propres (les états du système après mesure) forment une base orthonormée complète de l'espace des états.

2. Quelle est la signification physique d'un Ensemble Complet d'Observables qui Commutent (E.C.O.C.) ?

Un E.C.O.C. est un ensemble d'observables qui commutent deux à deux (c'est-à-dire que leurs commutateurs sont nuls) et qui possèdent une base unique de vecteurs propres communs non dégénérés. Si un système est dans un état décrit par un de ces vecteurs propres communs, la mesure simultanée de toutes les observables de l'E.C.O.C. donnera des valeurs précises et non aléatoires, sans perturber l'état du système. Cela permet de caractériser complètement un état quantique.

3. Comment la connaissance des valeurs et vecteurs propres d'un opérateur facilite-t-elle le calcul d'une fonction de cet opérateur ?

Si F est une fonction mathématique et A un opérateur, le calcul de F(A) peut être complexe. Cependant, si A a des valeurs propres λ_i et des vecteurs propres |φ_i⟩ (tels que A|φ_i⟩ = λ_i|φ_i⟩), alors F(A) opère simplement sur ces vecteurs propres comme F(A)|φ_i⟩ = F(λ_i)|φ_i⟩. Dans la base de ses propres vecteurs, la matrice de F(A) est diagonale, avec F(λ_i) sur la diagonale. Cela simplifie grandement les calculs, car il suffit d'appliquer la fonction aux valeurs propres scalaires.