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Travaux Dirigés de Mécanique Quantique - Série N°4

Cette série de travaux dirigés explore les principes fondamentaux de la mécanique quantique, incluant l'étude des systèmes conservatifs, la mesure des observables, l'évolution temporelle des états quantiques, et le comportement des particules en présence de champs électromagnétiques. Ces exercices sont conçus pour approfondir la compréhension des opérateurs hamiltoniens, des valeurs et vecteurs propres, des commutateurs d'opérateurs, et du célèbre principe d'incertitude.

Exercice 1 : Système conservatif et mesure d'une observable

On considère un système physique dont l’espace des états, à trois dimensions, est rapporté à la base orthonormée {|u₁⟩, |u₂⟩, |u₃⟩}. L’opérateur Hamiltonien H du système est défini tel que :

H|u₁⟩ = 2ħω|u₁⟩
H|u₂⟩ = 2ħω|u₂⟩
H|u₃⟩ = ħω|u₃⟩

où ω est un réel positif. Soit également A un opérateur hermitique agissant sur l’espace des états et défini par :

A|u₁⟩ = a|u₂⟩
A|u₂⟩ = b|u₁⟩
A|u₃⟩ = 2a|u₃⟩

avec a un réel positif. À l'instant t = 0, le système est décrit par le ket : |Ψ(t = 0)⟩ = (1/√3)|u₁⟩ − (i/√3)|u₂⟩ + (i/√3)|u₃⟩.

Questions pour l'Exercice 1 :

Déterminer les valeurs propres, notées λ_k, et les vecteurs propres, notés |φ_k⟩, de l'opérateur A.
Quelles valeurs peut-on trouver et avec quelles probabilités lorsqu’on mesure l’énergie à l’instant t = 0 ?
Déterminer le ket |Ψ(t)⟩ décrivant l’état du système à un instant t ultérieur. Les kets |Ψ(t)⟩ et |Ψ(t = 0)⟩ décrivent-ils des états physiquement indiscernables ? Justifier votre réponse.
À l’instant t :
1. On mesure l’énergie : quels sont les résultats de la mesure et leurs probabilités ?
2. Même question pour la grandeur représentée par l'opérateur A.
3. Quelle est la probabilité de trouver le système à l’instant t dans l’état décrit par |u₃⟩ ?
On suppose que le résultat d’une mesure de l’énergie à un instant t donne 2ħω. Quel est l’état du système immédiatement après cette mesure ? Ce processus est une application du postulat de réduction du paquet d'onde.
La grandeur représentée par l'opérateur A est-elle une constante de mouvement ? Justifier votre réponse en vous basant sur la relation entre les opérateurs et l'Hamiltonien.

Exercice 2 : Système conservatif

On considère un système conservatif de masse m dont l’état quantique, à l’instant t = 0, est décrit par le ket : |Ψ(t = 0)⟩ = (1/2)|Φ₀⟩ − (i/(2√2))|Φ₁⟩ + (i/√2)|Φ₂⟩ + (1/(2√2))|Φ₃⟩.

Les kets |Φ_n⟩ sont des états propres de l’Hamiltonien H du système, associés aux valeurs propres E_n (représentant les énergies possibles du système) et définis par : E_n = ħω (n + 1/2), avec n un entier positif ou nul. Ce type d'énergie est typique de l'oscillateur harmonique quantique.

Questions pour l'Exercice 2 :

Quelle est la probabilité P_t=0, lorsqu’on mesure l’énergie du système dans l’état |Ψ(t = 0)⟩, de trouver la valeur 5ħω/2 ?
Quelle est la valeur moyenne et l’écart quadratique moyen de l’énergie du système dans l’état |Ψ(t = 0)⟩ ?
1. Calculer le vecteur d’état |Ψ(t)⟩ à l’instant t.
2. Que deviennent à l’instant t la probabilité, la valeur moyenne et l’écart quadratique moyen de l’énergie calculés précédemment ? Commenter les résultats obtenus, notamment en ce qui concerne l'évolution temporelle des valeurs moyennes dans un système conservatif.
On suppose que le résultat d’une mesure de l’énergie donne 7ħω/2. Quel est l’état du système immédiatement après la mesure ? Que trouve-t-on si l'on mesure à nouveau l’énergie, et avec quelle probabilité ?

Exercice 3 : Particule dans un champ électromagnétique (facultatif)

Partie 1 : Dans un champ magnétique constant

Dans un champ magnétique B (indépendant du temps) dérivant d’un potentiel vecteur A (représentés respectivement par les observables B et A), l’Hamiltonien d’une particule de masse m et de charge q s’écrit : H(R, P) = (1/(2m)) (P − qA(R))².

Dans un tel champ, l’observable impulsion P est reliée à l’observable vitesse V par la relation : P = mV + qA.

Pour simplifier, nous supposons que B est uniforme et parallèle à l’axe Oz d’un repère cartésien Oxyz, de telle sorte que les composantes de l’observable A s’écrivent : A_x = 0, A_y = BX et A_z = 0.

Calculer les commutateurs : [V_x, V_y], [V_y, V_z], [V_z, V_x]. Puis les commutateurs : [R_α, V_α] avec α = x, y, z.
Rappeler le théorème de Heisenberg sur les relations d'incertitude et montrer que Δα⋅ΔV_α ≥ ħ/(2m) pour α = x, y, z. Interpréter ce résultat dans le contexte quantique.
En utilisant un résultat du cours que l’on précisera (par exemple, le théorème d'Ehrenfest), calculer :
1. d⟨r⟩/dt ; Commenter l'évolution temporelle de la position moyenne.
2. m d⟨v⟩/dt ; En déduire la relation vectorielle entre ⟨v⟩ et B. Commenter ce résultat, qui devrait rappeler la force de Lorentz.

Partie 2 : Particule dans un champ électromagnétique

On considère maintenant que la particule, en plus du champ magnétique B, est soumise à un champ électrique E. En mécanique classique, la grandeur H, fonction de Hamilton, associée à l’énergie de la particule s’écrit : H(r, p, t) = (1/(2m)) (p − qA(r, t))² + q U(r, t) où p est l’impulsion et r la position de la particule. A et U sont les potentiels vecteur et scalaire dont dérivent B et E respectivement.

Écrire l’observable H représentant la grandeur H en mécanique quantique.
Écrire l’équation de Schrödinger en représentation position pour ce système.

Foire Aux Questions (FAQ) sur la Mécanique Quantique

Qu'est-ce qu'un système conservatif en mécanique quantique ?

En mécanique quantique, un système est dit conservatif si son Hamiltonien (l'opérateur d'énergie totale) ne dépend pas explicitement du temps. Cela signifie que l'énergie totale du système reste constante. Les systèmes conservatifs sont particulièrement importants car ils permettent souvent des solutions plus simples pour l'équation de Schrödinger, et leurs états propres de l'énergie correspondent à des états stationnaires du système.

Quelle est l'importance de l'opérateur Hamiltonien en physique quantique ?

L'opérateur Hamiltonien (H) est un élément central en mécanique quantique. Il représente l'énergie totale du système et est fondamental pour comprendre son comportement. Ses valeurs propres correspondent aux énergies mesurables du système, et ses vecteurs propres décrivent les états stationnaires. De plus, l'Hamiltonien dicte l'évolution temporelle d'un état quantique à travers l'équation de Schrödinger.

Comment la mesure est-elle décrite dans le cadre de la mécanique quantique ?

La mesure d'une observable en mécanique quantique est un processus unique. Lorsqu'une observable est mesurée, le système quantique subit une projection instantanée vers l'un des états propres de l'opérateur associé à cette observable. La valeur obtenue lors de la mesure sera l'une des valeurs propres de cet opérateur. La probabilité d'obtenir une valeur spécifique est déterminée par le carré du module du coefficient de projection de l'état initial sur l'état propre correspondant.