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Télécharger PDFPartie A - Caractère Corpusculaire de la Lumière
I. Rayonnement du Corps Noir
Le champ électromagnétique à l'intérieur d'une cavité fermée peut être modélisé comme un ensemble dénombrable d'oscillateurs harmoniques linéaires et indépendants. L'énergie totale du champ est la somme des énergies de ces oscillateurs. La densité d'énergie u(ν,T) est définie comme le produit de ρ(ν) (nombre d'oscillateurs par unité de volume) et de E (l'énergie moyenne de chaque oscillateur), où ν est la fréquence et T la température absolue.
1. Théorie Classique de l'Électromagnétisme
Dans la théorie classique de l'électromagnétisme, l'énergie E d'un oscillateur varie de façon continue. La probabilité P(E) qu'un oscillateur ait une énergie E est donnée par la distribution de Boltzmann : P(E) dE = a * e^(-E/kT) dE, où k est la constante de Boltzmann.
a. Expression de la densité d'énergie u(ν,T)
Sachant que le nombre d'oscillateurs par unité de volume est ρ(ν) = 8πν^2 / c^3 (où c est la vitesse de la lumière) et que l'énergie moyenne d'un oscillateur selon la théorie classique est E = kT (loi d'équipartition de l'énergie), l'expression de la densité spectrale d'énergie est :
u(ν,T) = ρ(ν) * E = (8πν^2 / c^3) * kT
Cette formule est connue sous le nom de loi de Rayleigh-Jeans. L'expérience montre qu'elle n'est valable que pour les faibles valeurs de la fréquence (grandes longueurs d'onde).
b. Signification et expression de u(T)
La quantité u(T) représente l'énergie totale par unité de volume disponible dans l'enceinte à la température T. Elle est définie par l'intégrale de la densité spectrale d'énergie sur toutes les fréquences :
u(T) = intégrale de 0 à l'infini de u(ν,T) dν
En utilisant la loi de Rayleigh-Jeans :
u(T) = intégrale de 0 à l'infini de (8πkT / c^3) * ν^2 dν
Cette intégrale diverge vers l'infini. Ce résultat est physiquement absurde et est connu sous le nom de "catastrophe ultraviolette", car il prédit une quantité d'énergie infinie aux hautes fréquences (ultraviolet), ce qui contredit les observations expérimentales.
2. Hypothèse de Planck (1900)
Pour résoudre la catastrophe ultraviolette, Max Planck a émis l'hypothèse révolutionnaire que les échanges d'énergie entre la matière du corps noir et le rayonnement électromagnétique ne se font pas de façon continue, mais par "paquets" d'énergie discrets, appelés "quanta". L'énergie de chaque quantum est proportionnelle à la fréquence du rayonnement : ε = hν, où h est la constante de Planck. L'énergie des oscillateurs est ainsi quantifiée et s'écrit sous la forme : E_n = n*hν, où n est un entier naturel (n ∈ ℕ).
a. Calcul de l'énergie moyenne d'un oscillateur (selon Planck)
Dans le cadre de l'hypothèse de Planck, la probabilité d'occupation d'un niveau d'énergie E_n est P(E_n) = a * e^(-E_n/kT). L'énergie moyenne E est donnée par la somme des énergies pondérées par leur probabilité :
E = (somme sur n de E_n * e^(-E_n/kT)) / (somme sur n de e^(-E_n/kT))
Après calcul détaillé (qui implique la somme d'une série géométrique et de sa dérivée), on obtient :
E = hν / (e^(hν/kT) - 1)
Ceci est l'énergie moyenne d'un oscillateur quantique.
b. Nouvelle expression de la densité d'énergie u(ν,T) et loi de Stefan-Boltzmann
En utilisant l'énergie moyenne de Planck, la densité spectrale d'énergie devient :
u(ν,T) = ρ(ν) * E = (8πν^2 / c^3) * [hν / (e^(hν/kT) - 1)]
Soit :
u(ν,T) = (8πhν^3 / c^3) / (e^(hν/kT) - 1)
C'est la célèbre loi de Planck pour le rayonnement du corps noir, qui s'accorde parfaitement avec les résultats expérimentaux sur tout le spectre de fréquences. Elle explique notamment pourquoi le rayonnement diminue aux hautes fréquences (ultraviolet) et résout la "catastrophe ultraviolette".
L'énergie totale u(T) est l'intégrale de cette nouvelle densité spectrale :
u(T) = intégrale de 0 à l'infini de u(ν,T) dν
En effectuant le calcul et en utilisant l'intégrale donnée (intégrale de 0 à l'infini de x^3 / (e^x - 1) dx = π^4 / 15), on obtient la loi de Stefan-Boltzmann :
u(T) = (8π^5 * k^4 / (15 * h^3 * c^3)) * T^4
On peut écrire cette expression sous la forme u(T) = α * T^4, où α est la constante de Stefan-Boltzmann.
II. Effet Photoélectrique
L'effet photoélectrique est le phénomène par lequel des électrons sont éjectés d'un matériau (généralement un métal) lorsqu'il est exposé à un rayonnement électromagnétique, comme la lumière. Ce phénomène a été crucial pour la compréhension de la nature quantique de la lumière.
Expérience : Une cathode de cellule photoélectrique est éclairée par deux radiations monochromatiques, de longueurs d'onde dans le vide λ1 = 0,2537 μm et λ2 = 0,5890 μm. Les énergies cinétiques maximales des électrons éjectés sont respectivement E1 = 3,14 eV et E2 = 0,36 eV.
L'équation d'Einstein pour l'effet photoélectrique est : E_photon = W + E_cinétique_max, où E_photon est l'énergie du photon incident (hν ou hc/λ), W est l'énergie minimale d'extraction des électrons (travail d'extraction ou "work function"), et E_cinétique_max est l'énergie cinétique maximale des électrons éjectés.
1. Estimation expérimentale de la constante de Planck
À partir des deux radiations, nous avons deux équations :
1) hc/λ1 = W + E1
2) hc/λ2 = W + E2
En soustrayant la deuxième équation de la première, le travail d'extraction W est éliminé :
hc/λ1 - hc/λ2 = E1 - E2
hc * (1/λ1 - 1/λ2) = E1 - E2
h = (E1 - E2) / [c * (1/λ1 - 1/λ2)]
Avec les valeurs numériques (c = 3 * 10^8 m/s, 1 eV = 1,6 * 10^-19 J, 1 μm = 10^-6 m) :
h = ( (3,14 - 0,36) * 1,6 * 10^-19 J ) / ( 3 * 10^8 m/s * (1/(0,2537 * 10^-6 m) - 1/(0,5890 * 10^-6 m)) )
h ≈ 6,607 * 10^-34 J.s
Cette valeur est très proche de la valeur universellement acceptée de la constante de Planck (h ≈ 6,626 * 10^-34 J.s).
2. L'énergie minimale d'extraction des électrons (Travail d'extraction W)
Nous pouvons utiliser l'une des équations originales avec la valeur de h que nous venons d'estimer. En utilisant la première équation :
W = (hc/λ1) - E1
Convertissons hc/λ1 en eV :
hc/λ1 = (6,607 * 10^-34 J.s * 3 * 10^8 m/s) / (0,2537 * 10^-6 m * 1,6 * 10^-19 J/eV) ≈ 4,88 eV.
Alors, W = 4,88 eV - 3,14 eV = 1,74 eV.
L'énergie minimale d'extraction (travail d'extraction) est d'environ W = 1,74 eV.
3. La longueur d'onde maximale (seuil) produisant un effet photoélectrique
L'effet photoélectrique se produit si l'énergie du photon incident est au moins égale au travail d'extraction W. Si l'énergie du photon est juste égale à W, l'électron est éjecté sans énergie cinétique. Ceci correspond à une longueur d'onde maximale, dite longueur d'onde de seuil (λ_max) :
hc/λ_max = W
λ_max = hc/W
Avec les valeurs numériques :
λ_max = (6,607 * 10^-34 J.s * 3 * 10^8 m/s) / (1,74 * 1,6 * 10^-19 J)
λ_max ≈ 7,12 * 10^-7 m = 0,712 μm
Toute lumière avec une longueur d'onde supérieure à 0,712 μm ne pourra pas produire l'effet photoélectrique sur cette photocathode.
III. Effet Compton
L'effet Compton décrit l'interaction entre un photon (considéré comme une particule d'énergie hν et d'impulsion h/λ) et une particule chargée, généralement un électron libre ou faiblement lié, initialement au repos. Lors de cette interaction, le photon cède une partie de son énergie et de son impulsion à l'électron, ce qui entraîne une diffusion du photon avec un changement de sa longueur d'onde. C'est une preuve importante de la nature corpusculaire de la lumière et de la validité de la théorie quantique.
Description de l'interaction :
Un photon incident d'énergie hν et d'impulsion p interagit avec un électron de masse m initialement au repos.
Après l'interaction (considérée comme un choc élastique), le photon diffusé a une énergie hν' et une impulsion p', se propageant dans une direction θ par rapport à la direction du photon incident. L'électron, quant à lui, est éjecté avec une énergie cinétique et une impulsion p_e dans une direction φ.
Rappels de relativité restreinte pour l'électron :
L'énergie totale d'une particule de masse m et d'impulsion p est donnée par la relation relativiste : E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2.
Lois de conservation :
En appliquant les lois de conservation de l'énergie et de l'impulsion (quantité de mouvement) au système photon-électron :
1. Conservation de l'énergie totale :
Énergie du photon incident + Énergie de repos de l'électron = Énergie du photon diffusé + Énergie totale de l'électron après le choc
hν + mc^2 = hν' + E_e
2. Conservation de l'impulsion :
Impulsion du photon incident = Impulsion du photon diffusé + Impulsion de l'électron éjecté
p = p' + p_e
En combinant ces équations (qui nécessitent des calculs vectoriels pour l'impulsion et l'utilisation de la relation énergie-impulsion relativiste pour l'électron), on peut dériver la formule de la variation de longueur d'onde (décalage Compton) :
Δλ = λ' - λ = (h / (mc)) * (1 - cosθ)
Où :
Δλ est le décalage Compton (changement de longueur d'onde du photon).
λ' est la longueur d'onde du photon diffusé.
λ est la longueur d'onde du photon incident.
h est la constante de Planck.
m est la masse de l'électron (au repos).
c est la vitesse de la lumière dans le vide.
θ est l'angle de diffusion du photon.
La quantité h/(mc) est appelée la longueur d'onde de Compton de l'électron (λ_C) et vaut environ 2,426 * 10^-12 m (ou 2,426 picomètres). Le décalage Compton dépend uniquement de l'angle de diffusion et des constantes fondamentales, pas de la longueur d'onde initiale du photon.
Partie B - Caractère Ondulatoire de la Matière
IV. Ondes de Matière - Diffraction sur un Cristal
Le caractère ondulatoire de la matière a été postulé par Louis de Broglie, qui a suggéré que toute particule en mouvement possède une onde associée, appelée "onde de matière", dont la longueur d'onde est donnée par λ = h/p (où p est l'impulsion de la particule et h la constante de Planck). La diffraction de particules sur un cristal est une preuve expérimentale fondamentale de cette dualité onde-particule.
1. Rayons X
a. Longueur d'onde des rayons X à utiliser
Pour observer un phénomène de diffraction significatif sur un cristal, la longueur d'onde du rayonnement incident doit être du même ordre de grandeur que la distance interatomique (ou inter-réticulaire) d du cristal. Étant donné que d est de l'ordre de l'Angström (1 Å = 10^-10 m), la longueur d'onde des rayons X à utiliser doit être d'environ 1 Å.
b. Énergie des photons correspondants
L'énergie d'un photon est donnée par E = hν = hc/λ. Pour λ = 1 Å = 10^-10 m :
E = (6,62 * 10^-34 J.s * 3 * 10^8 m/s) / (1 * 10^-10 m)
E ≈ 1,986 * 10^-15 J
Convertie en électron-volts (1 eV = 1,6 * 10^-19 J) :
E ≈ (1,986 * 10^-15 J) / (1,6 * 10^-19 J/eV) ≈ 12,4 * 10^3 eV = 12,4 keV.
Les rayons X utilisés pour la diffraction cristalline ont typiquement des énergies de l'ordre de quelques dizaines de keV.
2. Neutrons Thermiques
On remplace le faisceau de rayons X par des neutrons. À une température T, l'énergie cinétique moyenne d'un neutron est donnée par E = (3/2)k_B*T, où k_B est la constante de Boltzmann.
a. Calcul de la longueur d'onde λ de l'onde de matière associée aux neutrons (T = 300 K)
L'énergie cinétique E d'un neutron est liée à son impulsion p par E = p^2 / (2m_n). L'impulsion est p = sqrt(2 * m_n * E).
La longueur d'onde de de Broglie est λ = h/p = h / sqrt(2 * m_n * E).
En remplaçant E par (3/2)k_B*T :
λ = h / sqrt(2 * m_n * (3/2)k_B*T) = h / sqrt(3 * m_n * k_B*T)
Avec les données : h = 6,62 * 10^-34 J.s; m_n = 1,67 * 10^-27 Kg; k_B = 1,38 * 10^-23 J/K; T = 300 K.
λ = (6,62 * 10^-34 J.s) / sqrt(3 * (1,67 * 10^-27 Kg) * (1,38 * 10^-23 J/K) * (300 K))
λ ≈ 1,45 * 10^-10 m = 1,45 Å
b. Possibilité d'observer une figure de diffraction
La longueur d'onde associée à ces neutrons thermiques (environ 1,45 Å) est du même ordre de grandeur que les distances interatomiques dans un cristal. Par conséquent, oui, il est tout à fait possible d'observer des figures de diffraction avec des neutrons thermiques, et cette technique est largement utilisée en cristallographie neutronique pour étudier la structure de la matière.
3. Électrons Accélérés sous une Tension U
On utilise des électrons accélérés sous une tension U pour réaliser des figures de diffraction, ce qui signifie que leur longueur d'onde de de Broglie doit être de l'ordre de 1 Å.
L'énergie cinétique E_c acquise par un électron de charge e accéléré sous une tension U est E_c = eU. Comme E_c = p^2 / (2m_e), on a p = sqrt(2 * m_e * eU).
La longueur d'onde de de Broglie est λ = h/p = h / sqrt(2 * m_e * eU).
Pour que λ ≈ 1 Å = 10^-10 m :
h / sqrt(2 * m_e * eU) = 10^-10 m
En réarrangeant pour U :
U = h^2 / (2 * m_e * e * (10^-10 m)^2)
Avec les données : h = 6,62 * 10^-34 J.s; m_e = 9 * 10^-31 Kg; e = 1,6 * 10^-19 C.
U = (6,62 * 10^-34 J.s)^2 / (2 * (9 * 10^-31 Kg) * (1,6 * 10^-19 C) * (10^-10 m)^2)
U ≈ 152 Volts
Il faut donc accélérer les électrons sous une tension de l'ordre de quelques centaines de volts pour observer des phénomènes de diffraction sur des cristaux. C'est le principe de la diffraction des électrons (comme en microscopie électronique), une preuve directe du caractère ondulatoire des particules.
Données courantes utilisées en mécanique quantique :
k_B = 1,38 * 10^-23 J/K (Constante de Boltzmann)
h = 6,62 * 10^-34 J.s (Constante de Planck)
m_n = 1,67 * 10^-27 Kg (Masse du neutron)
m_e = 9 * 10^-31 Kg (Masse de l'électron)
e = 1,6 * 10^-19 C (Charge élémentaire de l'électron)
c = 3 * 10^8 m/s (Vitesse de la lumière)
V. L'Atome d'Hydrogène
L'atome d'hydrogène est le système le plus simple en mécanique quantique, composé d'un proton et d'un électron. L'état fondamental de l'électron est décrit par une fonction d'onde particulière. En coordonnées sphériques (r représente la distance au noyau), la fonction d'onde de l'état fondamental s'écrit :
ψ(r) = C * e^(-r/a)
Où C est une constante réelle et positive, et a est le rayon de Bohr (a ≈ 0,53 * 10^-10 m ou 0,53 Å), qui représente le rayon de l'orbite la plus probable de l'électron dans le modèle de Bohr.
1. Calcul de la constante de normalisation C
La condition de normalisation pour une fonction d'onde stipule que la probabilité totale de trouver la particule dans tout l'espace doit être égale à 1. Pour une fonction d'onde en coordonnées sphériques, l'intégrale sur tout l'espace est :
intégrale de 0 à l'infini de |ψ(r)|^2 * dV = 1
L'élément de volume dV en coordonnées sphériques est dV = 4πr^2 dr. Donc :
intégrale de 0 à l'infini de C^2 * e^(-2r/a) * 4πr^2 dr = 1
4πC^2 * intégrale de 0 à l'infini de r^2 * e^(-2r/a) dr = 1
L'intégrale (de type intégrale gamma) ∫ r^n * e^(-αr) dr de 0 à l'infini vaut n! / α^(n+1). Ici n=2 et α=2/a. L'intégrale vaut donc 2! / (2/a)^3 = 2 / (8/a^3) = a^3/4.
4πC^2 * (a^3/4) = 1
πC^2 * a^3 = 1
C^2 = 1 / (πa^3)
Comme C est réelle et positive :
C = 1 / sqrt(πa^3)
2. Densité de probabilité de présence de l'électron et son allure
La densité de probabilité de présence de l'électron est donnée par le carré du module de la fonction d'onde : |ψ(r)|^2.
|ψ(r)|^2 = C^2 * e^(-2r/a) = (1 / (πa^3)) * e^(-2r/a)
Cette densité est maximale pour r = 0, c'est-à-dire au centre de l'atome (au niveau du noyau). Elle décroît exponentiellement à mesure que r augmente. Graphiquement, elle commence à une valeur maximale à r=0 et diminue rapidement.
3. Probabilité de trouver l'électron et rayon le plus probable
La probabilité d℘ de trouver l'électron entre deux sphères de rayons r et r + dr est :
d℘ = |ψ(r)|^2 * dV = |ψ(r)|^2 * 4πr^2 dr
d℘ = (1 / (πa^3)) * e^(-2r/a) * 4πr^2 dr
d℘ = (4/a^3) * r^2 * e^(-2r/a) dr
Pour trouver la valeur de r pour laquelle cette probabilité est maximale (le rayon le plus probable), il faut dériver la fonction radiale de probabilité P(r) = (4/a^3) * r^2 * e^(-2r/a) par rapport à r et annuler la dérivée :
dP(r)/dr = (4/a^3) * [2r * e^(-2r/a) + r^2 * (-2/a) * e^(-2r/a)] = 0
2r * e^(-2r/a) - (2/a)r^2 * e^(-2r/a) = 0
2r * (1 - r/a) * e^(-2r/a) = 0
Les solutions sont r = 0 (qui est un minimum local) ou r = a. Le rayon le plus probable est r = a.
Ainsi, le rayon le plus probable pour trouver l'électron dans l'état fondamental de l'atome d'hydrogène coïncide avec le rayon de Bohr (a), ce qui justifie l'interprétation physique de cette constante.
VI. Paquet d'Ondes Gaussien
Un paquet d'ondes gaussien est une superposition d'ondes planes de différentes fréquences et longueurs d'onde, qui se combinent pour former une localisation spatiale finie. Il est souvent utilisé pour représenter une particule libre en mécanique quantique, car il peut être localisé dans l'espace tout en ayant une impulsion et une énergie bien définies (mais non exactes, conformément au principe d'incertitude). Une particule libre de masse m, d'impulsion p = ħk (où ħ est la constante de Planck réduite) et d'énergie E est décrite par le paquet d'ondes ψ(x,t) à une dimension :
ψ(x,t) = (1 / sqrt(2π)) * intégrale de g(k) * e^(i(kx - ωt)) dk
1. Relation entre E et k et relation de dispersion ω(k)
Pour une particule libre, son énergie potentielle est nulle. L'équation de Schrödinger pour une particule libre montre que l'énergie E est reliée à l'impulsion p par E = p^2 / (2m). Puisque p = ħk :
E = (ħk)^2 / (2m)
La relation de dispersion ω(k) relie la fréquence angulaire ω au nombre d'onde k. Puisque E = ħω, on en déduit :
ħω = (ħk)^2 / (2m)
ω(k) = ħk^2 / (2m)
2. Paquet d'ondes à l'instant initial : ψ(x, t=0) = ψ(x)
À l'instant initial t=0, le paquet d'ondes est :
ψ(x) = (1 / sqrt(2π)) * intégrale de g(k) * e^(ikx) dk
a. g(k) est la transformée de Fourier de ψ(x)
La transformée de Fourier inverse F⁻¹[G(k)](x) est définie comme :
F⁻¹[G(k)](x) = (1 / sqrt(2π)) * intégrale de G(k) * e^(ikx) dk
Par comparaison de l'expression de ψ(x) avec cette formule, il est clair que g(k) est bien la transformée de Fourier de ψ(x).
b. Égalité de Parseval-Plancherel
L'égalité de Parseval-Plancherel établit une relation fondamentale entre une fonction et sa transformée de Fourier, en termes d'intégrale de leur module carré :
intégrale de -infini à +infini de |ψ(x)|^2 dx = intégrale de -infini à +infini de |g(k)|^2 dk
Signification :
|ψ(x)|^2 est la densité de probabilité de trouver la particule à la position x. L'intégrale de |ψ(x)|^2 dx représente la probabilité totale de trouver la particule dans l'espace des positions.
|g(k)|^2 est la densité de probabilité de trouver la particule avec le nombre d'onde k (ou l'impulsion p = ħk). L'intégrale de |g(k)|^2 dk représente la probabilité totale de trouver la particule dans l'espace des impulsions.
L'égalité signifie que la probabilité totale de trouver la particule est la même, qu'on la décrive dans l'espace des positions ou dans l'espace des impulsions. Si la fonction d'onde est normalisée, ces deux intégrales sont égales à 1.
On suppose par la suite que la fonction g(k) est une gaussienne centrée en k_0 :
g(k) = (a^2 / π)^(1/4) * exp(-(a^2/2) * (k - k_0)^2)
Où a est une constante ayant la dimension d'une longueur.
3. Paquet d'ondes à l'instant t = 0
a. Expression de ψ(x,0)
En insérant l'expression de g(k) dans l'intégrale de la transformée de Fourier inverse pour ψ(x,0) et en résolvant l'intégrale gaussienne, on obtient :
ψ(x,0) = (1 / (πa^2))^(1/4) * e^(ik_0x) * exp(-x^2 / (2a^2))
b. Position du centre du paquet d'ondes x_M
Le centre du paquet d'ondes correspond à la position où la densité de probabilité |ψ(x,0)|^2 est maximale.
|ψ(x,0)|^2 = (1 / (πa^2))^(1/2) * exp(-x^2 / a^2)
Cette fonction gaussienne atteint son maximum lorsque l'exposant est minimal, ce qui se produit à x = 0.
Donc, à t = 0, le centre du paquet d'ondes est situé à x_M = 0.
c. Probabilité de trouver la particule dans tout l'espace
La probabilité totale est l'intégrale de -infini à +infini de |ψ(x,0)|^2 dx.
intégrale de -infini à +infini de (1 / (πa^2))^(1/2) * exp(-x^2 / a^2) dx
En utilisant l'intégrale gaussienne standard (intégrale de exp(-βy^2) dy = sqrt(π/β)), avec β = 1/a^2 :
Probabilité totale = (1 / (πa^2))^(1/2) * sqrt(π / (1/a^2)) = (1 / (πa^2))^(1/2) * sqrt(πa^2) = 1.
La probabilité de trouver la particule dans tout l'espace est égale à 1, ce qui confirme la normalisation de la fonction d'onde.
d. Détermination des largeurs Δx(0) et Δk(0) et relation d'incertitude d'Heisenberg
Pour une fonction gaussienne de la forme f(y) = C * exp(-(y-y_0)^2 / (2σ^2)), l'écart-type (ou largeur standard) est σ.
Largeur Δx(0) de ψ(x,0) :
La densité de probabilité est |ψ(x,0)|^2 = (1 / (πa^2))^(1/2) * exp(-x^2 / a^2).
En comparant l'exposant avec -x^2 / (2σ_x^2), on a 2σ_x^2 = a^2, donc σ_x = a / sqrt(2).
Δx(0) = a / sqrt(2)
Largeur Δk(0) de g(k) :
La fonction g(k) = (a^2 / π)^(1/4) * exp(-(a^2/2) * (k - k_0)^2).
En comparant l'exposant avec -(k - k_0)^2 / (2σ_k^2), on a 2σ_k^2 = 2/a^2, donc σ_k = 1 / a.
Δk(0) = 1 / a
Relation d'incertitude d'Heisenberg :
Le principe d'incertitude d'Heisenberg stipule que le produit des incertitudes sur la position (Δx) et l'impulsion (Δp) d'une particule est toujours supérieur ou égal à une valeur minimale : ΔxΔp ≥ ħ/2. Puisque Δp = ħΔk, cela peut s'écrire ΔxΔk ≥ 1/2.
Avec les largeurs calculées comme les écarts-types pour ces distributions gaussiennes :
Δx(0) * Δk(0) = (a / sqrt(2)) * (1 / a) = 1 / sqrt(2).
Puisque 1/sqrt(2) ≈ 0,707, et que la limite inférieure est 1/2 = 0,5, nous avons bien 1/sqrt(2) ≥ 1/2.
Le paquet d'ondes gaussien obéit à la relation d'incertitude d'Heisenberg, étant même un "paquet à minimum d'incertitude" lorsqu'il est défini par ces largeurs standard.
4. Évolution du paquet d'ondes ψ(x,t) dans le temps
L'expression du paquet d'ondes ψ(x,t) pour t > 0 (dont la démonstration est complexe et non reproduite ici) montre comment le paquet évolue au cours du temps, se dispersant spatialement et changeant de phase.
a. Densité de probabilité |ψ(x,t)|^2 associée à la particule
La densité de probabilité est le module carré de la fonction d'onde. En partant de l'expression complexe de ψ(x,t) fournie et en calculant |ψ(x,t)|^2, les termes de phase complexes s'annulent :
|ψ(x,t)|^2 = (1 / (πa^2 * (1 + (ħt / (ma^2))^2)))^(1/2) * exp(-(x - (ħk_0t / m))^2 / (a^2 * (1 + (ħt / (ma^2))^2)))
C'est également une fonction gaussienne, mais dont la largeur et la position du centre dépendent du temps.
b. Position x_M(t) du centre du paquet d'ondes et sa vitesse de déplacement
Le centre du paquet d'ondes correspond à la valeur de x qui maximise la densité de probabilité, c'est-à-dire qui annule l'argument du terme exponentiel de l'expression de |ψ(x,t)|^2.
x_M(t) - (ħk_0t / m) = 0
x_M(t) = ħk_0t / m
À t=0, x_M(0) = 0, ce qui est cohérent. La position du centre se déplace linéairement avec le temps.
La vitesse de déplacement du centre du paquet est la dérivée de x_M(t) par rapport au temps :
v_M = dx_M(t)/dt = ħk_0 / m
Cette vitesse est la vitesse de groupe v_g du paquet d'ondes, qui est définie par v_g = dω/dk. Pour une particule libre, ω(k) = ħk^2 / (2m), donc v_g = d(ħk^2 / (2m))/dk = ħk/m. C'est cohérent avec la mécanique classique (v = p/m = ħk/m) et montre que le paquet d'ondes représente bien une particule se déplaçant avec une vitesse constante.
c. Largeur Δx(t) et amplitude A(t) de |ψ(x,t)|^2. Description qualitative et conclusion.
La densité de probabilité |ψ(x,t)|^2 est une gaussienne dont la forme est C(t) * exp(-(x - x_M(t))^2 / (2σ_x(t)^2)).
Largeur Δx(t) :
En utilisant la définition de l'écart-type σ_x(t) à partir de l'exposant de la gaussienne :
2σ_x(t)^2 = a^2 * (1 + (ħt / (ma^2))^2)
Δx(t) = σ_x(t) = (a / sqrt(2)) * sqrt(1 + (ħt / (ma^2))^2)
Amplitude A(t) :
L'amplitude maximale de |ψ(x,t)|^2 (au centre du paquet) est le facteur pré-exponentiel :
A(t) = (1 / (πa^2 * (1 + (ħt / (ma^2))^2)))^(1/2) = A(0) / sqrt(1 + (ħt / (ma^2))^2)
Description qualitative et conclusion :
En fonction du temps (t) :
- **Largeur Δx(t) :** La largeur du paquet d'ondes augmente avec le temps. Le terme (ħt / (ma^2))^2 croît avec t^2. Cela signifie que le paquet d'ondes s'étale, ou se disperse, à mesure que le temps s'écoule. Cette dispersion est d'autant plus rapide que la masse m de la particule est petite et que l'incertitude initiale sur l'impulsion (liée à 'a') est grande.
- **Amplitude A(t) :** L'amplitude du paquet d'ondes diminue avec le temps. Cela est nécessaire pour maintenir la condition de normalisation (la probabilité totale de trouver la particule reste égale à 1). Si le paquet s'étale sur une plus grande région de l'espace, sa hauteur doit diminuer proportionnellement.
Conclusion quant à l'évolution de la forme de la densité de probabilité :
Le paquet d'ondes gaussien se déplace à une vitesse constante (la vitesse de groupe), mais il s'étale et son amplitude diminue au fil du temps. Cela signifie que la localisation spatiale de la particule devient de moins en moins précise. Ce phénomène est appelé la dispersion du paquet d'ondes, et il est une caractéristique intrinsèque de la dynamique des particules en mécanique quantique. Une particule qui est initialement bien localisée devient de plus en plus délocalisée au cours du temps, même si son énergie et son impulsion moyennes restent bien définies.
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce que la "catastrophe ultraviolette" en physique classique ?
La catastrophe ultraviolette était une prédiction de la physique classique concernant le rayonnement du corps noir. Elle stipulait que l'énergie émise par un corps noir devait être infinie aux fréquences élevées (ultraviolet et au-delà), ce qui était en contradiction flagrante avec les observations expérimentales. Cette divergence a été résolue par l'hypothèse de la quantification de l'énergie de Planck, marquant le début de la mécanique quantique.
Comment l'effet photoélectrique a-t-il contribué au développement de la mécanique quantique ?
L'effet photoélectrique, expliqué par Albert Einstein en 1905, a démontré que la lumière ne se comporte pas uniquement comme une onde, mais aussi comme des particules discrètes appelées photons, dont l'énergie est proportionnelle à leur fréquence. Cette découverte a fourni une preuve expérimentale cruciale de la quantification de l'énergie et de la dualité onde-corpuscule de la lumière, concepts fondamentaux pour le développement de la mécanique quantique.
Pourquoi les paquets d'ondes gaussiens sont-ils souvent utilisés en mécanique quantique ?
Les paquets d'ondes gaussiens sont des outils mathématiques et physiques essentiels en mécanique quantique car ils représentent des particules qui sont initialement "aussi localisées que possible" en termes de position et d'impulsion, conformément au principe d'incertitude de Heisenberg (ils sont des paquets à minimum d'incertitude). Leur forme mathématique est également bien comprise et facile à manipuler pour étudier l'évolution des particules libres, malgré leur tendance naturelle à se disperser dans le temps.