Td mécanique quantique smp4 série 2 puits carré 2019 2020 mé
Télécharger PDFIntroduction à la Mécanique Quantique : Étude des Systèmes Fondamentaux
Ce document explore des concepts clés de la mécanique quantique à travers une série de problèmes classiques, couvrant le comportement des particules dans différents types de potentiels. Nous aborderons la quantification de l'énergie, les phénomènes de transmission et l'effet tunnel, essentiels pour comprendre le monde subatomique.
Problème 1 : Particule dans un Puits de Potentiel Carré
Nous considérons un potentiel V(x) défini comme suit :
- V(x) = 0 si x < -a (Région I)
- V(x) = -V₀ si -a ≤ x ≤ a (Région II)
- V(x) = 0 si x > a (Région III)
où V₀ et 'a' sont des constantes positives. Les paramètres clés utilisés dans cette étude sont définis par : q2 = -2mE / ℏ2, k2 = 2m(E + V₀) / ℏ2, et k₀2 = 2mV₀ / ℏ2. Ici, m est la masse de la particule, E son énergie et ℏ la constante de Planck réduite.
Partie A : États Liés d'une Particule
Nous étudions ici les états liés d'une particule de masse m et d'énergie E, où -V₀ < E < 0, se déplaçant sous l'influence du potentiel V(x).
1. Équation de Schrödinger et Fonctions d'Onde
a. L'équation de Schrödinger stationnaire pour la fonction d'onde ϕ(x) d'une particule d'énergie E est :
- (ℏ2/2m) d2ϕ/dx2 + V(x)ϕ(x) = Eϕ(x)
Pour des états liés, la fonction d'onde doit s'annuler à l'infini. Les expressions des fonctions d'onde dans les trois régions sont :
- Région I (x < -a) : ϕ(x) = A e(qx)
- Région II (-a ≤ x ≤ a) : ϕ(x) = C e(ikx) + D e(-ikx)
- Région III (x > a) : ϕ(x) = G e(-qx)
b. En raison de la symétrie du potentiel, les fonctions d'onde stationnaires peuvent être classées en fonctions paires (ϕs(x)) et impaires (ϕa(x)) :
- Pour les fonctions d'onde paires : ϕs(x) = A e(qx) (x < -a), ϕs(x) = B cos(kx) (-a ≤ x ≤ a), ϕs(x) = A e(-qx) (x > a).
- Pour les fonctions d'onde impaires : ϕa(x) = A e(qx) (x < -a), ϕa(x) = B sin(kx) (-a ≤ x ≤ a), ϕa(x) = -A e(-qx) (x > a).
2. Conditions de Continuité et Quantification de l'Énergie
a. La continuité de la fonction d'onde ϕ(x) et de sa dérivée première dϕ/dx est requise aux points de discontinuité du potentiel (x = ±a). Ces conditions mènent aux équations de quantification de l'énergie. Pour les fonctions d'onde paires et impaires, elles se traduisent par des relations spécifiques entre les coefficients A et B.
b. Ces conditions peuvent être réécrites sous des formes simplifiées pour trouver les énergies possibles :
- Pour les états pairs : k tan(ka) = q (avec tan(ka) > 0)
- Pour les états impairs : k cot(ka) = -q (avec tan(ka) < 0)
c. La résolution graphique de ces relations, en traçant les fonctions correspondantes sur un même repère, montre que le vecteur d'onde k est quantifié. Chaque valeur de k correspond à une énergie E quantifiée pour la particule, donnée par En = (ℏ2kn2 / 2m) - V₀.
Partie B : Coefficient de Transmission du Puits Carré
Dans cette partie, nous considérons un faisceau de particules de masse m et d'énergie E > 0, provenant de l'infini négatif et se propageant vers le potentiel attractif V(x) précédemment défini.
5. Fonctions d'Onde Stationnaires pour E > 0
Lorsque l'énergie de la particule E est supérieure à zéro (E > 0), les fonctions d'onde stationnaires dans chaque région sont des ondes de propagation :
- Région I (x < -a) : ϕI(x) = A₁ e(iqx) + B₁ e(-iqx) (onde incidente + onde réfléchie)
- Région II (-a ≤ x ≤ a) : ϕII(x) = A₂ e(ikx) + B₂ e(-ikx) (ondes transmise et réfléchie dans le puits)
- Région III (x > a) : ϕIII(x) = A₃ e(iqx) (onde transmise au-delà du puits, sans réflexion depuis l'infini positif)
Les paramètres q et k sont définis par q2 = 2mE / ℏ2 et k2 = 2m(E + V₀) / ℏ2.
6. Analyse du Courant de Probabilité et du Facteur de Transmission
a. Les conditions de continuité de la fonction d'onde et de sa dérivée première doivent être appliquées aux interfaces x = -a et x = a, reliant ainsi les amplitudes des ondes dans les différentes régions.
b. Après application des conditions de continuité, on peut déterminer le rapport entre l'amplitude de l'onde transmise (A₃) et l'amplitude de l'onde incidente (A₁). Ce rapport est crucial pour le calcul du coefficient de transmission.
c. Le courant de probabilité, j(x), représente le flux de particules et est défini en une dimension par : j(x) = (ℏ / 2im) * (ϕ(x) dϕ*(x)/dx - ϕ*(x) dϕ(x)/dx). Le courant de probabilité incident (ji) est proportionnel à |A₁|² et le courant de probabilité transmis (jt) est proportionnel à |A₃|².
d. Le facteur de transmission T est la probabilité que la particule traverse le puits. Il est défini par le rapport des courants de probabilité transmis et incident (T = jt / ji). Pour une particule d'énergie E > 0, le coefficient de transmission T peut s'exprimer sous la forme :
T = 1 / [1 + (V₀² / (4E(E+V₀))) * sin²(2ka)]
où k est le nombre d'onde dans la région du puits.
7. Résonance de Diffusion et Transparence Nucléaire
Ce modèle de puits de potentiel peut schématiser le potentiel nucléaire pour des neutrons. Le noyau devient "transparent" (c'est-à-dire que le facteur de transmission T = 1) lorsque la condition (V₀² / (4E(E+V₀))) * sin²(2ka) = 0 est remplie. Cela se produit quand sin(2ka) = 0, ce qui implique que 2ka = nπ, où n est un entier.
Les trois premières valeurs de l'énergie E pour lesquelles T = 1, avec V₀ = 45 MeV et (ℏ2 / 2m) ≈ 51,1 MeV·fm² (pour a = 10 fm, car le diamètre D = 2a = 20 fm), sont approximativement :
- E₁ ≈ 6,1 MeV
- E₂ ≈ 159,4 MeV
- E₃ ≈ 415 MeV
Problème 2 : Transmission par une Barrière de Potentiel – L'Effet Tunnel
Une particule de masse m et d'énergie E, venant des x négatifs, rencontre une barrière de potentiel de hauteur V₀, définie par :
- V(x) = V₀ si 0 ≤ x ≤ a (Région II)
- V(x) = 0 ailleurs (Régions I et III)
V₀ et 'a' sont des constantes positives.
1. Comportement Classique de la Particule
Classiquement, le comportement d'une particule face à une barrière de potentiel dépend de son énergie E par rapport à la hauteur de la barrière V₀ :
- Si E > V₀ : La particule franchit la barrière sans être ralentie, car elle possède suffisamment d'énergie cinétique.
- Si E < V₀ : La particule est totalement réfléchie par la barrière au point x = 0, car elle n'a pas l'énergie suffisante pour la traverser. Son mouvement est impossible à l'intérieur de la barrière.
En mécanique quantique, un comportement différent apparaît, notamment pour 0 < E < V₀, où le phénomène d'effet tunnel est observé.
2. Fonctions d'Onde Quantiques pour 0 < E < V₀
Pour une énergie E telle que 0 < E < V₀, l'équation de Schrödinger stationnaire permet de déterminer la fonction d'onde ϕ(x) dans chaque région :
- Région I (x < 0) : ϕI(x) = A₁ e(ikx) + B₁ e(-ikx) (onde incidente et réfléchie)
- Région II (0 ≤ x ≤ a) : ϕII(x) = A₂ e(qx) + B₂ e(-qx) (onde évanescente à l'intérieur de la barrière)
- Région III (x > a) : ϕIII(x) = A₃ e(ikx) (onde transmise au-delà de la barrière)
Les paramètres k et q sont définis par : k2 = 2mE / ℏ2 et q2 = 2m(V₀ - E) / ℏ2.
3. Conditions de Continuité et Rapport des Amplitudes
Les conditions de continuité de la fonction d'onde et de sa dérivée aux points x = 0 et x = a sont appliquées pour relier les coefficients des fonctions d'onde dans chaque région. Ces conditions permettent de déterminer le rapport entre l'amplitude de l'onde transmise (A₃) et celle de l'onde incidente (A₁).
4. Courants de Probabilité Incident et Transmis
Les courants de probabilité incident (ji) et transmis (jt) sont calculés à partir des fonctions d'onde et de leurs dérivées. Comme précédemment, ji est proportionnel à |A₁|² et jt est proportionnel à |A₃|².
5. Coefficient de Transmission (T)
Le coefficient de transmission T, défini comme le rapport entre le courant de probabilité transmis et le courant incident (T = jt / ji), quantifie la probabilité pour qu'une particule traverse la barrière de potentiel. Il est donné par :
T = 1 / [1 + (V₀² / (4E(V₀-E))) * sinh2(qa)]
Ceci met en évidence l'effet tunnel : même si l'énergie E de la particule est inférieure à V₀, il existe une probabilité non nulle que la particule traverse la barrière, phénomène impossible en physique classique.
Problème 3 : Particule dans un Puits de Potentiel Delta de Dirac
Une particule de masse m et d'énergie E se déplace sur l'axe x et est soumise à un potentiel de puits delta de Dirac : V(x) = α δ(x), où α est une constante négative et δ(x) est la fonction de Dirac.
Les régions de l'espace sont définies comme : Région I (x < 0) et Région II (x > 0).
1. Équation de Schrödinger et Conditions de Raccordement
a. Le potentiel V(x) = α δ(x) représente un puits infiniment étroit et profond au point x = 0, puisque α est négatif.
b. L'équation de Schrödinger pour ce système est :
- (ℏ2/2m) d2ϕ/dx2 + α δ(x) ϕ(x) = Eϕ(x)
c. En x = 0, la fonction d'onde ϕ(x) doit être continue : ϕI(0) = ϕII(0).
Cependant, en raison du potentiel delta de Dirac, la dérivée première de la fonction d'onde présente une discontinuité. Après intégration de l'équation de Schrödinger autour de x = 0, la condition de discontinuité est donnée par :
dϕII/dx |(x=0) - dϕI/dx |(x=0) = (2mα / ℏ2) ϕ(0)
Cette relation cruciale permet de relier les dérivées de la fonction d'onde de part et d'autre du potentiel delta.
2. Recherche d'États Liés (E < 0)
a. Pour E < 0, il existe un unique état lié pour ce potentiel. En utilisant les fonctions d'onde de la forme ϕ(x) = A e(qx) (x < 0) et ϕ(x) = B e(-qx) (x > 0), où q = sqrt(-2mE)/ℏ, et en appliquant les conditions de raccordement, on trouve l'énergie de cet état lié :
E = -mα2 / (2ℏ2)
La fonction d'onde normalisée correspondante est : ϕ(x) = sqrt(q) e(-q|x|).
b. La fonction d'onde ϕ(x) de cet état lié est une fonction symétrique autour de x = 0, ayant une décroissance exponentielle de part et d'autre du puits de potentiel delta.
Problème 4 : États Liés de l'Électron de l'Ion H₂⁺ (Molécule d'Hydrogène Ionisée)
L'ion H₂⁺ est composé de deux protons (p₁ et p₂) séparés par une distance 'a', et d'un unique électron. Nous étudions les états liés de cet électron (masse m, énergie E < 0) sous l'attraction de ces deux protons, supposés fixes.
Le potentiel ressenti par l'électron est modélisé par un double puits delta de Dirac :
V(x) = -α δ(x + a/2) - α δ(x - a/2)
où α est une constante positive. Pour ce problème, les paramètres sont : q = sqrt(-2mE)/ℏ et μ = mα/ℏ2.
1. Équation de Schrödinger et Fonctions d'Onde
L'équation de Schrödinger est similaire à celle du puits delta unique, mais avec le double potentiel. La fonction d'onde ϕ(x) s'exprime différemment dans les trois régions délimitées par les deux puits delta (x < -a/2, -a/2 < x < a/2, x > a/2) et prend la forme d'exponentielles réelles décroissantes ou croissantes.
- Région I (x < -a/2) : ϕI(x) = A e(qx)
- Région II (-a/2 < x < a/2) : ϕII(x) = B e(qx) + C e(-qx)
- Région III (x > a/2) : ϕIII(x) = D e(-qx)
où q = sqrt(-2mE)/ℏ.
2. États Liés Symétriques et Antisymétriques
La symétrie du potentiel V(x) permet de classifier les états liés en fonctions d'onde symétriques (paires, ϕS(x)) et antisymétriques (impaires, ϕA(x)) :
- Pour les états symétriques : la fonction d'onde est paire par rapport au centre du système (x=0).
- Pour les états antisymétriques : la fonction d'onde est impaire par rapport au centre du système (x=0).
3. Discontinuité de la Dérivée Première
Comme pour le puits delta unique, la dérivée première de la fonction d'onde ϕ'(x) présente une discontinuité à chaque emplacement du potentiel delta (x = ±a/2). La discontinuité est de la forme :
ϕ'(a/2+) - ϕ'(a/2-) = -(2mα / ℏ2) ϕ(a/2)
où (2mα / ℏ2) est une constante liée à l'amplitude du potentiel.
4. Équations de Quantification de l'Énergie
En appliquant les conditions de raccordement (continuité de ϕ(x) et discontinuité de ϕ'(x)) aux points x = ±a/2, on obtient les équations de quantification pour les énergies des états liés symétriques et antisymétriques. Ces équations, après simplification, sont :
- Pour les états symétriques : q + μ = μ e(-qa)
- Pour les états antisymétriques : q - μ = -μ e(-qa)
où μ = mα/ℏ2 et q = sqrt(-2mE)/ℏ.
5. Résolution Graphique des Énergies et Niveaux Énergétiques
a. La résolution graphique de ces équations (q = μ(1 ± e(-qa))) permet de visualiser les valeurs possibles de q, et donc des énergies E, en fonction des paramètres du système.
b. Les deux solutions possibles pour q, notées qS (pour l'état symétrique) et qA (pour l'état antisymétrique), se situent de part et d'autre d'une valeur de référence q₀ = μ (obtenue quand e(-qa) est négligeable).
c. Il est constaté que l'énergie ES de l'état symétrique (qui correspond à l'état fondamental) est inférieure à l'énergie EA de l'état antisymétrique (qui est un état excité). Cela signifie que l'état fondamental est plus lié et donc plus stable.
Foire Aux Questions (FAQ) sur la Mécanique Quantique des Potentiels
Qu'est-ce qu'un état lié en mécanique quantique ?
Un état lié en mécanique quantique décrit une particule dont l'énergie totale est négative, ce qui signifie qu'elle est confinée dans une région de l'espace par un potentiel attractif. La fonction d'onde associée à un état lié décroît exponentiellement en dehors de la région où le potentiel est présent, assurant ainsi la localisation de la particule et sa quantification énergétique.
Quand et comment se manifeste l'effet tunnel ?
L'effet tunnel est un phénomène quantique où une particule peut traverser une barrière de potentiel, même si son énergie est inférieure à la hauteur de cette barrière, ce qui serait impossible en physique classique. Il se manifeste par une probabilité non nulle de transmission. Ce phénomène est crucial pour de nombreuses applications, comme dans les diodes tunnel ou la désintégration alpha radioactive.
Pourquoi la continuité de la fonction d'onde et de sa dérivée est-elle importante ?
La continuité de la fonction d'onde (ϕ(x)) est une exigence fondamentale en mécanique quantique pour que la fonction d'onde soit physiquement acceptable. De plus, la continuité de sa dérivée première (dϕ/dx) est généralement requise pour des potentiels bien comportés, garantissant ainsi un courant de probabilité continu. Cependant, en présence de potentiels idéalisés comme les puits ou barrières delta de Dirac, la dérivée première de la fonction d'onde peut présenter une discontinuité à l'emplacement du potentiel, bien que la fonction d'onde elle-même reste continue.