Td mécanique quantique smp4 série 2 puits barrière potentiel

Télécharger PDF

T.D. de Mécanique Quantique - SMP4 Série N°2

Exercice 1: Particule dans un puits semi-infini

Une particule de masse m et d’énergie E est soumise à un potentiel U(x) semi-infini tel que : +∞ pour x < 0, 0 pour 0 ≤ x ≤ a (région 1), U₀ pour x > a (région 2).

1) Étude du potentiel

a) Tracer l’allure de U(x) ; U₀ étant positif.

b) Écrire l’équation de Schrödinger indépendante du temps dans chacune des régions. On désigne par φ_i(x) la fonction d’onde dans la région i ; (i=1,2).

2) Cas des états liés (0 < E < U₀)

Dans la suite, on considère le cas où 0 < E < U₀, correspondant aux états liés, que l’on numérote avec un entier n ∈ ℕ*.

a) Donner la solution générale de φ₁(x) et montrer qu’elle peut s’écrire : φ₁(x) = A.sin(k.x). On précisera l’expression du vecteur d’onde k. A étant une constante.

b) Justifier que dans la région 2, φ₂(x) décrit une onde évanescente de la forme : φ₂(x) = B.exp(−q.x). Préciser l’expression de q. B étant une constante.

c) Utiliser les conditions de continuité au point x = a et donner la relation liant k et q.

d) En raisonnant graphiquement, répondre aux questions suivantes :

1. Y a-t-il toujours des solutions pour k ? Commenter physiquement.

2. Quelle est la valeur minimale de U₀, U_0,min, telle qu’il existe au moins un état lié ?

3. Quelle est la condition sur k₀ pour qu’il y ait N_b états liés ?

e) Dans le cas où U₀ ≫ ℏ²/(ma²), comment varie la différence E_n+1 − E_n de deux états de basse énergie ?

3) Densité de probabilité

a) Calculer la densité de probabilité, que l’on note ρ(x), de trouver la particule dans la région 2.

b) Déterminer la profondeur de pénétration x₀ de la particule dans cette région. x₀ est telle que ρ(x) est réduite d’un facteur e (base du logarithme népérien) par rapport à sa valeur au point a.

4) Comportement à l'infini

On fait tendre maintenant U₀ vers l’infini. Que deviennent ρ(x) et la profondeur x₀ ?

Exercice 2: Facteur de transmission d’une barrière de potentiel

Une particule ponctuelle de masse m et d’énergie E > 0. Au cours de son déplacement le long de l’axe Ox, elle rencontre une barrière de potentiel. On se propose de calculer, de manière approximative, le facteur de transmission de cette barrière de potentiel. Pour cela, on suppose que la barrière est la superposition d’une marche et d’une anti-marche de potentiel.

A) Marche de potentiel

Le potentiel de la particule est tel que : V(x) = 0 pour x < 0 et V₀ > E pour x > 0.

1) Écrire l’équation de Schrödinger stationnaire dans les deux régions de l’espace.

2) Pour x ≤ 0, la fonction d’onde φ₁(x) est la somme de deux ondes de vecteur d’onde →k, l’une d’amplitude A₁ se propageant dans le sens des x croissants, l’autre d’amplitude B₁ se propageant dans le sens inverse. Écrire φ₁(x) et donner l’expression du module du vecteur d’onde →k en fonction des données du problème.

3) Pour x ≥ 0, justifier que la fonction d’onde φ₂(x) est de la forme A₂e^-αx, donner l’expression de α en fonction des données du problème.

4) Calculer numériquement k et α pour E = 1 eV ; V₀ = 5E/4 ; m = 9,1.10^-31 kg ; ℏ = 1,05.10^-34 J.s et e = 1,6.10^-19 C.

5) En imposant à la fonction d’onde les relations de passage en x = 0, calculer les rapports : B₁/A₁, A₂/A₁ puis |B₁/A₁|² et |A₂/A₁|². Quelle est la signification physique de |B₁/A₁|² ? |A₂/A₁|² est-il nul ? Comment interpréter les valeurs obtenues de |B₁/A₁|² et |A₂/A₁|² ?

B) Anti-marche de potentiel

Le potentiel de la particule est maintenant défini par : V(x) = V₀ > E pour 0 < x < a et 0 pour x > a.

1) Justifier que la fonction d’onde est de la forme : φ₂(x) = A₂e^-αx + B₂e^+αx pour 0 < x < a et φ₃(x) = A₃e^+ikx pour x > a.

2) Calculer les rapports B₂/A₂ et A₃/A₂ puis |A₃/A₂|² en fonction de a, k et α.

3) On se place dans le cas où αa ≫ 1, vérifier que le rapport B₂/A₂ est très inférieur à 1. (On pourra donc négliger le terme B₂e^+αx en x = 0).

C) Barrière de potentiel

Le potentiel de la particule est : V(x) = V₀ > E pour 0 < x < a et 0 ailleurs. Les expressions de la fonction d’ondes dans les 3 régions sont celles obtenues dans les parties A) et B), on se place dans le cas où αa ≫ 1 pour négliger le terme B₂e^+αx. Les résultats des questions de A) et B) peuvent être utilisés.

1) Exprimer le rapport T = |A₃/A₁|² en fonction de a, k et α, donner sa signification physique.

2) Calculer numériquement T avec les données de la question A)-4 et pour a = 5 Å.

Exercice 3: Transmission d’un puits de potentiel 'delta'

Une particule de masse m et d’énergie E, issue d’une source située vers −∞, se déplace sur l’axe des x où elle est soumise au potentiel V(x) = αδ(x), α est une constante négative et δ(x) est la fonction de Dirac.

1) Équation de Schrödinger

a) Écrire l’équation de Schrödinger indépendante du temps satisfaite par la fonction d’onde ψ(x) de la particule.

b) Résoudre cette équation dans les deux régions (I) et (II) correspondant respectivement à x < 0 et x > 0. On posera k² = 2mE/ℏ².

2) Discontinuité de la dérivée

Exprimer la discontinuité de la dérivée première ψ'(x) de la fonction d’onde au point x = 0 en fonction de m, α et ψ(0). On donne : ∫_-∞^+∞ f(x)δ(x − x₀)dx = f(x₀).

3) Conditions de raccordement

Écrire les conditions de raccordement au point x = 0 et exprimer le rapport de l’amplitude transmise dans la région (II) et de l’amplitude incidente dans la région (I).

4) Courant de probabilité

Le courant de probabilité qui caractérise le flux de particules est défini, à 1 dimension, par : →j = (ℏ / (2im)) ( ψ*(x)dψ(x)/dx − ψ(x)dψ*(x)/dx ) →e_x. Établir les expressions des courants de probabilité incident →j_i et transmis →j_t.

5) Coefficient de transmission

Calculer le coefficient de transmission T(E) = |→j_t|/|→j_i| du puits 'delta' défini par le rapport entre les courants transmis et incidents en fonction de m, α, ℏ et E.

6) Représentation graphique

Représenter graphiquement le coefficient de transmission T(E) en fonction de E.

Exercice 4: Effet tunnel dans un double puits carré

Une particule de masse m est située dans le puits représenté sur la figure ci-dessous. Nous étudierons par la suite une solution stationnaire de l’équation de Schrödinger d’énergie E telle que 0 < E < V₀ et on pose : E = ℏ²k²/(2m) et V₀ − E = ℏ²q²/(2m).

1) Équations aux valeurs propres

a) Écrire l’équation de Schrödinger pour ce système dans chaque région, et déduire l’expression de la fonction d’onde d’état stationnaire correspondante dans chaque région.

b) Le potentiel étant symétrique, donner les fonctions d’onde paires ψ_s(x) et impaires ψ_a(x).

2) Conditions de raccordement

On s’intéresse par la suite aux cas des états paires ψ_s(x), et on pose v_0,def = (2mb²π²)/( ℏ²V₀) et η_def = E/V₀.

a) Écrire les conditions de raccordement pour les états quantiques décrivant la particule aux points de discontinuité du potentiel.

b) Déduire l’équation de quantification de l’énergie de la particule.

c) Résoudre graphiquement cette relation qu’on représentera dans un même repère en fonction de η. Discuter.

d) Examiner notamment les deux cas v₀ ≫ 1 et v₀ ∼ 1. Commenter physiquement.

e) Donner la condition pour qu’il y ait un seul état pair d’énergie inférieure à V₀.

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce que l'équation de Schrödinger et son importance ?

L'équation de Schrödinger est une équation fondamentale en mécanique quantique qui décrit comment l'état quantique d'un système physique évolue dans le temps. Elle joue un rôle similaire à la deuxième loi de Newton en mécanique classique, mais pour les particules à l'échelle atomique et subatomique. Sa résolution permet de déterminer les fonctions d'onde des particules, qui contiennent toutes les informations sur leurs propriétés et leur comportement.

Qu'est-ce que l'effet tunnel en mécanique quantique ?

L'effet tunnel est un phénomène quantique où une particule peut traverser une barrière de potentiel, même si son énergie cinétique est inférieure à la hauteur de cette barrière. Contrairement à la physique classique où cela serait impossible, la mécanique quantique prédit une probabilité non nulle pour que la particule apparaisse de l'autre côté de la barrière. Cet effet est crucial pour comprendre des phénomènes comme la désintégration alpha, le fonctionnement des diodes tunnel ou des microscopes à effet tunnel.

Comment les puits et barrières de potentiel influencent-ils le comportement des particules ?

Les puits et barrières de potentiel modifient le paysage énergétique dans lequel une particule quantique évolue. Les puits de potentiel peuvent confiner les particules, créant des états liés avec des niveaux d'énergie quantifiés (discrets), comme les électrons dans un atome. Les barrières de potentiel peuvent soit réfléchir la particule, soit, grâce à l'effet tunnel, la laisser passer avec une certaine probabilité. L'étude de ces interactions est essentielle pour concevoir et comprendre des dispositifs à semi-conducteurs ou des nanostructures.