Td mecanique quantique smp4 serie 3 ibn zohr 2019 2020 mécan

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Travaux Dirigés de Mécanique Quantique – SMP4 – Série 3

Exercice 1 : Opérateurs Linéaires et Commutateurs

Soient A, B et C trois opérateurs linéaires.

Montrer que : [A, B + C] = [A, B] + [A, C].
Montrer que : [A, BC] = [A, B]C + B[A, C].
En déduire que : [A, Bⁿ] = ∑_i=0^n-1 Bⁱ [A, B] B^n-1-i, pour n ∈ ℕ*.
Soient F(A) et G(B) deux fonctions des opérateurs linéaires A et B. Montrer que : [A, B] = 0 ⇒ [F(A), G(B)] = 0.
Montrer que si [B, [A, B]] = 0, alors d/dB [A, G(B)] = [A, B] dG(B)/dB.

Corrigé de l'Exercice 1

Soient A, B et C trois opérateurs linéaires.

[A, B+C] = A(B+C) - (B+C)A = AB + AC - BA - CA = [A, B] + [A, C].

Généralisation : [A, ∑_k B_k] = ∑_k [A, B_k].
Montrons que : [A, BC] = [A, B]C + B[A, C].

Développons le second membre de l’égalité :

[A, B]C + B[A, C] = (AB - BA)C + B(AC - CA)

= ABC - BAC + BAC - BCA = ABC - BCA = [A, BC].
Démontrons par récurrence la relation : [A, Bⁿ] = ∑_i=0^n-1 Bⁱ [A, B] B^n-1-i.

On a : [A, BC] = [A, B]C + B[A, C].

Si C = B, alors : [A, B²] = [A, B]B + B[A, B].

Le développement est donc vérifié pour n = 1 (trivial, [A, B] = B⁰[A,B]B⁰) et n = 2.

Supposons qu’il le soit pour n - 1 (n ≥ 2) : [A, B^n-1] = ∑_i=0^n-2 Bⁱ [A, B] B^n-1-i-1.

On a :

[A, Bⁿ] = [A, B^n-1B] = [A, B^n-1]B + B[A, B]

= (∑_i=0^n-2 Bⁱ [A, B] B^n-1-i-1)B + B[A, B]

= ∑_i=0^n-2 Bⁱ [A, B] B^n-i-1 + B[A, B]

= ∑_i=0^n-2 Bⁱ [A, B] B^n-1-i + B[A, B]B⁰

= ∑_i=0^n-1 Bⁱ [A, B] B^n-1-i.
F et G étant des fonctions respectives des opérateurs A et B, alors :

F(A) = ∑_i f_i Aⁱ et G(B) = ∑_j g_j B^j.

Donc : [F(A), G(B)] = [∑_i f_i Aⁱ, ∑_j g_j B^j] = ∑_i,j f_i g_j [Aⁱ, B^j].

Considérons le commutateur [Aⁱ, B^j] :

[Aⁱ, B^j] = ∑_r=0^i-1 A^r [A, B^j] A^i-1-r (en utilisant la relation pour Aⁿ)

= ∑_r=0^i-1 A^r (∑_s=0^j-1 B^s [A, B] B^j-1-s) A^i-1-r.

Si [A, B] = 0, alors tous les termes de la somme intérieure sont nuls, donc [Aⁱ, B^j] = 0. Par la suite, [F(A), G(B)] = 0.

En particulier, pour A = B = F(A), on a : [A, G(A)] = 0 puisque [A, A] = 0.
Montrons que si [B, [A, B]] = 0, alors d/dB [A, G(B)] = [A, B] dG(B)/dB.

On a : [A, G(B)] = [A, ∑_j g_j B^j] = ∑_j g_j [A, B^j].

En utilisant la relation démontrée en 3 : [A, B^j] = ∑_s=0^j-1 B^s [A, B] B^j-1-s.

Le commutateur [A, B] commute avec B, car [B, [A, B]] = 0. Il commute aussi avec B^s qui est une fonction de B.

Donc : [A, B^j] = ∑_s=0^j-1 [A, B] B^s B^j-1-s = ∑_s=0^j-1 [A, B] B^j-1 = j [A, B] B^j-1.

D'où : [A, G(B)] = ∑_j g_j j [A, B] B^j-1 = [A, B] ∑_j g_j j B^j-1.

Or : dG(B)/dB = d/dB (∑_j g_j B^j) = ∑_j g_j j B^j-1.

Par conséquent : [A, G(B)] = [A, B] dG(B)/dB.

Exercice 2 : Opérateurs en Mécanique Quantique

On considère un système physique dont l’espace des états à trois dimensions est rapporté à la base orthonormée {u₁, u₂, u₃}.

Soient L_z et S deux opérateurs définis par :

L_z u₁ = u₁
L_z u₂ = 0
L_z u₃ = -u₃
S u₁ = u₂
S u₂ = u₁
S u₃ = u₃

Écrire les matrices représentant les opérateurs L_z, L_z², S et S² dans la base {u₁, u₂, u₃}.
Ces opérateurs sont-ils des observables ?
Calculer les vecteurs propres et valeurs propres de L_z² et S.
Déterminer une base de l’espace des états formée des vecteurs propres communs à L_z² et S. Ces deux observables forment-elles un E.C.O.C. ?

Corrigé de l'Exercice 2

Les matrices représentant les opérateurs L_z, L_z², S et S² dans la base {u₁, u₂, u₃} sont :

L_z =
1 0 0
0 0 0
0 0 -1

L_z² =
1 0 0
0 0 0
0 0 1

S =
0 1 0
1 0 0
0 0 1

S² = I =
1 0 0
0 1 0
0 0 1

Remarque : Au lieu de calculer directement les 9 éléments de matrice pour chaque opérateur, il est souvent plus simple de calculer l’action de l’opérateur sur chaque élément de la base, puis d'en déduire les éléments de matrice non nuls.
Ces matrices sont symétriques et réelles. Elles sont donc hermitiennes, car pour une matrice réelle, sa transposée est égale à sa transposée conjuguée (A^† = A^T). Comme l'espace est de dimension finie, les opérateurs hermitiens sont diagonalisables et représentent donc des observables.
Vecteurs propres et valeurs propres de L_z² :
- L_z² u₁ = u₁
- L_z² u₂ = 0
- L_z² u₃ = u₃
Donc, les valeurs propres de L_z² sont 1 et 0.
- À la valeur propre 1 sont associés les vecteurs propres u₁ et u₃.
- À la valeur propre 0 est associé le vecteur propre u₂.
Vecteurs propres et valeurs propres de S :

Les valeurs propres de S sont trouvées en résolvant det(S - λI) = 0 :

det
-λ 1 0
1 -λ 0
0 0 1-λ
= 0
Cela donne (-λ)(-λ)(1-λ) - (1)(1)(1-λ) = 0

(λ² - 1)(1-λ) = 0

Les valeurs propres de S sont λ = 1 (deux fois dégénérée) et λ = -1 (non dégénérée).

Les vecteurs propres de S :
- Pour λ = 1 (dégénérescence double) :
  Un vecteur propre est u₃, car S u₃ = u₃.
  
  Un autre vecteur propre est v₁ = (1/√2)(u₁ + u₂).
- Pour λ = -1 (non-dégénéré) :
  Un vecteur propre est v₂ = (1/√2)(u₁ - u₂).
Les vecteurs propres de S formant une base orthonormée sont { (1/√2)(u₁ + u₂), (1/√2)(u₁ - u₂), u₃ }.
Base de l’espace des états formée des vecteurs propres communs à L_z² et S :

i. Les deux observables L_z² et S ne commutent pas :

L_z² S =
0 1 0
0 0 0
0 0 1

S L_z² =
0 0 0
1 0 0
0 0 1

Ainsi, [L_z², S] = L_z² S - S L_z² =
0 1 0
-1 0 0
0 0 0

Puisque [L_z², S] ≠ 0, ces deux observables ne commutent pas. Par conséquent, il n'existe pas de base complète de vecteurs propres communs à L_z² et S, et elles ne forment pas un E.C.O.C.

Cependant, nous pouvons identifier les vecteurs qui sont simultanément vecteurs propres des deux opérateurs :
- Le vecteur u₃ est un vecteur propre de L_z² avec la valeur propre 1, et un vecteur propre de S avec la valeur propre 1. C'est donc un vecteur propre commun.
- Les autres vecteurs propres de S, (1/√2)(u₁ + u₂) et (1/√2)(u₁ - u₂), ne sont pas vecteurs propres de L_z².
- Les autres vecteurs propres de L_z², u₁ et u₂, ne sont pas vecteurs propres de S (sauf u₃ comme mentionné).
Donc, seul u₃ est un vecteur propre commun. Puisqu'il n'y a pas de base complète de vecteurs propres communs, ces observables ne forment pas un E.C.O.C.

Exercice 3 : Détermination des Valeurs et Vecteurs Propres

(Facultatif, à traiter chez soi)

Soit l’espace des états à deux dimensions rapporté à la base orthonormée {u₁, u₂}. Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres des opérateurs suivants :

A =
1 2
0 1

B =
0 1
2 1

C =
1 -1
1 0

D =
0 i
-i 0

Exercice 4 : Exercices Complémentaires

(Facultatif, à traiter chez soi)

Traiter les exercices 8 et 9 d'un ouvrage de référence en mécanique quantique.

Questions Fréquemment Posées (FAQ)

Qu'est-ce qu'un commutateur d'opérateurs en mécanique quantique ?

Un commutateur de deux opérateurs A et B, noté [A, B], est défini par [A, B] = AB - BA. Il mesure la non-commutativité de deux opérateurs. Si [A, B] = 0, les opérateurs commutent, ce qui signifie que l'ordre dans lequel ils sont appliqués n'affecte pas le résultat, et ils peuvent être mesurés simultanément avec une précision arbitraire.

Quand dit-on qu'un opérateur est une observable en mécanique quantique ?

En mécanique quantique, une observable est un opérateur hermitien (ou auto-adjoint). Les opérateurs hermitiens ont des valeurs propres réelles (correspondant aux résultats de mesure possibles) et leurs vecteurs propres forment une base complète et orthonormée de l'espace des états. Ces propriétés garantissent que les mesures physiques donnent des résultats réels et que tout état peut être décomposé en termes de ces résultats.

Qu'est-ce qu'un Ensemble Complet d'Observables qui Commutent (E.C.O.C.) ?

Un E.C.O.C. est un ensemble d'opérateurs (observables) qui commutent tous deux à deux et pour lesquels il n'est pas possible d'ajouter un autre opérateur qui commute avec tous les membres de l'ensemble sans que ce nouvel opérateur ne soit une fonction des opérateurs déjà présents. L'existence d'un E.C.O.C. garantit qu'il existe une base unique de vecteurs propres communs à tous les opérateurs de l'ensemble, chacun étant caractérisé par un ensemble unique de valeurs propres. Cela permet de définir un état quantique de manière non ambiguë en spécifiant les valeurs de toutes les observables de l'E.C.O.C.