Travaux dirigés série n°6 corrigés -Mécanique quantique - Té
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Cette série d'exercices aborde des concepts fondamentaux en mécanique quantique, tels que les opérateurs hermitiens, les valeurs propres de l'Hamiltonien et les commutateurs. Elle vise à renforcer la compréhension des propriétés essentielles des opérateurs et de leur rôle dans la description des systèmes physiques.
Exercice n° 1 : Opérateurs Adjoints et Hermitiens
Définition du Produit Scalaire
Sur l'espace vectoriel des fonctions de carré intégrable, à valeurs complexes f(x) de la variable réelle x, le produit scalaire est défini par :
<f|g> = ∫_{-∞}^{+∞} f*(x)g(x)dx
1. Opérateur Adjoint de X et Hermiticité
L'opérateur X est défini par Xf = xf.
Pour trouver l'opérateur adjoint X⁺ de X, nous utilisons la définition : <Xf|g> = <f|X⁺g>.
<Xf|g> = ∫_{-∞}^{+∞} (xf(x))* g(x) dx = ∫_{-∞}^{+∞} x f*(x) g(x) dx
Comme x est une variable réelle, x* = x. Donc :
<Xf|g> = ∫_{-∞}^{+∞} f*(x) (xg(x)) dx = <f|Xg>
En comparant <Xf|g> = <f|Xg> avec <Xf|g> = <f|X⁺g>, nous en déduisons que X⁺ = X.
Puisque l'opérateur est égal à son adjoint, l'opérateur X est hermitien (ou auto-adjoint).
2. Opérateur Adjoint de d/dx
Pour l'opérateur de dérivation d/dx, nous cherchons (d/dx)⁺ tel que <(d/dx)f|g> = <f|(d/dx)⁺g>.
<(d/dx)f|g> = ∫_{-∞}^{+∞} (df/dx)*(x) g(x) dx
En utilisant l'intégration par parties (∫ u dv = [uv] - ∫ v du), avec u = g(x) et dv = (df/dx)*(x) dx (donc du = (dg/dx)(x) dx et v = f*(x)) :
∫_{-∞}^{+∞} (df*/dx)(x) g(x) dx = [f*(x)g(x)]_{-∞}^{+∞} - ∫_{-∞}^{+∞} f*(x) (dg/dx)(x) dx
Les fonctions f(x) et g(x) étant de carré intégrable, elles s'annulent à l'infini. Le terme de borne [f*(x)g(x)]_{-∞}^{+∞} est donc nul.
<(d/dx)f|g> = -∫_{-∞}^{+∞} f*(x) (dg/dx)(x) dx = <f|-(d/dx)g>
Ainsi, l'opérateur adjoint de d/dx est (d/dx)⁺ = -d/dx.
3. Hermiticité de l'opérateur i(d/dx)
Pour vérifier si l'opérateur i(d/dx) est hermitien, nous devons calculer son adjoint : (i d/dx)⁺.
On utilise la propriété (cA)⁺ = c*A⁺ pour une constante c et un opérateur A. Ici, c = i, donc c* = -i.
(i d/dx)⁺ = i* (d/dx)⁺ = (-i) (-d/dx) = i d/dx
Puisque (i d/dx)⁺ = i d/dx, l'opérateur i(d/dx) est hermitien.
Exercice n° 2 : Hamiltonien et Énergies d'un Système
Description du Système
On considère un système physique dans un espace à trois dimensions. Son Hamiltonien est représenté, dans une base orthonormée {|1⟩, |2⟩, |3⟩}, par la matrice :
H = ħω [[2, 1, 0], [1, 2, 0], [0, 0, 3]]
1. Hermiticité de l'Hamiltonien H
Un opérateur est hermitien si H⁺ = H. Pour une matrice dont les éléments sont réels, cela signifie que la matrice doit être symétrique (c'est-à-dire que Hᵢⱼ = Hⱼᵢ pour tous i, j).
En observant la matrice H :
- Les éléments de la diagonale sont
H₁₁ = 2ħω,H₂₂ = 2ħω,H₃₃ = 3ħω. - Les éléments hors diagonale sont
H₁₂ = H₂₁ = 1ħω,H₁₃ = H₃₁ = 0,H₂₃ = H₃₂ = 0.
Tous les coefficients sont réels et la matrice est symétrique par rapport à sa diagonale principale. Par conséquent, H⁺ = H.
L'Hamiltonien H est donc hermitien.
2. Valeurs Possibles de l'Énergie
Les valeurs possibles de l'énergie du système sont les valeurs propres de l'Hamiltonien H. Pour les trouver, nous résolvons l'équation caractéristique det(H - λI) = 0, où λ représente les valeurs propres.
Soit H' = H/ħω = [[2, 1, 0], [1, 2, 0], [0, 0, 3]]. Nous cherchons les valeurs propres λ' de H'.
det(H' - λ'I) = det([[2-λ', 1, 0], [1, 2-λ', 0], [0, 0, 3-λ']]) = 0
Le déterminant est calculé le long de la troisième colonne :
(3 - λ') * det([[2-λ', 1], [1, 2-λ']]) = 0
(3 - λ') * ((2-λ')² - 1) = 0
(3 - λ') * ( (2-λ' - 1)(2-λ' + 1) ) = 0
(3 - λ') * (1 - λ') * (3 - λ') = 0
(3 - λ')² (1 - λ') = 0
Les valeurs propres de H' sont λ'₁ = 1 et λ'₂ = λ'₃ = 3 (valeur propre double).
Les énergies possibles du système sont donc :
E₁ = ħω * 1 = ħωE₂ = ħω * 3 = 3ħωE₃ = ħω * 3 = 3ħω
3. Calcul des Valeurs Moyennes et de l'Incertitude
La particule se trouve dans l'état |ψ⟩, représentée dans cette base par :
|ψ⟩ = (1/√3) * [-i, i, 1]^T
Le vecteur bra associé est ⟨ψ| = (1/√3) * [i, -i, 1].
Calcul de ⟨H⟩
La valeur moyenne de l'énergie est ⟨H⟩ = ⟨ψ|H|ψ⟩.
D'abord, calculons H|ψ⟩ :
H|ψ⟩ = ħω * [[2, 1, 0], [1, 2, 0], [0, 0, 3]] * (1/√3) * [-i, i, 1]^T
H|ψ⟩ = (ħω/√3) * [ (2)(-i) + (1)(i) + (0)(1) , (1)(-i) + (2)(i) + (0)(1) , (0)(-i) + (0)(i) + (3)(1) ]^T
H|ψ⟩ = (ħω/√3) * [-2i + i, -i + 2i, 3]^T = (ħω/√3) * [-i, i, 3]^T
Maintenant, calculons ⟨H⟩ :
⟨H⟩ = (1/√3) * [i, -i, 1] * (ħω/√3) * [-i, i, 3]^T
⟨H⟩ = (ħω/3) * [ (i)(-i) + (-i)(i) + (1)(3) ]
⟨H⟩ = (ħω/3) * [ 1 + 1 + 3 ] = (ħω/3) * 5 = 5ħω/3
Calcul de ⟨H²⟩
La valeur moyenne de H² est ⟨H²⟩ = ⟨ψ|H²|ψ⟩.
D'abord, calculons H² :
H² = H * H = (ħω)² * [[2, 1, 0], [1, 2, 0], [0, 0, 3]] * [[2, 1, 0], [1, 2, 0], [0, 0, 3]]
H² = (ħω)² * [[(2*2+1*1), (2*1+1*2), (0)], [(1*2+2*1), (1*1+2*2), (0)], [(0), (0), (3*3)]]
H² = (ħω)² * [[5, 4, 0], [4, 5, 0], [0, 0, 9]]
Maintenant, calculons H²|ψ⟩ :
H²|ψ⟩ = (ħω)² * [[5, 4, 0], [4, 5, 0], [0, 0, 9]] * (1/√3) * [-i, i, 1]^T
H²|ψ⟩ = ((ħω)²/√3) * [ (5)(-i) + (4)(i) + (0)(1) , (4)(-i) + (5)(i) + (0)(1) , (0)(-i) + (0)(i) + (9)(1) ]^T
H²|ψ⟩ = ((ħω)²/√3) * [-5i + 4i, -4i + 5i, 9]^T = ((ħω)²/√3) * [-i, i, 9]^T
Enfin, calculons ⟨H²⟩ :
⟨H²⟩ = (1/√3) * [i, -i, 1] * ((ħω)²/√3) * [-i, i, 9]^T
⟨H²⟩ = ((ħω)²/3) * [ (i)(-i) + (-i)(i) + (1)(9) ]
⟨H²⟩ = ((ħω)²/3) * [ 1 + 1 + 9 ] = ((ħω)²/3) * 11 = 11ħω²/3
Calcul de l'incertitude ΔH
L'incertitude ΔH est donnée par ΔH = √⟨H²⟩ - ⟨H⟩².
ΔH = √(11ħω²/3 - (5ħω/3)²)
ΔH = √(11ħω²/3 - 25ħω²/9)
ΔH = √( (33ħω² - 25ħω²)/9 )
ΔH = √(8ħω²/9) = (ħω/3)√8 = (ħω/3) * 2√2 = (2√2/3)ħω
Exercice n° 3 : Commutateurs et Vecteurs Propres
Définition du Problème
Soit un opérateur linéaire A ayant un vecteur propre |ψ⟩ avec la valeur propre a, ce qui signifie A|ψ⟩ = a|ψ⟩.
Soit un deuxième opérateur linéaire B tel que le commutateur [A, B] = B + 2BA².
1. Démontrer que B|ψ⟩ est un vecteur propre de A
Nous partons de la définition du commutateur appliqué à l'état |ψ⟩ :
[A, B]|ψ⟩ = (AB - BA)|ψ⟩
En utilisant la relation donnée pour le commutateur :
(AB - BA)|ψ⟩ = (B + 2BA²)|ψ⟩
Développons le côté gauche :
AB|ψ⟩ - BA|ψ⟩
Nous savons que A|ψ⟩ = a|ψ⟩. Donc A²|ψ⟩ = A(A|ψ⟩) = A(a|ψ⟩) = a(A|ψ⟩) = a(a|ψ⟩) = a²|ψ⟩.
Substituons ces informations dans l'équation :
AB|ψ⟩ - B(A|ψ⟩) = B|ψ⟩ + 2B(A²|ψ⟩)
AB|ψ⟩ - B(a|ψ⟩) = B|ψ⟩ + 2B(a²|ψ⟩)
AB|ψ⟩ - aB|ψ⟩ = B|ψ⟩ + 2a²B|ψ⟩
Regroupons les termes impliquant B|ψ⟩ :
AB|ψ⟩ = aB|ψ⟩ + B|ψ⟩ + 2a²B|ψ⟩
AB|ψ⟩ = (a + 1 + 2a²)B|ψ⟩
Puisque (a + 1 + 2a²) est une constante (une valeur scalaire), cette équation montre que lorsque l'opérateur A agit sur l'état B|ψ⟩, il retourne B|ψ⟩ multiplié par une constante. Par conséquent, B|ψ⟩ est un vecteur propre de A.
2. Déterminer la valeur propre associée
D'après l'équation finale de la démonstration précédente :
A(B|ψ⟩) = (2a² + a + 1)(B|ψ⟩)
La valeur propre associée au vecteur propre B|ψ⟩ est donc λ = 2a² + a + 1.
FAQ : Concepts Clés en Mécanique Quantique
Qu'est-ce qu'un opérateur hermitien et pourquoi est-il important en mécanique quantique ?
Un opérateur hermitien (ou auto-adjoint) est un opérateur qui est égal à son propre adjoint (A⁺ = A). En mécanique quantique, les opérateurs hermitiens sont cruciaux car ils représentent les observables physiques (telles que l'énergie, la position, la quantité de mouvement). Les valeurs propres des opérateurs hermitiens sont toujours réelles, ce qui correspond aux valeurs mesurables dans le monde réel.
Comment calculer l'opérateur adjoint d'un opérateur ?
L'opérateur adjoint A⁺ d'un opérateur A est défini par la relation <Af|g> = <f|A⁺g> pour toutes fonctions f et g de l'espace vectoriel pertinent. Le calcul implique souvent l'intégration par parties et la gestion des conditions aux limites, comme démontré dans l'Exercice 1 pour les opérateurs X et d/dx.
Que représentent les valeurs propres d'un Hamiltonien ?
L'Hamiltonien H est l'opérateur qui représente l'énergie totale d'un système quantique. Ses valeurs propres, notées E (pour énergie), correspondent aux énergies possibles que le système peut prendre. Lorsque le système est dans un état stationnaire, son énergie est précisément l'une de ces valeurs propres.