Ce document regroupe le sujet et les éléments de correction d'un examen d'analyse numérique, destiné aux étudiants de deuxième année en cycle universitaire scientifique. Il constitue un support d'apprentissage essentiel pour maîtriser la résolution numérique de problèmes mathématiques complexes.
Le document couvre les thématiques suivantes :
- L'algorithme du point fixe et ses critères de convergence.
- La décomposition matricielle de Cholesky pour les systèmes linéaires.
- Les méthodes itératives de Jacobi et de Gauss-Seidel.
Analyse Numérique : Résolution d'Équations et de Systèmes Linéaires
Ce cours aborde des concepts fondamentaux de l'analyse numérique, notamment la recherche de racines par la méthode du point fixe, la factorisation de matrices pour la résolution de systèmes linéaires et les méthodes itératives de Jacobi et Gauss-Seidel.
Exercice 1 : Étude de la méthode du point fixe
L'objectif est de calculer le zéro r = 1 de la fonction f(x) = x³ + 7x² + 7x - 15. Pour cela, on utilise l'algorithme suivant : xₙ₊₁ = xₙ³ + 7xₙ² + (7 + w)xₙ - 15w, où w est un paramètre réel strictement négatif.
1. Détermination du paramètre w :
Pour que le zéro r soit un point fixe de la méthode, il faut que g(r) = r. En posant g(x) = x³ + 7x² + (7 + w)x - 15w et en remplaçant x par 1, on trouve la valeur de w nécessaire pour valider la définition du point fixe. D'après les calculs, le point fixe est vérifié si w = -1/14 (ou une valeur approchée selon le contexte du problème).
2. Convergence de la méthode :
La méthode converge si la valeur absolue de la dérivée de la fonction d'itération au point fixe est inférieure à 1 : |g'(r)| < 1. En dérivant g(x) et en évaluant en r = 1, on obtient une condition sur le paramètre w. La convergence est assurée pour -25 < w < -23.
3. Vitesse et ordre de convergence :
La convergence est la plus rapide lorsque g'(r) = 0. Dans ce cas particulier, l'ordre de convergence devient au moins 2 (convergence quadratique). Cela se produit pour la valeur w = -24.
Exercice 2 : Décomposition de Cholesky (LLᵀ)
La factorisation LLᵀ est un cas particulier de la décomposition LU s'appliquant aux matrices symétriques définies positives.
1. Avantages de la méthode :
Contrairement à la méthode de Crout ou LU classique, la décomposition de Cholesky nécessite deux fois moins d'opérations et réduit l'espace de stockage, car elle ne génère qu'une seule matrice triangulaire inférieure L.
2. Résolution du système :
Soit le système :
- 9x + 3y + 3z = 15
- 3x + 5y + z = 9
- 3x + y + 5z = 9
L =
[ 3 0 0 ]
[ 1 2 0 ]
[ 1 0 2 ] En résolvant successivement Ly = b puis LᵀX = y, on obtient la solution : X = (1, 1, 1)ᵀ.
Exercice 3 : Méthodes itératives de Jacobi et Gauss-Seidel
Soit un système linéaire dont la matrice dépend d'un paramètre a. On étudie la convergence des méthodes itératives.
1. Itérations de Gauss-Seidel :
Pour a = 1/2 et une approximation initiale X⁽⁰⁾ = (0, 0, 0)ᵀ, les premières itérations donnent :
- X⁽¹⁾ = (1 ; 1,5 ; 1,75)ᵀ
- X⁽²⁾ = (1,75 ; 2,75 ; 2,375)ᵀ
- X⁽³⁾ = (2,375 ; 3,375 ; 2,6875)ᵀ
2. Condition de convergence :
La convergence de Gauss-Seidel est garantie si la matrice est à diagonale strictement dominante. Cela est vérifié pour |a| < 1/2.
3. Comparaison avec Jacobi :
Pour a = 1/2, le rayon spectral de la matrice d'itération de Jacobi est ρ(Tⱼ) = √2/2. Comme √2/2 < 1, la méthode de Jacobi converge. Puisque la matrice est tridiagonale, la convergence de Jacobi implique celle de Gauss-Seidel, cette dernière étant généralement plus rapide.
Foire Aux Questions (FAQ)
1. Quelle est la condition principale pour qu'une méthode de point fixe converge ?
La condition suffisante est que la fonction d'itération soit contractante sur un intervalle donné, ce qui se traduit souvent par le fait que la valeur absolue de sa dérivée soit strictement inférieure à 1 au voisinage du point fixe.
2. Pourquoi la décomposition de Cholesky est-elle préférée à la méthode LU ?
Elle est privilégiée pour les matrices symétriques définies positives car elle est deux fois plus rapide en termes de calcul et plus stable numériquement.
3. Comment savoir si Gauss-Seidel convergera plus vite que Jacobi ?
Pour de nombreuses classes de matrices (comme les matrices tridiagonales), si les deux méthodes convergent, Gauss-Seidel converge généralement deux fois plus vite que Jacobi, car elle utilise les valeurs déjà mises à jour au sein de la même itération.