Ce document présente un devoir surveillé d'analyse numérique destiné aux étudiants de deuxième année de l'École Préparatoire en Sciences et Techniques d'Oran. Il propose des exercices pratiques visant à évaluer la compréhension des méthodes de calcul numérique fondamentales.
Le document couvre les thématiques suivantes :
- L'interpolation polynomiale via les méthodes de Vandermonde, Newton et Lagrange ;
- L'intégration numérique à l'aide des formules de Simpson, des trapèzes et de Gauss ;
- L'estimation d'erreurs et l'application rigoureuse des théorèmes mathématiques.
Analyse Numérique : Devoir Surveillé - École Préparatoire en Sciences et Techniques d'Oran
Ce document présente des exercices pratiques portant sur l'interpolation polynomiale et les méthodes d'intégration numérique, tels qu'enseignés en deuxième année de sciences et techniques.
Note importante : À chaque utilisation d'un théorème ou d'un autre résultat du cours, rappelez soigneusement et vérifiez les hypothèses sous lesquelles il peut s'appliquer.
Exercice 1 : Interpolation polynomiale (7 pts)
Le but de cet exercice est de trouver le polynôme interpolant les quatre points suivants :
(x0 = 1 ; y0 = 10) ; (x1 = 2 ; y1 = 26) ; (x2 = 3 ; y2 = 58) ; (x3 = 4 ; y3 = 112).
Ce polynôme s'écrit : P3(x) = a0 + a1x + a2x² + a3x³.
Il s'agit de trouver le vecteur a = (a0, a1, a2, a3)t.
1. Formulation matricielle
Donnez la formulation matricielle du problème d'interpolation (P(xi) = yi ; i = 0, ..., 3) sous la forme Va = y, où V est la matrice de Vandermonde du problème d'interpolation.
2. Polynôme de Newton
On considère maintenant la formulation suivante du polynôme :
Q(x) = c0 + c1(x - x0) + c2(x - x0)(x - x1) + c3(x - x0)(x - x1)(x - x2).
Calculez les coefficients c0, c1, c2, c3 pour que le polynôme Q(x) (encore appelé polynôme de Newton) soit interpolant : Q(xi) = yi ; i = 0, ..., 3.
3. Suite de polynômes et résolution
On considère la suite de polynômes R4(x) = c3 et Rk(x) = ck-1 + (x - xk-1)Rk+1(x) pour k allant de 3 à 1.
a) Si l'on représente les polynômes Rk(x) à l'aide de coefficients bk,i, calculez les polynômes R4, R3, R2 et R1 avec les données du problème.
b) Montrez que R1(x) = Q(x). Puisque Q(x) = P(x), résolvez l'équation matricielle par une méthode directe.
Exercice 2 : Application à la conductivité thermique (3 pts)
Le tableau suivant présente la conductivité thermique de la vapeur d'acétone en fonction de la température :
T (°F) : 32 | 115 | 212 | 363
k (Btu/hr ft °F) : 0,0057 | 0,0074 | 0,0099 | 0,0147
Questions :
(a) Estimer la conductivité thermique de l'acétone à 300 °F en utilisant le polynôme de Lagrange de degré 2 passant par les 3 derniers points du tableau.
(b) Estimer la température en °F qui correspond à la conductivité thermique k = 0,008 Btu/hr ft °F en utilisant un polynôme de Lagrange de degré 2 passant par les 3 premiers points du tableau.
Exercice 3 : Intégrations numériques et calcul d'erreur (4 pts)
On pose a = 0, b = 1 et f(x) = x⁵ - 3x² + x - 1.
Questions :
a) Estimer l'erreur commise en calculant l'intégrale de f(x) entre a et b par la formule de Simpson composée avec un pas h = 1/4.
b) Combien de nœuds d'intégration faudrait-il utiliser pour réduire l'erreur commise précédemment d'un facteur au moins 10 ?
Exercice 4 : Méthodes des Trapèzes et de Gauss (6 pts)
Calculer, en posant h = 0,5, l'intégrale de la fonction √(2 + x) sur l'intervalle [-1, 1] selon les méthodes suivantes :
1. Selon la formule des trapèzes.
2. Selon la formule de Gauss.
3. Estimer et comparer les résultats obtenus (effectuez les calculs avec 5 décimales exactes).
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'une matrice de Vandermonde ?
Dans le contexte de l'interpolation, la matrice de Vandermonde est une matrice dont les termes sont les puissances successives des points d'évaluation (xi). Elle permet de transformer le problème de recherche des coefficients d'un polynôme en un système d'équations linéaires.
Pourquoi utiliser la forme de Newton pour l'interpolation ?
La forme de Newton, utilisant les différences divisées, est plus flexible que la forme standard. Elle permet d'ajouter facilement de nouveaux points de données sans avoir à recalculer l'intégralité du polynôme, contrairement à la méthode de Lagrange.
Quelle est la précision de la méthode de Simpson ?
La méthode de Simpson est généralement plus précise que la méthode des trapèzes. Pour une fonction suffisamment régulière, l'erreur de la méthode de Simpson est proportionnelle à la quatrième puissance du pas (h⁴), ce qui la rend exacte pour les polynômes de degré allant jusqu'à 3.