Ce document constitue un examen de rattrapage en Mathématiques VI (Analyse Numérique) destiné aux étudiants universitaires de 2ème Année Sciences Techniques. Il vise à évaluer leur maîtrise des concepts fondamentaux et des techniques de résolution numérique.
Il couvre les notions suivantes :
- La recherche de racines de fonctions via les méthodes de Newton et de dichotomie.
- Le calcul de déterminants, de valeurs propres et le polynôme caractéristique.
- L'analyse de la convergence des méthodes itératives (Jacobi, Gauss-Seidel).
- La décomposition LU et l'inversion de matrices.
Examen de Rattrapage : Mathématiques VI (Analyse Numérique)
Faculté de la Technologie
Année Universitaire : 2008/2009
Département : 2
Niveau : 2ème Année Sciences Techniques (ST2)
Enseignant : Mr MEZIANI
Exercice 1 : Racines de polynômes et Valeurs Propres
Soit la fonction $f(x) = x^4 - 23x^3 + 172x^2 - 487x + 291$, où $x \in \mathbb{R}$.
L'équation $f(x) = 0$ admet 4 racines distinctes et strictement positives. Les trois premières racines sont :
$\alpha_1 = 0.0160380$
$\alpha_2 = 3.453845$
$\alpha_3 = 12.446120$
1. Calcul de la 4ème racine : Utiliser la méthode de Newton, avec une précision $\epsilon = 10^{-6}$ et une valeur initiale $x_0 = 25$.
Note éducative : La méthode de Newton est une technique itérative puissante pour trouver les zéros d'une fonction dérivable. Elle utilise la formule : $x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$.
Corrigé partiel :
$x_1 = 26.144874$
$x_2 = 26.312006$
$x_3 = 26.304709$
$x_4 = 26.304703$
La quatrième racine est donc $\alpha_4 \approx 26.304703$.
2. Déterminant et Valeurs Propres : Soit la matrice A :
A =
[ 1 1 1 1 ]
[ 3 6 10 11 ]
[ 4 10 20 31 ]
[ 1 3 6 10 ]
Calculer le déterminant de $(A - \lambda I)$ où $I$ est la matrice unitaire. En déduire les valeurs propres de A.
Explication : Les valeurs propres d'une matrice sont les racines de son polynôme caractéristique, défini par $Det(A - \lambda I) = 0$. Dans cet exercice, le polynôme obtenu est identique à $f(x)$.
Exercice 2 : Localisation de racines et Méthode de la Dichotomie
On considère la fonction $f(x) = \frac{1}{\cosh(x)\cos(x)} - 1$. L'équation $f(x) = 0$ admet 0 comme racine.
1. Localisation : $f(x) = 0$ admet deux racines strictement positives dans l'intervalle [1, 10]. Localiser ces deux racines dans deux intervalles $I_1 = [\alpha_1, \alpha_2]$ et $I_2 = [\beta_1, \beta_2]$ tels que les bornes soient des entiers consécutifs.
D'après l'étude de la fonction, la première racine se situe dans $I_1 = [4, 5]$ et la deuxième dans $I_2 = [7, 8]$.
2. Méthode de Dichotomie : Calculer la première racine avec une précision de $10^{-2}$.
Rappel : La méthode de dichotomie (ou bissection) consiste à diviser l'intervalle en deux de façon répétée jusqu'à ce que l'intervalle soit inférieur à la précision souhaitée. Elle est très robuste mais converge plus lentement que la méthode de Newton.
Après 10 itérations, on obtient une valeur approchée de la racine $x \approx 4.729980$.
Exercice 3 : Convergence des méthodes itératives (Jacobi et Gauss-Seidel)
Soit la matrice A dépendant d'un paramètre $\alpha$ :
A =
[ 2 \alpha 0 ]
[ \alpha 2 \alpha ]
[ 0 \alpha 2 ]
1. Méthode de Jacobi : Écrire la matrice de transition $J$ et déterminer pour quelles valeurs de $\alpha$ la méthode converge.
2. Méthode de Gauss-Seidel : Écrire la matrice de transition $G$ et déterminer les conditions de convergence.
Clarification : Une méthode itérative converge si et seulement si le rayon spectral (la plus grande valeur propre en valeur absolue) de sa matrice de transition est strictement inférieur à 1 : $\rho(M) < 1$.
Résultat : Pour les deux méthodes, la condition de convergence est $|\alpha| < \sqrt{2}$.
Exercice 4 : Décomposition LU et Inversion de Matrice
On considère le système linéaire $Ax = b$ avec :
A =
[ 1 2 3 ]
[ 2 5 15 ]
[ 3 15 42 ]
1. Décomposition LU : Trouver les matrices L (triangulaire inférieure avec des 1 sur la diagonale) et U (triangulaire supérieure) telles que $A = LU$.
2. Résolution : Résoudre le système pour un vecteur $b = [\alpha, \beta, \gamma]^T$.
3. Inverse : En déduire la matrice inverse $A^{-1}$.
Note : La décomposition LU est extrêmement utile en ingénierie pour résoudre des systèmes d'équations multiples avec la même matrice A mais des vecteurs $b$ différents, ainsi que pour calculer l'inverse d'une matrice.
FAQ - Foire Aux Questions
1. Quelle est la différence entre la méthode de Newton et la dichotomie ?
La méthode de Newton est beaucoup plus rapide (convergence quadratique) mais nécessite de connaître la dérivée de la fonction et une bonne valeur initiale. La dichotomie est plus lente mais garantit la convergence si la fonction change de signe sur l'intervalle.
2. Pourquoi la condition $\rho(M) < 1$ est-elle importante ?
Le rayon spectral $\rho(M)$ détermine si l'erreur entre l'approximation et la solution réelle diminue à chaque itération. Si $\rho(M) \geq 1$, l'erreur peut stagner ou augmenter, et la méthode ne donnera jamais le bon résultat.
3. À quoi sert la décomposition LU dans la pratique ?
Elle permet de transformer un système complexe en deux systèmes triangulaires (Ly = b puis Ux = y) beaucoup plus simples et rapides à résoudre par substitution.