Ce document, conçu comme un ensemble d'exercices dirigés (TD n°02), est destiné aux étudiants de deuxième année en Sciences et Techniques suivant le cours de Méthodes Numériques (MATH06) à l'Université de Ghardaïa. Il a pour objectif de consolider les connaissances sur la résolution des équations non-linéaires.
Il aborde, à travers une série d'exercices pratiques, les principales méthodes numériques de recherche de racines, notamment :
- La méthode de la Bissection
- La méthode de Newton
- La méthode de la Sécante
- L'étude de la convergence et des variations de fonctions.
Université de Ghardaïa - Faculté des Sciences et Technologie
Département des Sciences et Techniques
MATH06 : Méthodes Numériques
Ce document présente une série d'exercices de Travaux Dirigés (TD) sur les méthodes numériques appliquées à la résolution d'équations non-linéaires, destinées aux étudiants de 2ème année Sciences et Techniques.
TD – 02 : Équations non-linéaires
Exercice – 1 : Méthode de la Bissection
Effectuer trois itérations de la méthode de la Bissection pour calculer la racine de l'équation f(x)=0 sur les intervalles indiqués pour les fonctions suivantes. Déterminer le nombre d'itérations nécessaires pour obtenir une solution dont le chiffre des millièmes est significatif.
f(x) = 1 − x ⋅ ex dans l’intervalle [0, 1].
f(x) = x² sin(x) − 2 dans l’intervalle [0, 2].
f(x) = x⁵ − x − 1 dans l’intervalle [0.9, 1.2].
f(x) = (x − 1)² − (1/2)ex dans l’intervalle [0, 1/2].
Exercice – 2 : Méthode de Newton
Trouver aux dix millièmes près la racine de chacune des équations suivantes avec la méthode de Newton, en partant du point x₀ donné.
f(x) = x(1 + ex) − ex avec x₀ = 0.
f(x) = x⁵ − x − 1 avec x₀ = 0.9.
f(x) = (x − 1)² − (1/2)ex avec x₀ = −2.
Exercice – 3 : Méthode de la Sécante
Trouver à la troisième décimale près la racine de chacune des équations suivantes avec la méthode de la Sécante, en partant des deux points x₀ et x₁ donnés initialement.
f(x) = e−√x − 2 + x² avec x₀ = 5 et x₁ = 2.
f(x) = x − cos(x) avec x₀ = −1 et x₁ = 0.
f(x) = 2ln(x) − 1/x avec x₀ = 0.3 et x₁ = 0.6.
Exercice – 4
Soit la fonction f(x) = x³ − 2x − 2 définie sur ℝ.
Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une racine unique dans l'intervalle [1, 2].
Donner une suite de Newton qui converge vers cette racine.
Calculer cette racine à la quatrième décimale près.
Exercice – 5
Soit la fonction f(x) = x³ − √(2x − 1) définie sur ℝ⁺.
Étudier les variations de la fonction f(x).
Déduire que l'équation f(x) = 0 admet une racine unique. Donner une suite de Newton qui converge vers cette racine.
Faire le calcul au millième près.
Exercice – 6
Soit la fonction f(x) = 4x − ex définie sur ℝ.
Étudier les variations de la fonction f(x).
Déduire le nombre des racines de l'équation f(x) = 0 et les séparer.
Donner une suite de Newton en démontrant qu'elle converge pour calculer la racine de plus grande valeur. Faire le calcul au millième près.
Exercice – 7
Soit la fonction f(x) = e1.5x + e−x + α définie sur ℝ.
Étudier les variations de la fonction f(x).
Déduire la condition que doit satisfaire α pour que l'équation f(x) = 0 admette une solution.
En prenant α = −10, calculer la racine de plus grande valeur avec la méthode de Newton aux millièmes près.
Exercice – 8
Soit la fonction f(x) = x ln(x) − 3.
Étudier les variations de la fonction f(x).
Calculer la racine de l'équation f(x) = 0 avec la méthode de Newton à la troisième décimale près.
Exercice – 9
Soit la fonction f(x) = 2√x − cos(π/2 ⋅ x) définie sur l'intervalle [0, 1/2].
Démontrer que l'équation f(x) = 0 admet une racine unique dans l'intervalle donné.
Calculer la racine de f(x) = 0 avec la méthode de la Sécante à la troisième décimale près.
FAQ - Questions Fréquentes sur les Méthodes Numériques
Ces exercices abordent des concepts fondamentaux en analyse numérique. Voici quelques éclaircissements pour une meilleure compréhension.
Qu'est-ce qu'une équation non-linéaire ?
Une équation non-linéaire est une équation dans laquelle la variable inconnue apparaît sous une forme qui n'est pas linéaire, c'est-à-dire qu'elle peut être élevée à une puissance (x², x³), incluse dans des fonctions transcendantes (sin(x), eˣ, ln(x)), ou multipliée par elle-même ou d'autres variables. Contrairement aux équations linéaires (ax + b = 0), elles n'ont souvent pas de solution analytique simple et nécessitent des méthodes numériques pour approximer leurs racines.
Quelle est la différence entre la méthode de la Bissection, de Newton et de la Sécante ?
Méthode de la Bissection : C'est une méthode de type recherche par intervalle qui fonctionne en divisant répétitivement un intervalle en deux sous-intervalles et en sélectionnant celui où la racine doit se trouver. Elle est robuste et garantit la convergence si la fonction est continue et change de signe sur l'intervalle initial, mais sa convergence est relativement lente.
Méthode de Newton (ou Newton-Raphson) : C'est une méthode itérative ouverte qui utilise la tangente à la courbe de la fonction en un point pour trouver une meilleure approximation de la racine. Elle requiert le calcul de la dérivée de la fonction et peut converger très rapidement si le point initial est proche de la racine, mais elle n'est pas toujours garantie de converger.
Méthode de la Sécante : Similaire à la méthode de Newton, mais elle approxime la dérivée par la pente de la droite sécante passant par deux points récents. Cela évite d'avoir à calculer explicitement la dérivée. Elle est souvent plus rapide que la bissection et plus stable que Newton si la dérivée est difficile à obtenir ou à évaluer, mais elle nécessite deux points initiaux.
Pourquoi utiliser des méthodes numériques pour résoudre ces équations ?
De nombreuses équations en sciences et en ingénierie, surtout celles impliquant des fonctions complexes (exponentielles, trigonométriques, logarithmiques, polynomiales de haut degré), n'ont pas de solutions exactes qui peuvent être exprimées sous forme fermée. Les méthodes numériques permettent d'obtenir des approximations des racines avec une précision arbitrairement élevée, ce qui est essentiel pour la modélisation, la simulation et la résolution de problèmes pratiques où une solution exacte n'est pas disponible ou trop complexe à trouver.