Ce document pédagogique est destiné aux étudiants du cycle préparatoire du département MI. Il regroupe l'énoncé et le corrigé détaillé du premier contrôle continu du module d'Analyse Numérique de l'Université d'Annaba. Ce support constitue un outil de révision essentiel pour maîtriser la résolution numérique d'équations.
Le contenu traite plus particulièrement des notions suivantes :
- Les conditions de convergence de la méthode de Newton ;
- L'étude des fonctions Lipschitziennes et des points fixes ;
- Le calcul itératif pour l'approximation de racines réelles.
Exercice 1 : Étude de la méthode de Newton
Considérons l’équation : f(x) = e^x - cos(x) - 2 = 0, pour x dans l'intervalle [0, 1].
1. Existence et unicité de la racine
Montrer que cette équation admet une solution (racine) unique dans l’intervalle [0, 1].
La fonction f est continue sur [0, 1]. On vérifie que :
- f(0) = -2
- f(1) ≈ 0,178
- f(0) × f(1) < 0
De plus, f'(x) = e^x + sin(x). Pour tout x dans [0, 1], sin(x) ≥ 0 et e^x > 0, donc f'(x) > 0. La fonction étant strictement croissante et changeant de signe, la racine α est unique.
2. Convergence de la méthode de Newton
Notons cette racine par α. On veut approcher la racine α par la méthode de Newton. Montrer que la suite x_0 = 1, x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n) converge vers α en vérifiant les conditions de convergence :
- f(0) × f(1) < 0 (Vérifié)
- f'(x) ≠ 0 sur [0, 1] (Vérifié car f'(x) > 0)
- f''(x) = e^x + cos(x) ≠ 0 sur [0, 1] (Vérifié car f''(x) > 0)
- f(1) × f''(1) = 0,178 × 3,259 > 0 (Vérifié)
Toutes les conditions de convergence de la méthode de Newton sont satisfaites.
3. Calcul des itérations
Les résultats sont arrondis à 3 chiffres après la virgule :
- x_1 = 0,950
- x_2 = 0,949
- x_3 = 0,949
- x_4 = 0,949
La solution recherchée est α ≈ 0,949.
Exercice 2 : Point fixe et fonction Lipschitzienne
Soit f une fonction Lipschitzienne de rapport L : |f(x) - f(y)| ≤ L |x - y| pour tout x, y dans R.
On suppose que f admet un point fixe x* (c'est-à-dire x* = f(x*)) et que f vérifie la propriété suivante : pour tout x, y dans R, (f(x) - f(y)) . (x - y) ≤ 0.
1. Unicité du point fixe
Supposons que f possède deux points fixes x* et y*. D’après la propriété de f, nous avons : (f(x*) - f(y*)) . (x* - y*) ≤ 0.
Puisque f(x*) = x* et f(y*) = y*, il s’en suit que (x* - y*) . (x* - y*) = (x* - y*)^2 ≤ 0, ce qui implique x* = y*.
2. Convergence de la suite itérative
Soit λ un réel strictement positif (λ > 0). On définit la suite (x_n) par x_0 donné et x_{n+1} = x_n + λ(f(x_n) - x_n).
En remarquant que x_{n+1} - x* = (1 - λ)(x_n - x*) + λ(f(x_n) - f(x*)), on montre que pour tout λ dans [0, 1] :
(x_{n+1} - x*)^2 ≤ [(1 - λ)^2 + L^2 λ^2] (x_n - x*)^2.
Par récurrence, on obtient : (x_n - x*)^2 ≤ [(1 - λ)^2 + L^2 λ^2]^n (x_0 - x*)^2.
3. Condition de convergence
Pour que la suite (x_n) converge vers x*, on doit choisir λ tel que (1 - λ)^2 + L^2 λ^2 < 1. Cela mène à choisir λ dans l'intervalle ]0, 2/(1 + L^2)[.
FAQ
Qu'est-ce que la méthode de Newton ?
C'est un algorithme efficace pour trouver des approximations des racines d'une fonction réelle. Elle utilise la dérivée de la fonction pour construire une suite qui converge rapidement vers la solution.
Pourquoi vérifier la dérivée seconde dans Newton ?
La dérivée seconde permet de s'assurer de la convexité ou de la concavité de la fonction. Si elle ne change pas de signe sur l'intervalle, cela garantit, avec d'autres conditions, que la méthode ne divergera pas.
Qu'est-ce qu'une fonction Lipschitzienne ?
Une fonction est Lipschitzienne si l'écart entre les images de deux points est proportionnel à l'écart entre ces deux points, avec un rapport constant L. Cela garantit une certaine régularité de la fonction.