Ce document pédagogique est destiné aux étudiants de deuxième année de l'École Préparatoire en Sciences et Techniques d'Oran. Il propose l'énoncé complet ainsi que le corrigé détaillé de l'examen final d'Analyse Numérique 02. Ce support constitue un outil de révision précieux pour approfondir la compréhension des méthodes numériques fondamentales.
Il couvre les thématiques essentielles suivantes :
- Interpolation de Newton et construction de polynômes de degrés variés.
- Analyse de l'erreur d'interpolation et optimisation des points de support.
- Intégration numérique via la méthode de Simpson et estimation des erreurs.
- Polynômes de Lagrange et calcul d'approximations numériques.
Examen Final d'Analyse Numérique : Interpolation et Intégration
Ce sujet d'examen porte sur les méthodes fondamentales de l'analyse numérique, notamment l'interpolation de Newton et de Lagrange, l'étude de l'erreur d'interpolation et le calcul d'intégrales par la méthode de Simpson.
Exercice 1 : Interpolation de Newton
L'objectif est de calculer les coefficients $c_k$ du polynôme d'interpolation $P_3(x)$ dans la base de Newton pour une fonction $f$ définie par les points suivants : $f(0) = 1/2$, $f(1) = 1$, $f(2) = 2$ et $f(3) = 1/2$.
Calcul des différences divisées
Pour construire le polynôme $P_3(x)$, nous utilisons le tableau des différences divisées :
- Ordre 0 : $f[x_0] = 1/2, f[x_1] = 1, f[x_2] = 2, f[x_3] = 1/2$
- Ordre 1 : $f[x_0, x_1] = 1/2, f[x_1, x_2] = 1, f[x_2, x_3] = -3/2$
- Ordre 2 : $f[x_0, x_1, x_2] = 1/4, f[x_1, x_2, x_3] = -5/4$
- Ordre 3 : $f[x_0, x_1, x_2, x_3] = -1/2$ (ou $-2/3$ selon les calculs détaillés du support).
L'expression du polynôme dans la base de Newton est :
P3(x) = 1/2 + 1/2x + 1/4x(x - 1) - 2/3x(x - 1)(x - 2)
Exercice 2 : Analyse de l'erreur d'interpolation
On considère une fonction $f$ sur l'intervalle [-1, 1] et on étudie le choix des points de support pour minimiser l'erreur.
Comparaison des supports
On compare deux fonctions de l'erreur liées aux supports :
- Pour le support {-1, 1}, la fonction associée est $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$. Son maximum en valeur absolue sur [-1, 1] est 1.
- Pour le support {-√2/2, √2/2}, la fonction est $(x - √2/2)(x + √2/2) = x^2 - 1/2$. Son maximum en valeur absolue sur [-1, 1] est 1/2.
En choisissant le support {-√2/2, √2/2}, on réduit la borne supérieure de l'erreur d'interpolation par deux. Ce principe est lié à l'utilisation des nœuds de Tchebychev, qui répartissent mieux l'erreur sur l'intervalle.
Exercice 3 : Estimation de l'erreur d'intégration (Méthode de Simpson)
Il s'agit de trouver le nombre $N$ de subdivisions nécessaires pour évaluer l'intégrale de $\cos(x)$ sur $[-\pi, \pi]$ avec une précision de $0.5 \times 10^{-3}$ en utilisant la règle de Simpson.
Détermination de N
La formule de l'erreur théorique de Simpson est $|E| = \frac{(b - a)}{180} h^4 |f^{(4)}(\xi)|$. Ici, $b - a = 2\pi$ et la dérivée quatrième de $\cos(x)$ est majorée par 1.
En posant $h = \frac{2\pi}{N}$, on obtient une condition sur $N$ : $N \ge 18.6$. Puisque la méthode de Simpson nécessite un nombre pair de subdivisions, on choisit N = 20 ou N = 22 pour garantir la précision souhaitée.
Exercice 4 : Polynôme de Lagrange et approximation de ln(3)
Soit la fonction $g(x) = 1 / (1 - x)$.
Calculs et résultats
- La primitive de $g$ est $F(x) = -\ln(1 - x)$. En $x = 2/3$, $F(2/3) = \ln(3)$.
- Le polynôme de Lagrange de degré 2 passant par les points {0, 1/3, 2/3} est $P_2(x) = \frac{9}{2}x^2 + 1$.
- En appliquant une formule de quadrature de type Newton-Cotes sur l'intervalle, on trouve les coefficients $d_0 = d_2 = 1/9$ et $d_1 = 4/9$.
- L'approximation numérique obtenue pour $\ln(3)$ est de $10/9$, soit environ 1.11.
FAQ
Pourquoi préférer la base de Newton à celle de Lagrange ?
La base de Newton est plus efficace lorsqu'on souhaite ajouter de nouveaux points de support. Elle permet de calculer le nouveau polynôme en ajoutant simplement un terme supplémentaire sans recalculer l'intégralité des coefficients précédents.
Qu'est-ce qu'un support d'interpolation optimal ?
Un support optimal est un ensemble de points (comme les points de Tchebychev) qui minimise l'erreur maximale d'interpolation sur un intervalle donné, évitant ainsi les fortes oscillations aux extrémités (phénomène de Runge).
Quelle est la précision de la méthode de Simpson ?
La méthode de Simpson est d'ordre 4, ce qui signifie qu'elle est exacte pour les polynômes de degré allant jusqu'à 3. Elle offre généralement une bien meilleure précision que la méthode des trapèzes pour un même nombre de subdivisions.