Ce document présente les solutions détaillées du TD n°02 consacré aux équations non-linéaires, destiné aux étudiants de deuxième année en Sciences et Technologies (ST) à l'Université de Ghardaïa. Ce support pédagogique permet d'approfondir la maîtrise des algorithmes fondamentaux utilisés pour la recherche de racines de fonctions continues.
Le document couvre l'application pratique et l'analyse de convergence des méthodes suivantes :
- La méthode de la bissection (dichotomie) ;
- La méthode de Newton-Raphson et ses conditions de convergence ;
- La méthode de la sécante pour l'approximation itérative des solutions.
Introduction aux méthodes de résolution d'équations non-linéaires
Ce document présente les solutions détaillées du TD n°02 de l'Université de Ghardaïa (Département ST) concernant les méthodes numériques pour résoudre des équations de type f(x) = 0. Nous abordons ici les méthodes de bissection (dichotomie), de Newton-Raphson et de la sécante.
Exercice 1 : La méthode de bissection (Dichotomie)
La méthode de bissection est une approche robuste qui consiste à diviser l'intervalle de recherche en deux à chaque étape pour isoler la racine.
Analyse de f(x) = 1 - x e^x
L'équation f(x) = 1 - x e^x = 0 admet au moins une racine dans l'intervalle I = [0, 1] car la fonction est continue et f(0) * f(1) < 0. Après 11 itérations, on obtient une approximation r ≈ 0,567 avec une précision de trois décimales exactes. Le nombre d'itérations nécessaire (n) est calculé par la formule : n > ln((b - a) / ε) / ln(2). Ici, pour ε = 0,5 * 10⁻³, n = 11.
Analyse de f(x) = x² sin(x) - 2
Sur l'intervalle [0, 2], la fonction change de signe. Après 12 itérations, nous atteignons la valeur r ≈ 1,422 avec une erreur de 0,49 * 10⁻³.
Analyse de f(x) = x⁵ - x - 1
Pour l'intervalle [0,9, 1,2], 10 itérations sont nécessaires pour obtenir r ≈ 1,167.
Exercice 2 : La méthode de Newton-Raphson
La méthode de Newton utilise la dérivée de la fonction pour converger plus rapidement vers la racine via la formule itérative : xₙ₊₁ = xₙ - f(xₙ) / f'(xₙ).
Résolution de f(x) = x(1 + e^x) - e^x
Avec une valeur initiale x₀ = 0 et une dérivée f'(x) = 1 + x e^x, la suite converge vers r ≈ 0,6590 à la cinquième itération. Les quatre premières décimales se stabilisent, garantissant la précision souhaitée.
Résolution de f(x) = x⁵ - x - 1
Avec x₀ = 0,9 et f'(x) = 5x⁴ - 1, le calcul s'arrête à la sixième itération pour donner r ≈ 1,1673 avec cinq chiffres significatifs.
Exercice 3 : La méthode de la sécante
Contrairement à Newton, la méthode de la sécante n'exige pas le calcul de la dérivée, mais nécessite deux points initiaux.
Équation f(x) = e^(-√x) - 2 + x²
En partant de x₀ = 5 et x₁ = 2, la méthode converge après 6 itérations vers r ≈ 1,296. Cette méthode est particulièrement utile lorsque la dérivée est complexe à calculer analytiquement.
Équation f(x) = x - cos(x)
Avec x₀ = -1 et x₁ = 0, la racine trouvée est r ≈ 0,739 après 7 itérations.
Exercice 4 : Unicité et convergence
Démonstration de la solution unique
Pour f(x) = x³ - 2x - 2 sur [1, 2], nous vérifions trois conditions :
- La continuité de f sur l'intervalle.
- Le changement de signe aux bornes (f(1) = -3, f(2) = 2).
- La monotonie (f'(x) = 3x² - 2 > 0 sur [1, 2]).
Exercice 5 à 9 : Études de fonctions et paramètres
Analyse de f(x) = 4x - e^x
Cette fonction possède deux solutions. En étudiant les variations de la fonction, on identifie que f'(x) s'annule en x = ln(4). La fonction croît jusqu'à un maximum d'environ 1,55 avant de décroître vers -∞. Les racines se situent dans les intervalles [0, 1] et [2, 3]. La plus grande racine est approximée à r ≈ 2,153.
Étude de f(x) = e^(x/5) + e⁻ˣ + α
L'existence de solutions dépend de la valeur du paramètre α. Le minimum de la fonction se situe en x = (5/6) ln(5). Pour que l'équation f(x) = 0 possède au moins une solution, il faut que ce minimum soit inférieur ou égal à zéro, soit α ≤ -1,57. Pour α = -10, on trouve une solution stable à r ≈ 11,513 par Newton.
FAQ : Questions Fréquentes
Pourquoi la méthode de Newton peut-elle échouer ?
La méthode de Newton peut échouer si la dérivée f'(x) est proche de zéro au point d'itération (division par zéro) ou si la valeur initiale x₀ est trop éloignée de la racine réelle, provoquant une divergence de la suite.
Quelle est la différence principale entre bissection et Newton ?
La bissection est plus lente mais garantit la convergence si un changement de signe est détecté. Newton est beaucoup plus rapide (convergence quadratique) mais nécessite la connaissance de la dérivée et une bonne estimation initiale.
Comment choisir l'intervalle initial pour la dichotomie ?
On choisit généralement l'intervalle en observant le comportement graphique de la fonction ou en testant des valeurs entières jusqu'à trouver deux points a et b tels que f(a) et f(b) soient de signes contraires.