Ce document constitue une fiche de travaux dirigés destinée aux étudiants de deuxième année en Sciences et Techniques de l’Université de Ghardaïa. Il s'inscrit dans le cadre du module des méthodes numériques et se concentre spécifiquement sur l’interpolation polynomiale.
À travers une série d'exercices pratiques, ce support permet d'aborder les notions suivantes :
- La construction de polynômes via les matrices de Vandermonde.
- Les méthodes d’interpolation de Lagrange et de Newton.
- L’estimation de l’erreur d’approximation et l'analyse des chiffres significatifs.
Introduction à l'Interpolation Polynomiale
L'interpolation polynomiale est une technique fondamentale en analyse numérique. Elle consiste à construire un polynôme qui passe exactement par un ensemble de points donnés. Ce document présente une série d'exercices pratiques portant sur les méthodes de Vandermonde, de Lagrange et de Newton, ainsi que sur l'analyse de l'erreur d'approximation.
Exercices de Travaux Dirigés : Méthodes Numériques
Exercice 1 : Utilisation de la matrice de Vandermonde
L'objectif est d'utiliser la matrice de Vandermonde pour obtenir le polynôme du deuxième degré passant par les points suivants : (-2, 25), (2, 17) et (1, 4).
Exercice 2 : Méthode de Newton et construction progressive
Soient les points suivants : (2, 1), (5, 4), (3, 0) et (-1, 0). En utilisant la méthode des différences divisées de Newton :
- 1. Trouver l'équation de la droite passant par les deux premiers points.
- 2. Trouver l'équation de la parabole passant par les trois premiers points.
- 3. Trouver l'équation du polynôme de degré trois passant par l'ensemble des points.
Exercice 3 : Polynôme de Lagrange
Considérons les points : (0, 0), (1, 2), (2, 36) et (3, 252).
- 1. Obtenir le polynôme de Lagrange passant par les trois premiers points.
- 2. Obtenir le polynôme de Lagrange passant par les quatre points.
Exercice 4 : Comparaison Newton et Lagrange
Reprendre l'intégralité des questions de l'exercice 3 en appliquant cette fois la méthode de Newton.
Exercice 5 : Interpolation de la fonction logarithme
Soit la tabulation de la fonction f(x) = ln(x) :
- x : 3.0 | 3.5 | 4.0 | 4.5
- ln(x) : 1.0986 | 1.2528 | 1.3863 | 1.5041
Questions :
- 1. Calculer ln(3.2) par interpolation linéaire de Lagrange.
- 2. Donner la forme analytique de l'erreur et déduire une majoration de cette erreur.
- 3. Calculer cette erreur et déduire le nombre de chiffres significatifs de l'approximation.
- 4. Reprendre les mêmes questions pour le calcul de ln(4.4).
Exercice 6 : Interpolation de la fonction inverse
Vérifier que la fonction f(x) = 1/x passe par les points (2, 0.5), (2.5, 0.4) et (4, 0.25).
- 1. Trouver la parabole d'interpolation de Lagrange qui passe par ces points.
- 2. Calculer l'approximation de f(2.2).
- 3. Estimer l'erreur maximale et déduire le nombre de chiffres significatifs de l'approximation.
Exercice 7 : Différences divisées et majoration d'erreur
Les valeurs d'une fonction f(x) sont données pour trois points :
- x : 3.5 | 4 | 4.5
- f(x) : 0.9086 | 1.0000 | 1.0772
Questions :
- 1. Donner une approximation de f(3.6) par interpolation linéaire de Newton.
- 2. On suppose que |f''(x)| ≤ 1/18 * (4/3)^(5/3) sur l'intervalle [3.5, 4]. Estimer l'erreur de l'approximation.
- 3. Estimer l'erreur en utilisant la table des différences divisées.
- 4. Donner une approximation de f(4.1) en estimant le nombre de chiffres significatifs.
Exercice 8 : Approximation d'une racine quatrième
Soit la fonction f(x) = (2x + 1)^(1/4).
- 1. Construire la droite d'interpolation de f(x) aux points x0 = 2 et x1 = 2.5.
- 2. Calculer une approximation de f(2.2) et estimer le nombre de chiffres significatifs du résultat.
- 3. Reprendre la première question entre les points x0 = 2.5 et x1 = 3.
- 4. Donner une approximation de f(2.9) et estimer le nombre de chiffres significatifs.
Exercice 9 : Interpolation trigonométrique
Soit la tabulation de la fonction f(x) = cos(x) :
- x : 40° | 45° | 50°
- cos(x) : 0.76604 | 0.70711 | 0.64279
Questions :
- 1. Construire le polynôme d'interpolation de degré deux passant par les points donnés en utilisant la méthode de Newton.
- 2. Calculer une approximation de cos(42°) et estimer le nombre de chiffres significatifs du résultat.
Foire Aux Questions (FAQ)
Quelle est la différence entre la méthode de Lagrange et celle de Newton ?
La méthode de Lagrange construit le polynôme en utilisant des fonctions de base spécifiques à chaque point. Elle est simple conceptuellement mais nécessite de recalculer tout le polynôme si l'on ajoute un nouveau point. La méthode de Newton, via les différences divisées, permet d'ajouter des points supplémentaires de manière incrémentale.
Pourquoi utiliser la matrice de Vandermonde est-il déconseillé pour des systèmes larges ?
Bien que la matrice de Vandermonde permette de prouver l'existence d'un polynôme d'interpolation, elle est numériquement instable. Pour un grand nombre de points, le système devient "mal conditionné", ce qui entraîne des erreurs de calcul importantes.
Comment définit-on le nombre de chiffres significatifs d'une approximation ?
Le nombre de chiffres significatifs correspond au nombre de chiffres (en partant du premier chiffre non nul à gauche) qui sont considérés comme fiables. On le détermine généralement en comparant l'erreur absolue estimée à la valeur trouvée : si l'erreur est inférieure à 0.5 × 10^(-n), on considère que n décimales sont significatives.