Ce document propose les corrigés détaillés des exercices du chapitre 5, destinés aux étudiants universitaires inscrits en analyse numérique. Il constitue un support pédagogique essentiel pour maîtriser les techniques fondamentales d'interpolation et d'approximation de fonctions.
Le contenu couvre les thématiques suivantes :
- L'interpolation par les polynômes de Lagrange et la méthode des différences divisées de Newton.
- L'analyse analytique et l'estimation de l'erreur d'approximation.
- La modélisation par splines cubiques naturelles et la détermination de polynômes sous contraintes de pentes.
Analyse numérique : Exercices résolus sur l'interpolation polynomiale et les splines
Ce guide propose des solutions détaillées et des explications sur les méthodes d'interpolation numérique, un domaine essentiel pour l'approximation de fonctions et le traitement de données expérimentales.
Exercice 1 : Interpolation par polynôme de Lagrange
L'interpolation de Lagrange permet de trouver l'unique polynôme de degré minimal qui passe exactement par un ensemble de points donnés.
Construction et calcul de l'erreur
a) Pour une série de 3 points, le polynôme de Lagrange associé est de degré 2. Sa construction repose sur des fonctions de base qui s'annulent en chaque nœud sauf un.
b) Pour 4 points, le polynôme est de degré 3. Contrairement à la méthode de Newton, la méthode de Lagrange est peu flexible : l'ajout d'un point nécessite généralement de recalculer l'intégralité du polynôme, rendant l'utilisation des calculs précédents difficile.
c) L'erreur analytique d'un polynôme d'interpolation de degré n est proportionnelle à la dérivée (n+1)-ième de la fonction originale. Pour le cas a), l'erreur dépend de la dérivée troisième, alors que pour le cas b), elle est liée à la dérivée quatrième, le tout pondéré par le produit des distances aux nœuds.
d) L'approximation de f(1,5) s'obtient en évaluant les polynômes de degré 2 et 3 au point x = 1,5. Plus le degré est élevé, plus l'approximation est généralement précise, à condition que la fonction soit régulière.
Exercice 2 : Interpolation de Newton et fonction logarithmique
On étudie ici l'interpolation de la fonction f(x) = ln(x) sur l'intervalle [1, 5].
Application de la méthode de Newton
a) Avec 5 nœuds (x = 1, 2, 3, 4, 5), le polynôme de Newton est de degré 4. Cette méthode utilise le tableau des différences divisées, ce qui facilite l'ajout ultérieur de nouveaux points.
b) En évaluant le polynôme au point x = 6,32, on obtient une valeur approchée de 1,681902033. La valeur réelle étant ln(6,32) ≈ 1,843719208, l'erreur absolue est de 0,161817. Cette erreur peut être estimée sans connaître la valeur réelle en utilisant un nœud supplémentaire (x = 5,5) et la formule des différences finies.
c) Pour réduire l'erreur absolue d'un facteur 100 (atteindre environ 0,0016), il est nécessaire d'augmenter significativement le nombre de nœuds d'interpolation à intervalles réguliers.
d) Analyse graphique : Sur l'intervalle [3, 4], l'étude du signe du reste de l'interpolation (basée sur la dérivée cinquième de la fonction logarithme) montre que l'erreur est positive. Par conséquent, la courbe de f(x) = ln(x) se situe au-dessus de celle du polynôme d'interpolation.
Exercice 3 : Splines cubiques naturelles
Les splines sont des fonctions polynomiales par morceaux qui offrent une plus grande stabilité que les polynômes de haut degré.
Le cas de la fonction f(x) = x³
a) Pour construire une spline cubique naturelle passant par les points (0,0), (1,1) et (2,8), on impose que la dérivée seconde soit nulle aux extrémités (x = 0 et x = 2). Cela mène à un système linéaire de dimension 3.
b) L'évaluation de la spline en x = 0,5 donne un résultat de -0,0625. Cependant, la valeur exacte de f(0,5) pour f(x) = x³ est 0,125.
c) Pourquoi une telle erreur alors que f(x) est déjà un polynôme de degré 3 ? L'erreur provient de la condition "naturelle". Pour f(x) = x³, la dérivée seconde réelle en x = 2 est 12 (car f''(x) = 6x). En imposant arbitrairement une dérivée seconde nulle à l'extrémité, la spline s'écarte nécessairement de la fonction originale.
Exercice 4 : Conception d'une courbe de transition
On souhaite concevoir un virage ferroviaire entre les points (0,0) et (1,1) avec des contraintes de pente.
Détermination du polynôme minimal
a) Nous disposons de 4 conditions : deux points de passage (f(0)=0, f(1)=1) et deux pentes (f'(0)=0, f'(1)=0,3). Pour satisfaire 4 contraintes indépendantes, le degré minimal requis pour le polynôme est 3.
b) Le polynôme recherché est de la forme p(x) = ax³ + bx² + cx + d. En appliquant les conditions aux limites, on détermine les coefficients a, b, c et d pour assurer une transition fluide et douce du virage.
FAQ sur l'interpolation numérique
Quelle est la différence entre la méthode de Lagrange et celle de Newton ?
La méthode de Lagrange fournit une expression directe du polynôme, mais elle est fastidieuse à recalculer si l'on ajoute des points. La méthode de Newton est plus efficace pour l'informatique car elle permet d'ajouter des nœuds de manière incrémentale grâce aux différences divisées.
Pourquoi utilise-t-on des splines cubiques plutôt que des polynômes simples ?
Les polynômes de haut degré ont tendance à osciller fortement (phénomène de Runge). Les splines cubiques limitent ces oscillations en utilisant des polynômes de bas degré raccordés de façon à ce que la courbe soit lisse (continuité des dérivées première et seconde).
Qu'est-ce qu'une spline "naturelle" ?
Une spline est dite naturelle lorsque l'on impose que sa courbure (dérivée seconde) soit nulle aux deux extrémités de l'intervalle. C'est un choix par défaut lorsqu'on ne connaît pas les conditions de bord réelles de la fonction.