Ce document, élaboré dans le cadre du cours d'Analyse Numérique (Série 1), est spécifiquement destiné aux étudiants universitaires. Il propose une série d'exercices pratiques visant à renforcer la maîtrise des méthodes itératives pour la résolution d'équations non linéaires.
Les principaux thèmes abordés incluent :
- La localisation et l'isolement des racines
- L'étude des méthodes de point fixe, leur convergence et leur ordre
- Les algorithmes de dichotomie et de fausse position
- La méthode de Newton, son ordre et ses adaptations pour les racines multiples
- Le calcul du nombre d'itérations pour atteindre une précision donnée.
ESTI Département GE - Série 1
Enseignant responsable : Yassine Hachaïchi
Analyse numérique - Janvier 2014
Exercice 1 : Recherche de racines
On considère l'équation (E) : sin(x) − x + 2 = 0.
Question 1 : Intervalle de localisation
Trouvez un intervalle [a, b] de longueur `b−a ≤ 1` qui contient l'ensemble des solutions de l'équation (E). Vous pouvez tester des valeurs entre 0 et `π` pour identifier cet intervalle.
Question 2 : Convergence de la méthode du point fixe
Déterminez un intervalle `I'` contenant l'unique solution `x*` de l'équation (E) tel que, pour tout `x0 ∈ I'`, la suite définie par `xn+1 = sin(xn) + 2` converge vers `x*`. Ceci implique d'analyser la fonction `g(x) = sin(x) + 2` et ses propriétés de convergence.
Exercice 2 : Méthodes de point fixe
On considère l'équation (E) : `f(x) = x³ + x − 1 = 0`.
Question 1 : Existence et unicité de la solution
Montrez que l'équation (E) admet une solution unique sur l'intervalle [0,1].
Question 2 : Étude de la convergence pour différentes fonctions d'itération
L'équation (E) est équivalente à l'équation de point fixe `(E') : x = g(x)`. Trois fonctions d'itération sont proposées :
- `g(x) = x³ + 2x − 1`
- `g(x) = 1 − x³`
- `g(x) = 1 / (x² + 1)`
Pour chacun de ces cas, étudiez la convergence de la méthode du point fixe. Si la méthode converge, spécifiez un intervalle `I` tel que pour tout choix de `x0 ∈ I`, la méthode converge.
Exercice 3 : Comparaison de méthodes de recherche de racines
On considère l'équation non-linéaire `f(x) = 0`, où `f(x) = e⁻ˣ − x²`.
Question 1 : Applicabilité et premières itérations des méthodes de dichotomie et de fausse position
Montrez que les méthodes de dichotomie et de fausse position peuvent être utilisées pour calculer le seul zéro `a` de `f` dans l'intervalle [0,1]. Rappelez les algorithmes de ces méthodes et donnez leurs premières valeurs d'itération.
Question 2 : Nombre d'itérations pour une précision donnée
Déterminez le nombre d'itérations nécessaire pour que ces méthodes (dichotomie et fausse position) approchent `a` avec une tolérance de `10⁻¹⁰`.
Question 3 : Applicabilité et premières itérations de la méthode de Newton
Montrez que la méthode de Newton s'applique pour calculer le seul zéro `a` de `f` dans l'intervalle [0,1]. Indiquez à partir de quelle valeur initiale il convient de commencer. Rappelez l'algorithme de Newton et donnez ses premières valeurs d'itération.
Question 4 : Méthode du point fixe et sa convergence
Écrivez la méthode du point fixe définie par la fonction d'itération suivante : `φ(x) = x + (1/4)(e⁻ˣ − x²)`, pour `0 ≤ x ≤ 1`. Démontrez sa convergence vers la solution `a`.
Question 5 : Nombre d'itérations pour la méthode du point fixe
Déterminez le nombre d'itérations de la méthode du point fixe nécessaire pour calculer une solution approchée avec une tolérance de `10⁻¹⁰`.
Exercice 4 : Ordre de convergence d'une méthode de point fixe modifiée
On cherche à calculer le zéro `a` de la fonction `f(x) = x³ − 2` en utilisant la méthode de point fixe `x_k+1 = g(x_k)`. La fonction d'itération `g(x)` est donnée par :
`g(x) = x(1 − ω/3) + x³(1 − ω) + 2ω / (3x²) + 2(ω−1)`.
Question 1 : Valeurs de ω pour lesquelles le zéro est un point fixe
Pour quelles valeurs du paramètre `ω` le zéro de la fonction `f` est-il un point fixe de la méthode proposée ?
Question 2 : Valeurs de ω pour une convergence d'ordre 2
Pour quelles valeurs de `ω` la méthode proposée est-elle d'ordre 2 ?
Question 3 : Ordre de convergence supérieur à 2 ?
Existe-t-il une valeur de `ω` telle que l'ordre de la méthode du point fixe est supérieur à 2 ?
Exercice 5 : Méthode de Newton pour la racine carrée
Soit `a > 0` un réel. Écrivez l'algorithme de Newton pour approcher `√a`. Prenez `a = 3` et effectuez les 4 premières itérations. Comparez le résultat avec la valeur réelle de `√3`.
Exercice 6 : Méthode de Newton pour les racines multiples
Soit `a` une racine double de la fonction `f`, c'est-à-dire `f(a) = f'(a) = 0` et `f''(a) ≠ 0`.
Question 1 : Ordre de convergence de la méthode de Newton classique pour une racine double
En tenant compte du fait que l'on peut écrire la fonction `f` comme `f(x) = (x−a)²h(x)` où `h(a) ≠ 0`, vérifiez que la méthode de Newton pour l'approximation de la racine `a` est seulement d'ordre 1.
Question 2 : Ordre de convergence de la méthode de Newton modifiée
On considère la méthode de Newton modifiée suivante : `x_k+1 = g(x_k) = x_k − 2f(x_k) / f'(x_k)`. Vérifiez que cette méthode est d'ordre deux si l'on cherche à approcher une racine double `a`.
FAQ sur l'Analyse Numérique
Qu'est-ce qu'une méthode de point fixe ?
Une méthode de point fixe est un algorithme itératif utilisé pour trouver les solutions d'une équation de la forme `x = g(x)`. On part d'une estimation initiale `x0` et on calcule une suite `xn+1 = g(xn)` qui, sous certaines conditions, converge vers un point fixe `x*`, solution de l'équation.
Pourquoi est-il important de connaître l'ordre de convergence d'une méthode numérique ?
L'ordre de convergence d'une méthode numérique mesure la vitesse à laquelle la suite d'approximations converge vers la solution exacte. Un ordre de convergence plus élevé (par exemple, 2 ou plus) signifie que la méthode converge plus rapidement, nécessitant moins d'itérations pour atteindre une précision donnée, ce qui est crucial pour l'efficacité des calculs.
Quand utiliser la méthode de Newton par rapport à la dichotomie ?
La méthode de Newton est généralement beaucoup plus rapide que la dichotomie (convergence quadratique contre linéaire) si la fonction est dérivable et si l'approximation initiale est proche de la racine. Cependant, elle peut diverger si la condition initiale est mal choisie ou si la dérivée est nulle. La dichotomie, bien que plus lente, est garantie de converger si la fonction est continue et change de signe sur l'intervalle initial, ce qui la rend plus robuste et fiable.