Ce document est un fascicule de Travaux Dirigés (TD) destiné aux étudiants de deuxième année Sciences et Techniques, inscrits au module de Méthodes Numériques (MATH06) à l'Université de Ghardaïa. Il vise à approfondir la compréhension et la maîtrise des concepts fondamentaux en analyse numérique.
Il couvre les notions suivantes :
- L'analyse des erreurs, incluant les erreurs absolues et relatives.
- La détermination et l'estimation des chiffres significatifs.
- Le développement et l'application des séries de Taylor pour l'approximation de fonctions.
- L'utilisation des séries de Taylor pour le calcul approché d'intégrales.
UNIVERSITÉ DE GHARDAÏA
FACULTÉ DES SCIENCES ET TECHNOLOGIE
DÉPARTEMENT DES SCIENCES ET TECHNIQUES
MATH06 : Méthodes Numériques (2ème Sciences & Techniques)
Année universitaire : 2015-2016
TD 01 : Analyse d'erreurs et Séries de Taylor
Ce document présente une série d'exercices pratiques axés sur l'analyse d'erreurs et l'utilisation des séries de Taylor, des concepts fondamentaux en méthodes numériques. Ces exercices couvrent le calcul des erreurs absolues et relatives, la détermination des chiffres significatifs, la propagation des erreurs, et l'application des développements de Taylor pour l'approximation de fonctions et le calcul d'intégrales.
Exercice 1 : Calcul des Erreurs Absolues et Relatives
Tous les chiffres des nombres suivants sont exacts au sens étroit. Calculer les erreurs absolues et relatives :
a) 0.1342
b) 7.480
c) 3.1415
d) 0.34235 × 10-3
e) 7.000
f) 0.22754 × 109
Exercice 2 : Chiffres Significatifs et Valeurs Approchées
Déterminer le nombre de chiffres significatifs (au sens étroit) et donner les valeurs approchées correspondantes dans les cas suivants en fonction de l’erreur relative donnée :
a) 3.14156 à 0.1% ensuite à 1%.
b) 392.12 à 0.01%, puis à 1%.
Exercice 3 : Propagation des Erreurs
Soit a = 10.3 et b = 4.4, dont tous les chiffres sont significatifs au sens étroit. Calculer la valeur de l’expression S = ln(a + √b) et estimer le nombre de chiffres significatifs du résultat.
Exercice 4 : Développement de Taylor de ln(2x+1)
Soit la fonction f(x) = ln(2x+1).
1. Calculer le développement de Taylor d’ordre 4 de la fonction f(x) autour de x0 = 0.
2. Donner la forme analytique de l’erreur.
3. Donner une approximation de f(0.1) avec le polynôme de Taylor obtenu.
4. Par comparaison avec la valeur exacte (f(0.1) = 0.182321557), donner le nombre de chiffres significatifs de l’approximation obtenue.
5. Supposant qu’on ne connaît pas la valeur exacte précédente. Estimer le nombre de chiffres significatifs de l’approximation en utilisant la forme analytique de l’erreur.
6. Donner une approximation de f(−0.1) et estimer le nombre de chiffres significatifs de cette approximation.
Exercice 5 : Développement de Taylor de ³√(2x+1)
Soit la fonction f(x) = ³√(2x+1).
1. Exprimer le développement de Taylor de la fonction f autour de x0 = 0 à l’ordre 3.
2. Donner la forme analytique de l’erreur.
3. Calculer une approximation de ³√(1.4) avec le polynôme de Taylor obtenu.
4. Calculer la borne supérieure de l’erreur et estimer le nombre de chiffres significatifs de l’approximation.
Exercice 6 : Développement de Taylor de sin(x)
Soit la fonction f(x) = sin(x).
1. Exprimer le développement de Taylor de la fonction f autour de x0 = 0 à l’ordre 3.
2. Donner la forme analytique de l’erreur.
3. Calculer une approximation de f(0.1) avec le polynôme de Taylor obtenu.
4. Quel est le nombre de chiffres significatifs de l’approximation ? Calculer l’erreur relative.
5. Quelle est la valeur maximale que x ne doit pas dépasser pour ne pas dépasser l’erreur relative de 1% ?
Exercice 7 : Ordre de Développement pour une Précision Donnée
Soit la fonction f(x) = cos(x). On souhaite faire des calculs avec une erreur relative qui ne doit pas dépasser 0.1%. Quel est l’ordre du développement de Taylor autour de x0 = 0 qu’on doit utiliser pour garder cette précision jusqu’à l’angle x = 0.3 rad ?
Exercice 8 : Approximation de cos(x) et Précision
Quelle est la valeur maximale que x ne doit pas dépasser si on veut utiliser l’approximation cos(x) ≈ 1 - x²/2 pour obtenir une précision au centième, au millième et au dix-millième près ?
Exercice 9 : Calcul d'Intégrale avec Taylor (sin x/x)
En utilisant le développement de Taylor de la fonction sin(x) autour de x0 = 0, calculer à la quatrième décimale près l’intégrale suivante : ∫ (de 0 à 1/2) (sin x / x) dx
Exercice 10 : Calcul d'Intégrale avec Taylor (³√x cos x)
En utilisant le développement de Taylor de la fonction cos(x) autour de x0 = 0, calculer à la quatrième décimale près l’intégrale suivante : ∫ (de 0 à 1) ³√x cos x dx
Auteur : H. Bouderba
FAQ sur l'Analyse d'Erreurs et les Séries de Taylor
Qu'est-ce que l'analyse d'erreurs en méthodes numériques ?
L'analyse d'erreurs est une discipline essentielle en méthodes numériques qui étudie et quantifie les incertitudes ou les inexactitudes dans les résultats de calcul. Elle permet de comprendre comment les erreurs initiales (par exemple, dues à l'arrondi ou à la troncature) se propagent et affectent la précision des solutions numériques. L'objectif est d'assurer la fiabilité des calculs scientifiques et techniques.
À quoi sert un développement de Taylor ?
Le développement de Taylor permet d'approximer une fonction complexe par un polynôme en un point donné. Cette technique est cruciale car les polynômes sont faciles à évaluer, dériver et intégrer. Elle est utilisée pour simplifier les calculs, analyser le comportement des fonctions localement, dériver des formules d'intégration numérique ou de résolution d'équations différentielles, et estimer les erreurs d'approximation.
Comment déterminer le nombre de chiffres significatifs d'un résultat ?
Le nombre de chiffres significatifs indique la précision d'une mesure ou d'un calcul. Il est déterminé par les règles suivantes : les chiffres non nuls sont toujours significatifs ; les zéros entre deux chiffres non nuls sont significatifs ; les zéros à la fin d'un nombre décimal sont significatifs ; les zéros au début d'un nombre (avant le premier chiffre non nul) ne sont pas significatifs. Pour les calculs, le résultat doit généralement avoir un nombre de chiffres significatifs cohérent avec la donnée la moins précise.