Ce document constitue une série de travaux dirigés destinée aux étudiants en ingénierie de l'École Nationale des Sciences Appliquées de Fès. Conçu pour le module d'analyse numérique, ce support propose des exercices d'application pratique visant à consolider les bases théoriques du calcul scientifique et de l'approximation numérique.
Le contenu s'articule autour des thématiques essentielles suivantes :
- Résolution d'équations non linéaires par les méthodes de dichotomie, du point fixe et de Newton-Raphson ;
- Interpolation polynomiale via les approches de Lagrange et de Newton ;
- Approximation de fonctions par les développements de Taylor et les splines cubiques naturelles.
Module d’Analyse Numérique : Travaux Dirigés (TD 2)
Ce document présente des exercices pratiques portant sur la résolution d'équations non linéaires, l'interpolation polynomiale (Lagrange et Newton) et l'utilisation des splines cubiques.
Exercice 1 : Méthodes de résolution d'équations non linéaires
On se propose de résoudre l'équation f(x) = 3x² - e^x = 0 pour x appartenant à l'intervalle [-1, 0].
- Montrer que la fonction f admet une solution unique s dans l'intervalle [-1, 0].
- En appliquant la méthode de dichotomie, déterminer le nombre d'itérations n tel que |c_n - s| ≤ 10⁻⁶ et calculer les valeurs de c₀, c₁ et c₂.
- Soit la méthode itérative définie par : x_{n+1} = g_α(x_n) = α * e^{x_n}.
- Pour quelle valeur de α la fonction g admet-elle comme point fixe s la solution de f(x) = 0 ? On note α₀ cette valeur.
- La méthode itérative définie par g_{α₀} est-elle convergente sur l'intervalle [-1, 0] ? Justifier votre réponse.
- Si la méthode converge, calculer x₁, x₂ et x₃. Déterminer ensuite le nombre d’itérations nécessaire pour obtenir une précision de 10⁻⁶ sur s (en prenant x₀ = -0,4).
- Quel est l’ordre de convergence de cette méthode ?
- Quelle est la meilleure méthode entre la dichotomie et la méthode itérative de point fixe ? Justifier votre choix.
- Écrire l’algorithme de Newton-Raphson pour résoudre f(x) = 0 et étudier sa convergence sur l'intervalle [-1, 0].
Exercice 2 : Interpolation de Lagrange et Développement de Taylor
On considère les trois points A₁ = (0, 1), A₂ = (π/16, cos(π/16)) et A₃ = (π/8, cos(π/8)) de la fonction f(x) = cos(x).
- Obtenir, à l’aide de l’interpolation de Lagrange, le polynôme de degré 2 qui passe par ces trois points. En déduire une approximation de la valeur de cos(π/32).
- Calculer le développement de Taylor de degré 2 de la fonction f(x) = cos(x) autour de x₀ = 0. En déduire une approximation de cos(π/32).
- Laquelle des deux approximations de cos(π/32) obtenues précédemment est la plus précise ? Justifier votre analyse.
Exercice 3 : Différences divisées et Polynôme de Newton
On considère la table de différences divisées suivante :
- x_i = 1.9, f(x_i) = 0.94630
- x_i = 1.5, f(x_i) = 0.99749, f[x_i, x_{i-1}] = -0.127975
- x_i = 2.3, f(x_i) = 0.74571, f[x_i, x_{i-1}] = -0.314725, f[x_i, ..., x_{i-2}] = ?
- x_i = 2.7, f(x_i) = 0.42738, f[x_i, x_{i-1}] = -0.795824, f[x_i, ..., x_{i-2}] = ??, f[x_i, ..., x_{i-3}] = ???
- Compléter la table des différences divisées (calculer ?, ?? et ???).
- En vous servant de cette table, calculer une approximation de f(2) en utilisant le polynôme de Newton passant par les trois premiers points.
- Donner une estimation de l’erreur d’interpolation au point x = 2 et en déduire le nombre de chiffres significatifs de l’approximation obtenue.
- Sachant que f(x) = sin(x), calculer une borne supérieure de la valeur absolue de l’erreur d’interpolation au point x = 2.
- Quel polynôme est le plus précis : celui trouvé à la question 2, ou le polynôme de Lagrange passant par les points x = 1.5, 1.9 et 2.3 ? Justifier votre réponse.
Exercice 4 : Splines Cubiques Naturelles
On souhaite construire une spline cubique naturelle passant par les points suivants :
- x_i : 0.0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0
- f(x_i) : 1.000000, 1.127626, 1.543081, 2.352409, 3.762196
Le calcul des dérivées secondes a donné les résultats suivants :
- x_i : 0.0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0
- f''(x_i) : 0.000, 1.432, 1.178, 3.308, 0.000
- Obtenir une approximation de f(0.75) à l’aide de cette spline cubique.
- On souhaite obtenir une approximation de la dérivée f'(1.0). On peut choisir entre le polynôme p₂(x) défini sur [0.5, 1.0] et le polynôme p₃(x) défini sur [1.0, 1.5]. Lequel de ces deux polynômes donnera la meilleure approximation de f'(1.0) ? Expliquer pourquoi sans effectuer les calculs.
- En utilisant la spline, obtenir une approximation de la dérivée seconde f''(1.5).
FAQ : Foire Aux Questions
Quelle est la différence entre la méthode de dichotomie et celle de Newton ?
La méthode de dichotomie est toujours convergente si la fonction change de signe, mais elle est lente. La méthode de Newton est beaucoup plus rapide (convergence quadratique), mais elle nécessite que la dérivée ne s'annule pas et que le point de départ soit proche de la solution.
Pourquoi utiliser les différences divisées ?
Les différences divisées sont utilisées pour construire le polynôme d'interpolation de Newton. Elles permettent d'ajouter facilement de nouveaux points de données sans avoir à recalculer l'intégralité du polynôme, contrairement à la méthode de Lagrange.
Qu'est-ce qu'une spline cubique naturelle ?
Une spline cubique naturelle est une fonction définie par des polynômes de degré 3 sur chaque intervalle, avec une continuité des dérivées premières et secondes. L'adjectif "naturelle" signifie que les dérivées secondes aux deux extrémités de l'intervalle global sont nulles.