Ce document est une série d'exercices d'Analyse Numérique, spécifiquement conçue pour les étudiants universitaires. Préparé par Yassine Hachaïchi, il couvre des concepts fondamentaux de l'interpolation polynomiale.
À travers des problèmes détaillés, les étudiants exploreront les notions suivantes :
- La construction et l'utilisation du polynôme d'interpolation de Newton.
- L'analyse et la majoration de l'erreur d'interpolation.
- Le choix optimal des points de support pour minimiser l'erreur.
- La démonstration de formules d'erreur et des polynômes de type Hermite.
Ces exercices visent à renforcer la compréhension théorique et pratique de l'interpolation numérique.
Analyse numérique : Interpolation polynomiale et estimation d'erreur
Ce document présente une série d'exercices d'analyse numérique, centrés sur l'interpolation polynomiale, notamment avec la méthode de Newton, et l'analyse de l'erreur d'interpolation.
Exercice 1 : Interpolation de la fonction ln(x) par le polynôme de Newton
Soient les valeurs numériques suivantes :
| x | ln(x) |
|---|---|
| 1 | 0 |
| 2 | 0.6931 |
| 3 | 1.0986 |
| 4 | 1.3863 |
- Déterminer le polynôme de Newton P(x) qui interpole la fonction `x → ln(x)` sur le support S = {1, 2, 3, 4}.
- Évaluer ln(2.7) et P(2.7) avec 4 chiffres après la virgule.
- Rappeler la formule de l'erreur d'interpolation. En la majorant, combien de décimales pouvez-vous garantir comme exactes dans le résultat de la question 2 ?
Exercice 2 : Étude de fonctions pour l'interpolation polynomiale
On considère une fonction `f: [−1, 1] → R`. Soit P le polynôme de degré 1 qui interpole f pour le support `S = {x₀, x₁}`.
- Étudier la fonction `g: x → (x - 1)(x + 1)` pour `x ∈ [−1, 1]`. Chercher son minimum. Déduire `sup{g(x) | x ∈ [−1, 1]}`.
- Même question pour la fonction `h: x → (x - √2/2)(x + √2/2)` pour `x ∈ [−1, 1]`.
- Pour réaliser une interpolation polynomiale d'une fonction `f: [−1, 1] → R`, quels points de support doit-on choisir ? Pourquoi ? (Ces points sont souvent appelés les nœuds de Tchebychev).
Exercice 3 : Erreur d'interpolation pour cos(x)
On considère `f: [0, 1] → R` définie par `f(x) = cos(x)`. On interpole f sur un support à (n+1) points de [0, 1].
- Montrer que `∀x ∈ [0, 1]` et pour tous points d'interpolation `xᵢ ∈ [0, 1]`, on a `|x - xᵢ| ≤ 1`.
- Montrer que l'erreur d'interpolation `e(x)` au point `x ∈ [0, 1]` vérifie `e(x) ≤ 1 / (n+1)!`.
- Combien de points de support sont nécessaires pour avoir `e(x) ≤ 10⁻³` ?
Exercice 4 : Formule générale de l'erreur d'interpolation
Soit `f ∈ Cⁿ⁺¹([a,b], R)`, et soient `a ≤ x₀ < x₁ < ... < xₙ ≤ b`. Soit P le polynôme d'interpolation de degré n associé aux points `(xᵢ)`.
- Soit `x ∈ [a,b]` fixé, distinct des `xᵢ`. Posons :
K(x) = `(f(x) - P(x)) / ((x - x₀)(x - x₁)...(x - xₙ))`
et soitW(t) = `f(t) - P(t) - (t - x₀)...(t - xₙ)K(x)`
- Montrer que W s'annule au moins `n + 2` fois.
- En déduire qu'il existe `c`, avec `min(x₀, x) < c < max(xₙ, x)`, tel que `W⁽ⁿ⁺¹⁾(c) = 0`.
- Montrer que :
`f(x) - P(x) = ((x - x₀)(x - x₁)...(x - xₙ) / (n + 1)!) * f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)`
- En déduire que :
`|f(x) - P(x)| ≤ (max|f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)| / (n + 1)!) * max(|(t - x₀)...(t - xₙ)|)`
Exercice 5 : Polynôme d'interpolation de Hermite
Soit `f: [1, 2] → R` une fonction de classe `C³`. Dans cet exercice, on cherche un polynôme P de degré `≤ 2` tel que `P(1) = f(1)`, `P(2) = f(2)` et `P'(1) = f'(1)`.
- On note `p₁` le polynôme d'interpolation de f pour le support `{1, 2}`. Calculer `p₁` en fonction de `f(1)` et `f(2)`.
- On note `P(x) = α(x - 1)(x - 2) + p₁(x)`. Vérifier que P est un polynôme de degré `≤ 2` tel que `P(1) = f(1)` et `P(2) = f(2)`.
- Calculer `α` pour avoir `P'(1) = f'(1)`.
- On veut évaluer l'erreur en `x ∈ [0, 1]` lorsqu'on approxime f par P. On introduit la fonction :
`g(t) = f(t) - P(t) - A(t - 1)²(t - 2)`, avec `A = (f(x) - P(x)) / ((x - 1)²(x - 2))`
- Montrer que `g(1) = g(2) = g(x) = 0` et que `g'(1) = 0`.
- Montrer qu'il existe `c ∈ [1, 2]` tel que `g'''(c) = 0`.
- Conclure que pour tout `x ∈ [1, 2]`, il existe `c ∈ [1, 2]` tel que :
`|f(x) - P(x)| = |f'''(c)| * (x - 1)² * |x - 2| / 6`
FAQ : Questions Fréquentes sur l'Interpolation Numérique
Qu'est-ce que l'interpolation polynomiale ?
L'interpolation polynomiale est une technique mathématique utilisée pour construire un polynôme qui passe par un ensemble donné de points de données. Cela permet d'estimer des valeurs intermédiaires non explicitement mesurées et de modéliser des fonctions complexes.
Pourquoi est-il important de calculer l'erreur d'interpolation ?
Le calcul de l'erreur d'interpolation est crucial pour évaluer la précision de l'approximation polynomiale. Il permet de déterminer la fiabilité des estimations obtenues et, dans certains cas, de choisir le nombre de points de support nécessaires pour atteindre une précision désirée.
Qu'est-ce que le polynôme de Newton ?
Le polynôme de Newton est une forme spécifique d'interpolation polynomiale qui utilise des différences divisées. Sa construction est itérative, ce qui le rend efficace pour ajouter de nouveaux points de données sans recalculer l'intégralité du polynôme. C'est une méthode courante en analyse numérique.