Ce document constitue un support de travaux dirigés (TD) destiné aux étudiants en ingénierie de l'École Nationale des Sciences Appliquées de Fès. Il propose une série d'exercices pratiques axés sur l'analyse numérique, visant à renforcer la maîtrise des méthodes d'approximation et d'intégration numérique.
Le contenu pédagogique s'articule autour des notions suivantes :
- Application des méthodes des trapèzes et de Simpson au calcul de vitesse.
- Interpolation polynomiale de Lagrange et démonstration de formules d'intégration.
- Étude de la convergence et estimation d'erreurs pour les intégrales généralisées.
École Nationale des Sciences Appliquées de Fès
Module d’analyse numérique
G.I. & G.S.E. & G.T.R.
TD 3 : Résolution numérique des systèmes linéaires
Exercice 1 : Calcul de la vitesse d'une fusée
On lance une fusée verticalement du sol et l’on mesure pendant les premières 80 secondes l’accélération γ :
| t (en s) | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| γ (en m/s²) | 30 | 31.6 | 33.44 | 35.47 | 37.75 | 40.33 | 43.29 | 46.70 | 50.67 |
Calculez la vitesse V de la fusée à l’instant t = 80s, par la méthode des trapèzes puis par la méthode de Simpson. Rappelons que la vitesse est obtenue par l'intégration de l'accélération sur l'intervalle de temps considéré.
Exercice 2 : Interpolation de Lagrange et Méthode de Simpson
Soit f une fonction de classe C²([a,b]), on pose γ = (a + b) / 2.
1. Écrire le polynôme d’interpolation de Lagrange PL(t) passant par les points A0 = (a, f(a)), A1 = (γ, f(γ)) et A2 = (b, f(b)).
2. Montrer que : ∫ de a à b PL(t) dt = [(b - a) / 6] * [f(a) + 4f(γ) + f(b)].
3. On considère la formule d’intégration suivante : ∫ de -1 à 1 f(t) dt = a1 f(-1) + a2 f(0) + a3 f(1) + R(f), où R(f) est le reste. Déterminer a1, a2 et a3 pour que la formule d’intégration soit exacte pour les polynômes de degrés ≤ 2.
4. Pour les valeurs de a1, a2 et a3 trouvées, la formule d’intégration est-elle exacte pour les polynômes de degrés ≤ 3 ?
5. À l’aide d’un changement de variable, retrouver à partir de la question 3 la formule de Simpson : ∫ de a à b f(t) dt ≈ [(b - a) / 6] * [f(a) + 4f(γ) + f(b)].
Exercice 3 : Étude de l'intégrale de Gauss
On se propose de montrer que l’intégrale I = ∫ de 0 à +∞ e^(-x²) dx est convergente et d’en calculer une valeur approchée par la méthode de Simpson à ε près.
1. Soit A appartenant à [1, +∞[. On veut évaluer IA = ∫ de 0 à A e^(-x²) dx à ε/2 près.
(a) Soit la fonction g donnée par g(x) = e^(-x²) p(x), où p est un polynôme quelconque. Montrer par récurrence sur n ≥ 0 que la dérivée n-ième vérifie g(n)(x) = e^(-x²) pn(x), avec p0 = p et pn+1(x) = p'n(x) - 2x pn(x).
(b) En déduire la dérivée quatrième f(4) de la fonction f définie par f(x) = e^(-x²).
(c) Déterminer un majorant M de |f(4)| sur [0, A].
(d) En déduire, en fonction de A, M et ε, le pas maximal h_max autorisé en méthode de Simpson pour que l’erreur d’intégration soit inférieure à ε/2.
2. Convergence de I et choix de A :
(a) On pose R(X) = ∫ de A à X e^(-x²) dx. Montrer que R(X) est défini et que R(X) ≤ ∫ de A à X e^(-x) dx.
(b) Calculer b(X) = ∫ de A à X e^(-x) dx et sa limite lorsque X tend vers +∞ en fonction de A.
(c) Montrer que pour tout X ≥ A, R(X) ≤ e^(-A).
(d) En déduire que I est convergente et que ∫ de A à +∞ e^(-x²) dx ≤ e^(-A).
(e) Déterminer en fonction de ε une valeur de A telle que ∫ de A à +∞ e^(-x²) dx ≤ ε/2.
3. Bilan : On donne ε = 10⁻⁴.
(a) Déterminer la valeur de A correspondante.
(b) Déterminer le pas maximal h_max.
(c) Conclure sur le nombre de sous-intervalles à considérer pour évaluer I à 10⁻⁴ près.
FAQ : Questions Fréquemment Posées
Pourquoi utiliser la méthode de Simpson plutôt que celle des trapèzes ?
La méthode de Simpson est généralement plus précise car elle utilise une approximation quadratique (paraboles) de la fonction, ce qui réduit l'erreur d'approximation par rapport à l'approximation linéaire des trapèzes.
Comment garantit-on la précision d'un calcul intégral numérique ?
La précision est garantie en calculant le pas h maximal à l'aide de la majoration de la dérivée quatrième de la fonction (pour Simpson) ou de la dérivée seconde (pour les trapèzes) sur l'intervalle d'étude.
Qu'est-ce qu'une intégrale convergente dans ce contexte ?
Une intégrale est dite convergente lorsque la limite de l'aire sous la courbe existe et est finie quand l'une des bornes tend vers l'infini, comme c'est le cas pour l'intégrale de Gauss étudiée ici.