Ce document présente le premier examen d'Analyse Numérique destiné aux étudiants en cinquième semestre (S5) de l'École Nationale des Sciences Appliquées de Fès. Il propose une évaluation structurée des compétences fondamentales en calcul scientifique à travers les thématiques suivantes :
- La décomposition LU et la résolution de systèmes linéaires ;
- L'étude de la convergence des méthodes itératives ;
- La recherche de racines par les méthodes du point fixe et de Newton ;
- L'application de la méthode de la sécante.
Ce support constitue un outil de révision académique essentiel pour maîtriser les algorithmes numériques de base.
Analyse Numérique : Examen Corrigé et Exercices d'Application
Cet examen d'analyse numérique, initialement destiné aux étudiants de l'École Nationale des Sciences Appliquées de Fès (Filières G.Inf, S.E.I.I et G.T.R), porte sur des concepts fondamentaux tels que la décomposition de matrices, les méthodes itératives et la recherche de racines d'équations non linéaires.
Exercice 1 : Décomposition LU et Résolution de Systèmes
1. Décomposition LU avec permutation
On considère la matrice A définie par :
A =
| 0 3 1 |
| 4 1 1 |
| 2 2 4 |
La consigne demande de montrer que la décomposition LU de la matrice obtenue en permutant les lignes 1 et 2 de la matrice A s'écrit PA = LU, où P représente la matrice de permutation. L'objectif est de déterminer explicitement les matrices P, L (matrice triangulaire inférieure avec des 1 sur la diagonale) et U (matrice triangulaire supérieure).
2. Résolution du système linéaire
À l'aide de la décomposition obtenue précédemment, il faut résoudre le système d'équations linéaires Ax = b, avec le vecteur second membre b = (1, 5, 6)t.
Exercice 2 : Convergence des Méthodes Itératives
Soit A une matrice inversible d'ordre n qui se décompose sous la forme A = I - B, où B est une matrice d'ordre n vérifiant ||B|| < 1 pour une norme subordonnée. On considère la solution x du système Ax = b. On étudie la méthode itérative définie par : xk+1 = Bxk + b, pour tout k ≥ 0, avec x0 donné.
Propriétés de l'erreur et du résidu
L'exercice propose de démontrer les points suivants :
- Montrer que l'erreur ek+1 = Bek et en déduire la convergence de la méthode vers la solution exacte x.
- Établir les relations xk+1 = xk - rk, rk = Aek et rk+1 = Brk, où rk est le résidu.
- Pour K ≥ 1, montrer que xK+1 = x0 - (Σ Bk)r0 et conclure que x = x0 - A-1r0.
- Démontrer l'inégalité sur la norme de l'inverse : ||A-1|| ≤ 1 / (1 - ||B||), et en déduire que ||ek|| ≤ (||B||k / (1 - ||B||)) * ||r0||.
Exercice 3 : Recherche de Racines par Point Fixe et Newton
L'objectif est de calculer l'unique racine positive s de l'équation f(x) = ex - x - 2 = 0. Deux fonctions de point fixe sont proposées : g1(x) = ex - 2 et g2(x) = ln(2 + x).
Analyse de convergence
- Justifier l'obtention des fonctions g1 et g2 à partir de l'équation f(x) = 0.
- Déterminer l'intervalle de longueur 1 contenant la racine s.
- Étudier la convergence des méthodes de points fixes basées sur g1 et g2, et préciser leur ordre de convergence respectif.
- Réaliser deux itérations à partir de x0 = 1 pour chaque méthode.
Méthode de Newton-Raphson
Appliquer la méthode de Newton à l'équation de départ f(x) = 0 en effectuant deux itérations à partir de x0 = 1. Identifier également pour quelle(s) valeur(s) de x0 la méthode de Newton ne peut pas être initialisée (cas où la dérivée s'annule).
Exercice 4 : La Méthode de la Sécante
1. Équation de la sécante
Établir l'équation de la droite (la sécante) passant par les points (a, f(a)) et (b, f(b)).
2. Formule d'itération
Démontrer la formule de la méthode de la sécante pour obtenir la première approximation x1 d'un zéro de la fonction f :
x1 = (a*f(b) - b*f(a)) / (f(b) - f(a)).
3. Critère de sélection de l'intervalle
Expliquer le critère permettant de choisir l'intervalle suivant pour l'itération, soit [a, x1] ou [x1, b], en fonction des signes des valeurs de la fonction aux bornes.
FAQ : Questions Fréquentes sur l'Analyse Numérique
Pourquoi utilise-t-on la décomposition LU avec permutation ?
La permutation (ou pivotage partiel) est indispensable lorsque le pivot est nul ou très proche de zéro. Elle permet d'assurer la stabilité numérique de l'algorithme et d'éviter les divisions par zéro lors de l'élimination de Gauss.
Quelle est la condition principale de convergence d'une méthode de point fixe ?
Pour qu'une méthode de point fixe xk+1 = g(xk) converge vers une solution s, il suffit que la fonction g soit contractante sur l'intervalle considéré, ce qui se traduit souvent par la condition |g'(s)| < 1.
Quelle est la différence entre la méthode de Newton et celle de la sécante ?
La méthode de Newton nécessite la connaissance de la dérivée de la fonction f, ce qui offre une convergence quadratique. La méthode de la sécante remplace la dérivée par un taux d'accroissement, ce qui est utile quand la dérivée est difficile à calculer, bien que sa convergence soit légèrement plus lente (ordre environ 1.618).