Tp 04 system equations gauss - analyse numérique avec matlab

Ce document pédagogique, conçu comme un travail pratique de Méthodes Numériques, est destiné aux étudiants universitaires, particulièrement ceux inscrits en Génie Électrique.

Il aborde la résolution numérique des systèmes d'équations linéaires, guidant les étudiants à travers l'implémentation de la méthode d'élimination de Gauss en utilisant le logiciel MATLAB.

Il couvre les notions suivantes:

Vérification et calcul de solutions de systèmes linéaires.
Implémentation détaillée de l'algorithme de Gauss.
Introduction à la décomposition LU.
Résolution de systèmes avec plusieurs seconds membres.

Télécharger PDF

UNIVERSITÉ DE GHARDAÏA

FACULTÉ DES SCIENCES ET TECHNOLOGIE

DÉPARTEMENT DES SCIENCES ET TECHNIQUES

MÉTHODES NUMÉRIQUES 2ème GÉNIE ÉLEC.

2014-2015

TP – 04 Systèmes d’équations linéaires (Gauss)

But du TP

Implémentation d’un code Matlab pour résoudre un système d’équations linéaires par la méthode d’élimination de Gauss.

1. Préambule

Soit à résoudre le système linéaire suivant :

−x1 + 2x2 − 3x3 + 4x4 = 0
2x1 + 3x2 + 6x3 − x4 = 28
2x1 − x2 + 2x3 + 2x4 = 11
5x1 + 2x2 − 3x3 + x4 = 21

En calculant le déterminant avec la fonction det, vérifier que le système admet une solution unique.
Calculer la solution en utilisant la fonction inv, ensuite avec la division gauche (\).

Explication : Un système linéaire admet une solution unique si et seulement si le déterminant de sa matrice associée est non nul.

2. Méthode d’élimination de Gauss

Dans la méthode de Gauss, le système Ax=b est transformé pour obtenir un système triangulaire Ãx=Ãb qui est ensuite résolu par remontée triangulaire. Pour réaliser le script sous Matlab, on suit les étapes suivantes :

Écrire une fonction trigauss qui reçoit en argument une matrice M et qui renvoie cette même matrice après triangularisation par la méthode de Gauss.
Écrire une fonction soltri qui reçoit en argument la matrice triangulaire précédente M et qui renvoie la solution SOL obtenue par remontée triangulaire.
Dans le script principal, on doit lire la matrice A et le vecteur b, ensuite construire la matrice augmentée Ag.
Appeler la fonction trigauss avec la matrice Ag comme argument, ensuite la fonction soltri pour trouver le vecteur x solution du système.

Algorithme de la fonction `trigauss`

Obtenir la dimension n×m de M
Pour i=1 → n-1 faire
  Pour j=i+1 → n faire
    a ← Mji / Mii
    Pour k=1 → m faire
      Mjk ← Mjk - a × Mik
    Fin pour
  Fin pour
Fin pour
Retourner M

Algorithme de la fonction `soltri`

Obtenir la dimension n×m de M
Pour i=n → 1 faire
  Pour j=i+1 → n faire
    Mim ← Mim - Mij × SOL(j)
  Fin pour
  SOL(i) ← Mim / Mii
Fin pour
Retourner SOL

Modifier la fonction trigauss pour qu’elle renvoie aussi la matrice W qui satisfait : W.A = Ã et déduire une décomposition LU de A.

Explication : La décomposition LU permet de factoriser une matrice A en produit de deux matrices, une triangulaire inférieure L et une triangulaire supérieure U (qui est Ã dans ce contexte), ce qui simplifie la résolution de systèmes linéaires et le calcul de déterminants.
Modifier la fonction soltri pour pouvoir résoudre le système avec plusieurs seconds membres à la fois (i.e. la dimension n×m de Ag est telle que m ≥ n+1).

Foire aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce que la méthode d'élimination de Gauss ?

La méthode d'élimination de Gauss est un algorithme fondamental en algèbre linéaire pour résoudre des systèmes d'équations linéaires. Elle consiste à transformer un système d'équations en une forme triangulaire supérieure, appelée forme échelonnée, puis à trouver les solutions par un processus de substitution rétrograde (remontée triangulaire).

Pourquoi est-il important de vérifier le déterminant d'un système linéaire ?

Le déterminant d'un système linéaire est crucial car il fournit des informations sur l'existence et l'unicité des solutions. Si le déterminant de la matrice des coefficients est non nul, le système admet une solution unique. Un déterminant nul, en revanche, indique que le système peut avoir une infinité de solutions ou aucune solution.

À quoi sert la décomposition LU dans la résolution de systèmes linéaires ?

La décomposition LU factorise une matrice A en un produit de deux matrices : une matrice triangulaire inférieure L et une matrice triangulaire supérieure U. Cette factorisation est particulièrement utile pour résoudre efficacement plusieurs systèmes linéaires qui partagent la même matrice des coefficients A mais ont des vecteurs seconds membres différents, car elle évite de recalculer la triangularisation pour chaque nouveau second membre.