Tp 06 interpolation lagrange - analyse numérique avec matlab

Ce document, destiné aux étudiants universitaires en Génie Électrique, constitue le Travail Pratique numéro 6 du cours de Méthodes Numériques. Il vise à explorer l'interpolation polynomiale, un concept fondamental en analyse numérique.

Ce TP aborde l'implémentation de codes Matlab pour déterminer des polynômes d'interpolation. Il couvre notamment :

L'utilisation de la fonction polyfit de Matlab pour l'interpolation polynomiale.
La compréhension et l'application de la méthode d'interpolation de Lagrange.
La comparaison et la visualisation des résultats obtenus par différentes approches.

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TP 06 : Interpolation polynomiale (Lagrange)

Ce document est un support pédagogique pour le cours de Méthodes Numériques, destiné aux étudiants en 2ème année de Génie Électrique.

But du TP

Implémentation d'un code Matlab pour trouver l'unique polynôme d'interpolation de degré n-1 qui passe par n points donnés par la méthode de Lagrange.

Préambule

Soit l'ensemble des coordonnées des points suivants :

Coordonnées x : [1, 6, 4, 3, 2, 5]
Coordonnées y : [1, 1, 3, 4, 1, 5]

Trouver l'unique polynôme de degré cinq qui passe par les six points précédents en utilisant la fonction polyfit de Matlab.
Dessiner le graphe du polynôme obtenu en utilisant plot et polyfit, et s'assurer qu'il passe par les points donnés.

Méthode de Lagrange

L'unique polynôme de degré n-1 qui passe par les n points (x_i, y_i) est donné par :

p(x) = Σ_i=1ⁿ L_i(x)y_i

Tel que :

L_i(x) = Π_{j=1, j≠i}ⁿ (x - x_j) / (x_i - x_j)

En utilisant les expressions symboliques sous Matlab, on obtient le polynôme d'interpolation en suivant l'algorithme suivant :

Lire x, y.
Déclarer les variables symboliques t, L, p (avec Matlab, utiliser syms t x L p).
p ← 0
Pour i = 1 → n faire
1. L_i ← 1
2. Pour j = 1 → n faire
  1. Si j ≠ i alors L_i ← L_i × (t - x_j) / (x_i - x_j)
  2. Fin si
3. Fin pour (boucle j)
4. p ← p + L_i × y_i
Fin pour (boucle i)
Afficher p.

Une fois le polynôme obtenu, les étapes suivantes sont requises :

Dessiner le graphe du polynôme obtenu et s'assurer qu'il passe par les points donnés.
Comparer le polynôme obtenu avec le polynôme obtenu par polyfit.
Dessiner sur le même graphe les deux polynômes et s'assurer qu'ils se superposent parfaitement.

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce que l'interpolation polynomiale ?

L'interpolation polynomiale est une technique mathématique utilisée pour construire un polynôme qui passe exactement par un ensemble de points de données spécifiés. Elle permet d'estimer des valeurs à des points intermédiaires pour lesquels aucune donnée n'est initialement disponible.

En quoi la méthode de Lagrange est-elle différente des autres méthodes d'interpolation ?

La méthode de Lagrange est une approche directe pour construire le polynôme d'interpolation sans avoir à résoudre un système d'équations linéaires. Elle est basée sur des polynômes de base, chacun étant égal à un à l'un des points de données et à zéro à tous les autres, ce qui simplifie sa construction.

Quel est le rôle des fonctions Matlab "polyfit" et "plot" ?

polyfit(x, y, n) est une fonction Matlab qui calcule les coefficients d'un polynôme de degré n qui ajuste le mieux les données x et y. Dans le cadre de l'interpolation, pour n points, on utilise un degré de n-1 pour obtenir le polynôme unique passant par ces points. La fonction plot est ensuite employée pour visualiser graphiquement le polynôme obtenu et les points de données, permettant une vérification visuelle de l'exactitude de l'interpolation.