Optique : Examen physique optique 2
Télécharger PDFOptique 2 : Examen de Rattrapage (Février 2006)
Semestre Trois (S3): 2005 / 06
Filière : SMP
Module : Physique 5
Élément de module : Optique 2
Faculté des Sciences
Département de Physique
Partie I : Questions de cours
1- Différences entre interférences par division du front d’onde et par division d’amplitude
Les interférences lumineuses peuvent être classées en deux catégories principales, selon la manière dont les ondes cohérentes sont obtenues à partir d'une source unique :
- Interférences par division du front d’onde : Dans ce type d'interférences, les deux ondes cohérentes sont produites en divisant le front d'onde d'une source lumineuse ponctuelle ou quasi-ponctuelle. Cela est réalisé en utilisant des dispositifs qui prélèvent deux parties distinctes du même front d'onde. Les exemples classiques incluent les fentes de Young, les miroirs de Fresnel ou le bilentille de Billet. La cohérence spatiale est primordiale pour ce type d'interférences.
- Interférences par division d’amplitude : Ici, l'amplitude d'une onde lumineuse est divisée en deux ou plusieurs parties par un processus de réflexion et de transmission. Chaque partie parcourt un chemin optique différent avant d'être recombinée pour interférer. Ces dispositifs exploitent généralement la réflexion sur des surfaces minces ou des lames. Des exemples typiques sont les interféromètres de Michelson et de Fabry-Pérot, ainsi que les couches minces (bulles de savon, flaques d'huile). La cohérence temporelle est cruciale pour observer ce type d'interférences, car elle permet de compenser les différences de chemins optiques.
2- Principe de Huygens-Fresnel relatif à la diffraction d’une onde lumineuse plane
Le principe de Huygens-Fresnel est un concept fondamental en optique ondulatoire qui combine les idées de Huygens et de Fresnel pour expliquer la propagation de la lumière et les phénomènes de diffraction. Il stipule que chaque point d'un front d'onde peut être considéré comme la source d'ondelettes secondaires sphériques, qui se propagent dans toutes les directions avec la même vitesse que l'onde originale. Le nouveau front d'onde à un instant ultérieur est l'enveloppe de toutes ces ondelettes secondaires.
Pour la diffraction, ce principe est appliqué en considérant les ouvertures ou obstacles comme limitant l'étendue des sources d'ondelettes. La lumière diffractée observée en un point est le résultat de l'interférence de toutes les ondelettes secondaires émises par les points du front d'onde non masqués par l'obstacle ou l'ouverture. Cela permet de prédire les motifs de diffraction complexes observés, tels que ceux produits par une fente simple ou une ouverture circulaire.
Partie II : Exercices
On réalise, dans le vide, l’expérience des fentes d’Young; les fentes étant vues depuis la frange centrale sous un angle θ = 0,5 × 10⁻³ rad. On pose : x = M₀ M, M étant un point de l’écran d’observation E, voisin de l’origine des abscisses M₀.
1- La source S est un laser He-Ne émettant une radiation d’intensité I₀ et de longueur d’onde λ₀ = 0,632 µm.
a) Montrer que l’intensité résultante en M peut s’écrire sous la forme : I(p) = I₀ f(p)
Dans l'expérience des fentes d'Young, la différence de marche δ entre les deux ondes issues des fentes et arrivant au point M est donnée par δ = ax/D, où a est la distance entre les fentes et D est la distance entre les fentes et l'écran. L'angle θ sous lequel les fentes sont vues depuis la frange centrale est θ = a/D. Donc, la différence de marche peut s'écrire δ = xθ.
La différence de phase Δφ est liée à la différence de marche par Δφ = (2π/λ₀)δ = (2π/λ₀)xθ.
L'intensité résultante en M est donnée par la formule d'interférence pour deux sources cohérentes d'égale intensité (I₀/2 pour chaque fente) :
I(x) = 2(I₀/2) [1 + cos(Δφ)] = I₀ [1 + cos((2π/λ₀)xθ)]
En définissant l'ordre d'interférence p comme p = δ/λ₀ = xθ/λ₀, alors Δφ = 2πp. L'intensité peut donc s'écrire :
I(p) = I₀ [1 + cos(2πp)]
La fonction sinusoïdale f(p) est donc f(p) = 1 + cos(2πp).
b) Déterminer la distance x₅ entre cinq franges noires successives.
La position des franges noires (minima d'intensité) correspond à une différence de phase Δφ = (2k + 1)π, où k est un entier. Cela signifie que l'ordre d'interférence p doit être un multiple impair de 1/2, soit p = (2k+1)/2.
La distance entre deux franges noires successives est l'interfrange (i). Pour les fentes de Young, l'interfrange est donné par i = λ₀D/a = λ₀/θ.
i = 0,632 × 10⁻⁶ m / (0,5 × 10⁻³) rad = 1,264 × 10⁻³ m = 1,264 mm.
La distance entre cinq franges noires successives (par exemple, de la 1ère à la 5ème frange noire) est égale à 4 fois l'interfrange. Si l'on compte "cinq franges noires successives", cela désigne un ensemble de 5 franges, ce qui représente 4 intervalles d'interfrange.
x₅ = 4i = 4 × 1,264 mm = 5,056 mm.
c) Les franges sont-elles visibles pour un observateur regardant E à la distance d = 25 cm et dont le pouvoir séparateur de son œil est α = 1,2 × 10⁻³ rad ?
Pour que les franges soient visibles, l'angle sous lequel elles sont vues par l'œil doit être supérieur ou égal au pouvoir séparateur de l'œil.
L'interfrange (i) est la distance entre deux franges claires ou sombres successives sur l'écran. L'angle apparent φ sous lequel l'œil voit une frange (ou l'interfrange) depuis la distance d est φ = i/d.
φ = 1,264 × 10⁻³ m / 0,25 m = 5,056 × 10⁻³ rad.
Comparons cet angle à l'angle de pouvoir séparateur de l'œil α = 1,2 × 10⁻³ rad.
Comme φ (5,056 × 10⁻³ rad) > α (1,2 × 10⁻³ rad), les franges sont visibles pour l'observateur.
2- La source S est remplacée par une diode laser de longueur d’onde λ. La distance entre cinq franges noires successives devient x₅’ = 5,4 mm. Déterminer λ.
La nouvelle distance entre cinq franges noires successives est x₅’ = 5,4 mm.
Cela signifie que 4 interfranges (i') valent 5,4 mm. Donc, i' = 5,4 mm / 4 = 1,35 mm.
L'interfrange est donné par i' = λ/θ. Nous pouvons donc déterminer la nouvelle longueur d'onde λ :
λ = i' × θ = (1,35 × 10⁻³ m) × (0,5 × 10⁻³ rad) = 0,675 × 10⁻⁶ m = 0,675 µm.
La longueur d'onde de la diode laser est de 0,675 µm.
3- On remplace la diode laser par une lampe de mercure émettant deux radiations de longueurs d’onde : λ₁ = 0,432 µm et λ₂ = 0,576 µm. Pour quelles valeurs des ordres d’interférence p₁ et p₂ observe-t-on la première coïncidence des deux systèmes de franges.
La coïncidence des franges se produit lorsque la position d'une frange brillante de la première radiation (λ₁) correspond à la position d'une frange brillante de la seconde radiation (λ₂).
La position d'une frange brillante d'ordre p est donnée par xₚ = p × i = p × λ/θ.
Pour la coïncidence, xₚ₁ = xₚ₂.
p₁λ₁/θ = p₂λ₂/θ
p₁λ₁ = p₂λ₂
p₁ × 0,432 µm = p₂ × 0,576 µm
p₁/p₂ = 0,576 / 0,432
Simplifions la fraction :
p₁/p₂ = 576 / 432
Divisons par le plus grand commun diviseur. 576 = 4 × 144 et 432 = 3 × 144.
p₁/p₂ = 4/3
La première coïncidence des franges brillantes aura lieu pour les plus petits entiers p₁ et p₂ qui satisfont cette relation.
Donc, p₁ = 4 et p₂ = 3.
La première coïncidence se produit lorsque la 4ème frange brillante de la radiation λ₁ coïncide avec la 3ème frange brillante de la radiation λ₂.
4- La source émet maintenant une lumière blanche.
a) Décrire le phénomène d’interférence observé sur l’écran E.
Lorsque la source émet de la lumière blanche, qui est un mélange continu de longueurs d'onde du spectre visible, le phénomène d'interférence observé sur l'écran E est caractérisé par :
- Une frange centrale brillante et blanche : Pour toutes les longueurs d'onde, la différence de marche au centre de l'écran (x=0) est nulle, ce qui correspond à un maximum d'intensité. Toutes les couleurs se superposent pour former une frange blanche intense.
- Des franges colorées de part et d'autre de la frange centrale : À mesure que l'on s'éloigne du centre, la différence de marche n'est plus nulle. L'interfrange (i = λ/θ) dépend de la longueur d'onde λ. Les franges de différentes couleurs se décalent les unes par rapport aux autres. On observe alors une succession de franges irisées ou colorées, avec des dominantes de couleur qui varient en fonction de la position. Par exemple, le bleu (courtes longueurs d'onde) a un interfrange plus petit et ses franges sont plus serrées que celles du rouge (longues longueurs d'onde).
- Une diminution progressive du contraste et disparition des franges : Plus on s'éloigne de la frange centrale, plus les franges des différentes longueurs d'onde se superposent de manière désordonnée. Le motif d'interférence devient de moins en moins net, le contraste diminue rapidement et les franges finissent par disparaître, laissant place à un éclairage blanc uniforme. Ceci est dû à la faible cohérence temporelle de la lumière blanche.
b) On retire l’écran E et on regarde les franges à travers un spectroscope placé à une distance x = 4 mm de M₀. Déterminer les longueurs d’onde des raies qui manquent dans le spectre observé entre 0,40 µm et 0,80 µm.
Lorsque l'on observe la lumière blanche d'interférence à une position x donnée à travers un spectroscope, on décompose la lumière en ses longueurs d'onde constitutives. Les longueurs d'onde qui sont en extinction (manquantes) à cette position correspondent aux minima d'interférence.
Pour un minimum d'interférence, la différence de marche δ doit être un multiple impair de λ/2 :
δ = (2k + 1)λ/2, où k est un entier.
Nous savons que δ = xθ.
Donc, xθ = (2k + 1)λ/2.
On cherche les longueurs d'onde λ pour lesquelles il y a extinction :
λ = 2xθ / (2k + 1)
Avec x = 4 mm = 4 × 10⁻³ m et θ = 0,5 × 10⁻³ rad.
λ = 2 × (4 × 10⁻³ m) × (0,5 × 10⁻³ rad) / (2k + 1)
λ = (4 × 10⁻⁶ m) / (2k + 1)
Nous cherchons les valeurs de λ comprises entre 0,40 µm et 0,80 µm (soit 0,40 × 10⁻⁶ m et 0,80 × 10⁻⁶ m).
0,40 × 10⁻⁶ ≤ (4 × 10⁻⁶) / (2k + 1) ≤ 0,80 × 10⁻⁶
Divisons par 10⁻⁶ :
0,40 ≤ 4 / (2k + 1) ≤ 0,80
Inversons les termes (et changeons le sens des inégalités) :
1 / 0,80 ≤ (2k + 1) / 4 ≤ 1 / 0,40
1,25 ≤ (2k + 1) / 4 ≤ 2,5
Multiplions par 4 :
5 ≤ 2k + 1 ≤ 10
Soustraire 1 :
4 ≤ 2k ≤ 9
Diviser par 2 :
2 ≤ k ≤ 4,5
Puisque k doit être un entier, les valeurs possibles pour k sont 2, 3, 4.
- Pour k = 2 : 2k + 1 = 5. λ = 4 × 10⁻⁶ / 5 = 0,8 × 10⁻⁶ m = 0,800 µm.
- Pour k = 3 : 2k + 1 = 7. λ = 4 × 10⁻⁶ / 7 ≈ 0,571 × 10⁻⁶ m = 0,571 µm.
- Pour k = 4 : 2k + 1 = 9. λ = 4 × 10⁻⁶ / 9 ≈ 0,444 × 10⁻⁶ m = 0,444 µm.
Les longueurs d'onde des raies qui manquent dans le spectre observé entre 0,40 µm et 0,80 µm sont : 0,800 µm, 0,571 µm et 0,444 µm.
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce que l'interfrange en optique ?
L'interfrange est la distance séparant deux franges claires ou sombres consécutives dans un motif d'interférence. Sa valeur dépend de la longueur d'onde de la lumière, de la distance entre les sources cohérentes, et de la distance entre les sources et l'écran d'observation.
Comment la lumière blanche affecte-t-elle les motifs d'interférence ?
Avec la lumière blanche, la frange centrale reste blanche car toutes les longueurs d'onde interfèrent constructivement au centre. Cependant, en s'éloignant du centre, l'interfrange varie avec la longueur d'onde, ce qui entraîne des franges colorées. Le contraste diminue rapidement et les franges disparaissent loin du centre, car les maxima et minima des différentes couleurs se superposent de manière désordonnée.
Qu'est-ce que le pouvoir séparateur de l'œil et pourquoi est-il important pour l'observation des franges ?
Le pouvoir séparateur de l'œil est la capacité minimale de l'œil à distinguer deux points ou lignes rapprochés comme étant distincts. Il est exprimé en angle. Pour que les franges d'interférence soient visibles, l'angle sous lequel l'œil les perçoit (qui dépend de l'interfrange et de la distance d'observation) doit être supérieur ou égal à son pouvoir séparateur. Si l'angle est trop petit, les franges apparaitront floues ou indiscernables.