Optique : Exercices optique geometrique
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Soit un système optique comportant un dioptre plan (Σ) séparant deux milieux (1) et (2), d’indice de réfraction n₁ = 3/2 et n₂ = 4/3 respectivement, et un miroir plan (M). Une source lumineuse (S), située dans le milieu (1), émet dans toutes les directions un rayonnement monochromatique de longueur d’onde λ₁ = 0,50 μm. La vitesse de la lumière dans le vide est c = 3x10⁸ m/s.
1. Propriétés d’un milieu de propagation rectiligne
Quelles sont les propriétés d’un milieu où un rayonnement lumineux visible se propage en ligne droite dans toutes les directions ?
Un tel milieu est dit homogène, isotrope et transparent.
2. Calcul de la vitesse du rayonnement dans le milieu 1
Calculer la vitesse v₁ (m/s) du rayonnement de (S) dans le milieu (1).
La vitesse de la lumière dans un milieu d'indice n est donnée par la relation v = c/n.
3. Calcul de la fréquence du rayonnement dans le milieu 2
Calculer la fréquence f₂ (Hz) du rayonnement de (S) dans le milieu (2).
La fréquence d'une onde lumineuse ne change pas lorsqu'elle passe d'un milieu à un autre.
4. Rappel des lois de Snell-Descartes
Rappeler brièvement les lois de Snell-Descartes en optique géométrique.
- Le rayon incident, la normale au point d'incidence et le rayon réfléchi sont dans un même plan. De même, le rayon incident, la normale et le rayon réfracté sont dans un même plan.
- L'angle d'incidence i₁ et l'angle de réflexion r sont égaux : i₁ = r.
- Les angles d'incidence i₁ et de réfraction i₂ sont liés par la relation n₁ sin(i₁) = n₂ sin(i₂).
5. Réflexion totale sur le dioptre (Σ)
a) Possibilité de réflexion totale
Peut-on avoir une réflexion totale de la lumière sur le dioptre (Σ) ? Justifier votre réponse.
La réflexion totale ne peut se produire que si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent (n₁ > n₂), et si l'angle d'incidence est supérieur à l'angle limite.
b) Détermination du rayon de surface
Déterminer le rayon a de la surface de (Σ) qui transmet la lumière au milieu (2) en fonction de la distance d. (Voir figure 1)
6. Position et nature de l'image définitive S' sous conditions de Gauss
Le système est désormais utilisé dans les conditions de Gauss. Déterminer, par rapport à O₁, la position de l’image définitive S' de S à travers le système en fonction des distances d et e. En déduire la nature de l’image S'.
Les conditions de Gauss impliquent l'utilisation de rayons paraxiaux, c'est-à-dire proches de l'axe optique et faisant de petits angles avec celui-ci. Cela simplifie les calculs en permettant des approximations trigonométriques.
Problème
L’étude porte sur un système optique centré (S) formé d’une boule en verre d’indice n, de centre C et de rayon R, qui sépare un liquide d’indice n₁ (n₁ > n) et l’air d’indice 1. (Figure 2) Soit (AB) un petit objet sur l’axe optique dans le liquide et (A'B') son image à travers le système (S). On notera (A₁B₁) l’image intermédiaire. On suppose dans tout le problème que les conditions de Gauss sont satisfaites.
1. Sous-systèmes optiques constituants et leur nature
Quels sont les sous-systèmes optiques constituants le système (S) ? Indiquer la nature de chacun ?
Le système (S) est constitué de deux dioptres sphériques.
2. Caractéristiques du premier dioptre
Déterminer, pour le premier dioptre, en fonction des indices de réfraction et de R :
- a) Formules de conjugaison de position et de grandissement avec l'origine au centre C.
- b) Positions de ses foyers objet F₁ et image F'₁ par rapport à C.
- c) Sa distance focale image f'₁ et sa vergence V₁.
Le premier dioptre est une surface de séparation sphérique entre le liquide d'indice n₁ et le verre d'indice n.
3. Caractéristiques du deuxième dioptre
Déterminer, pour le deuxième dioptre, en fonction des indices de réfraction et de R :
- a) Formules de conjugaison de position et de grandissement avec l'origine au centre C.
- b) Positions de ses foyers objet F₂ et image F'₂ par rapport à C.
- c) Sa distance focale image f'₂ et sa vergence V₂.
Le deuxième dioptre est une surface de séparation sphérique entre le verre d'indice n et l'air d'indice 1.
4. Calcul des vergences et distances focales
L’indice du verre constituant la boule est n = 7/5 et l’indice du liquide est n₁ = 5/3.
a) Détermination des vergences V₁, V₂ et V du système
Déterminer les vergences V₁ et V₂ en fonction de R. En déduire la vergence V du système (S). Calculer la valeur de V en dioptries pour R = 1 cm. En déduire la nature de (S).
La vergence d'un système optique caractérise sa capacité à faire converger ou diverger la lumière. Une vergence positive indique un système convergent, tandis qu'une vergence négative indique un système divergent.
b) Valeurs des distances focales image f' et objet f de (S)
Quelles sont les valeurs en cm des distances focales image f' et objet f de (S) ?
La distance focale image f' et la distance focale objet f sont des caractéristiques importantes qui définissent le comportement optique d'un système. Elles sont liées à la vergence par la relation V = n'/f' = -n/f, où n et n' sont les indices des milieux objet et image respectivement.
5. Formules de conjugaison de position et de grandissement du système (S)
Montrer que les formules de conjugaison de position et de grandissement du système (S) s'écrivent :
Ces formules sont essentielles pour localiser l'image d'un objet et déterminer sa taille relative par rapport à l'objet.
6. Position des foyers et points principaux
a) Position des foyers F et F' du système (S)
Calculer, par rapport à C, la position des foyers F et F' du système (S) en fonction de R.
b) Position des points principaux H et H' du système (S)
Calculer, par rapport à C, la position des points principaux H et H' du système (S) en fonction de R.
Les points principaux sont des points de l'axe optique où le grandissement linéaire transversal est égal à +1. Ils sont utiles pour les constructions géométriques car un rayon incident passant par le point principal objet H émerge du point principal image H' avec la même hauteur et la même direction angulaire par rapport à l'axe.
c) Retrouver la valeur de la distance focale image f'
Retrouver la valeur en cm de la distance focale image f'.
7. Rayon lumineux passant par C et points nodaux
a) Marche d'un rayon lumineux passant par C, et position du centre optique O et des points nodaux (N, N')
Tracer la marche d'un rayon lumineux passant par C. En déduire la position du centre optique O et des points nodaux (N, N') du système optique (S).
Les points nodaux sont des points sur l'axe optique tels qu'un rayon incident dirigé vers le point nodal objet N émerge du point nodal image N' sans déviation et avec la même direction. Si les milieux extrêmes sont identiques, les points nodaux coïncident avec les points principaux.
b) Grandissement linéaire pour le couple (N, N')
Quelle est la valeur du grandissement linéaire pour le couple (N, N') ?
Le grandissement linéaire pour le couple (N, N') est égal au rapport des indices de réfraction des milieux extrêmes.
Questions Fréquentes (FAQ) sur l'Optique Géométrique
Qu'est-ce qu'un dioptre en optique géométrique ?
Un dioptre est la surface de séparation entre deux milieux transparents d'indices de réfraction différents. Il peut être plan ou sphérique et est le siège des phénomènes de réfraction de la lumière.
Dans quelles conditions la réflexion totale est-elle possible ?
La réflexion totale ne peut se produire que lorsque la lumière passe d'un milieu plus réfringent (indice élevé) à un milieu moins réfringent (indice faible), et que l'angle d'incidence est supérieur à un certain angle critique.
Que signifient les conditions de Gauss en optique ?
Les conditions de Gauss sont des approximations utilisées en optique géométrique pour simplifier l'étude des systèmes centrés. Elles supposent que tous les rayons lumineux sont paraxiaux (proches de l'axe optique et faiblement inclinés), ce qui permet de remplacer les sinus et tangentes des angles par les angles eux-mêmes, facilitant ainsi les calculs.