Ce document, conçu pour les étudiants de la filière SMP – S3 de l'Université Cadi Ayyad, Faculté des Sciences Semlalia, présente le sujet détaillé du contrôle n°2 de Mécanique II de l'année universitaire 2013-2014.
Il vise à évaluer la compréhension et l'application des concepts fondamentaux de la mécanique du solide. Le contenu inclut des questions de cours théoriques et des exercices pratiques couvrant les notions suivantes:
- Les relations fondamentales du moment cinétique et de l'énergie cinétique.
- Le théorème de Huygens et le calcul des matrices d'inertie.
- La cinématique, la dynamique des systèmes et la conservation de l'énergie mécanique.
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Télécharger PDFUniversité Cadi Ayyad Année Universitaire 2013-2014 Faculté des Sciences Semlalia (Le 21/01/2014) Département de Physique
Contrôle n°2 de Mécanique II SMP – S3 (durée : 1h30)
Questions de cours
On considère un solide (S) homogène, de masse m et de centre de masse G. On désigne par R(O, x, y, z) le repère fixe et par R(G, xG, yG, zG) le repère barycentrique. Démontrer les relations suivantes:
- L(O, S/Rfixe) = L(G, S/Rfixe)
- Ec(S/Rfixe) = Ec(S/Rbarycentrique) + 1/2 m v(G/Rfixe)2
- IΔ(S) = IΔG(S) + m ρ2(O, Δ) où Δ est un axe passant par O et de vecteur directeur u, ΔG un axe parallèle à Δ et passant par le centre de masse G et ρ est la distance qui sépare les deux axes.
Exercice 1
On considère une sphère (S), pleine et homogène, de rayon r, de masse m et de centre de masse G. La sphère est immobile dans le repère R(O, x, y, z). On désigne par R(G, xG, yG, zG) le repère barycentrique. La base (i, j, k) est commune aux deux repères. Le centre de masse G de la sphère appartient au plan yOz comme indiqué sur la figure 1 et sa position est repérée par le vecteur OG = xGi + yGj.
- Rappeler la matrice d’inertie, [I](G,S), de la sphère en G.
- Le repère R(G, xG, yG, zG) admet-il un axe principal d’inertie ? Justifier votre réponse.
- En utilisant le théorème de Huygens généralisé, déterminer la matrice d’inertie, [I](O, S), de la sphère en O.
Exercice 2
Les extrémités A et B d’une tige (T), homogène, de longueur AB = 2l, de centre de masse G et de masse m, glissent sur les axes Ox et Oy d’un plan vertical fixe (figure 2). La position de la tige dans ce plan est repérée par l’angle θ. On note R(O, x, y, z) le repère orthonormé direct (fixe) et R(G, xG, yG, zG) le repère barycentrique qui admettent i, j, k comme base commune (à utiliser comme une base de projection). On donne v(A/Rfixe) = -lα sinθ i et Ω(T/Rfixe) = α k où α est une constante positive.
- En utilisant la relation de transfert du torseur cinématique, déterminer l’expression de v(G/Rfixe) en fonction de l, α et θ et déduire θ en fonction de α, t et l.
- Montrer que v(A/Rfixe) = lα (cosθ i - sinθ j) où α est un paramètre à déterminer en fonction des données.
- Calculer le moment d’inertie IGz de la barre AB par rapport à l’axe Gz.
- Montrer que L(O, T/Rfixe) = (m l α / 3) k. En déduire l’expression de L(G, T/Rfixe).
- Déterminer L(O, T/Rfixe) et L(G, T/Rfixe).
- Calculer l’énergie cinétique Ec(O, Rfixe). En déduire Ec(T/Rfixe).
- L’énergie potentielle de la tige est Ep = mgl cosθ. Y a-t-il conservation de l’énergie mécanique de la tige ? Justifier votre réponse. Déduire une relation d’inégalité entre α, θ et g pour que la réponse à la question 7) aura un sens physique.
Figure 1
Figure 2
Solution des Questions de cours (sur 4 points)
v(G/Rfixe) = v(G/Rbarycentrique) + v(Rbarycentrique/Rfixe) (on utilise Rbarycentrique comme repère relatif).
- L(O, S/Rfixe) = OG ∧ P(S/Rfixe).
L(O, S/Rfixe) = OG ∧ P(S/Rbarycentrique) + OG ∧ P(S/Rfixe).
= 0
L(O, S/Rfixe) (1pt)
- Ec(S/Rfixe) = 1/2 ∫ v(P/Rfixe)2 dm.
Ec(S/Rfixe) = 1/2 ∫ (v(G/Rfixe) + v(P/Rbarycentrique))2 dm.
Ec(S/Rfixe) = 1/2 ∫ v(G/Rfixe)2 dm + 1/2 ∫ v(P/Rbarycentrique)2 dm + ∫ v(G/Rfixe) · v(P/Rbarycentrique) dm = 0.
Ec(S/Rfixe) = Ec(S/Rbarycentrique) + 1/2 m v(G/Rfixe)2 (1pt)
- IΔ(S) = uΔ · [I](O,S) · uΔ et IΔG(S) = uΔG · [I](G,S) · uΔG.
uΔ · m · (OG2Id - OG ⊗ OG) · uΔ = m ρ2 (2 pts)
Exercice 1 (sur 2.5 points)
O (S) ) d G
- [I](G, S) = 2/5 m r2
[[1, 0, 0],
[0, 1, 0],
[0, 0, 1]] (0.5 pt)
- Tout axe ⊥ à un plan de symétrie matérielle est un axe principal d’inertie. Or, yOz est un plan de symétrie ⇒ Ox (Ox ⊥ yOz) est un axe principal d’inertie. (1 pt)
- [I](O, S) = [I](G, S) + m · POG = 2/5 m r2 ·
[[2, 0, 0],
[0, 1, -1],
[0, -1, 1]] + 1/2 m r2
[[2, 0, 0],
[0, 1, -1],
[0, -1, 1]] (1 pt)
[I](O, S) = 2/5 m r2 · [[0, 7, 5], [-1, 0, 0], [0, 0, 0]]
Exercice 2 (sur 13.5 pts)
- v(G/Rfixe) = v(A/Rfixe) + Ω(T/Rfixe) ∧ AG
v(G/Rfixe) = -lα sinθ i + 2lα sinθ i + 2lα cosθ j (0.5pt)
Comme v(A/Rfixe) est porté par i, on déduit : α = θ2/(2l) et v(G/Rfixe) = lα cosθ i (1pt) et (1.5pt)
- v(A/Rfixe) = lα (cosθ i - sinθ j) = α/(2l) (cosθ i - sinθ j) (1pt)
- IGz = m (2l)2/12 = m l2/3. (1pt)
- L(O, T/Rfixe) = IOz Ωz = m l2/3 Ωz. (1pt)
L(G, T/Rfixe) = L(O, T/Rfixe) + GO ∧ m v(G/Rfixe) = 1/2 m l2 α · (13 + cos(2θ)) / 6 k (1pt)
- L(O, T/Rfixe) = m l α k + OG ∧ m v(G/Rfixe)
L(O, T/Rfixe) = 1/2 m l2 α · [[0, 1, 3 + cos(2θ)], [-α(θ)2, 4sin(2θ), 0]] (1.5pt)
On aboutit au même résultat si on utilise la relation de transfert : L(O, T/Rfixe) = L(G, T/Rfixe) + m v(O/Rfixe) ∧ OG
- Ec(O, T/Rfixe) = 1/2 L(O, T/Rfixe) · Ω(T/Rfixe) = m α2 l2 / 24 (1pt)
Ou bien : Ec(O, T/Rfixe) = 1/2 IOz Ω2 = 1/2 × m l2/3 × (α2/(4l2)) = m α2 l2 / 24
Ec(T/Rfixe) = Ec(T/Rbarycentrique) + 1/2 m v(G/Rfixe)2 = m α2 l2 / 6 + mgl cosθ (1pt)
- d(Em)/dt = m α l (g/3 - α l sinθ). Comme α est constant et θ est variable, d(Em)/dt ≠ 0 ⇒ l’énergie mécanique ne se conserve pas. (1.5pt) Puisque l’énergie mécanique ne se conserve pas, elle ne peut que diminuer ⇒ d(Em)/dt < 0 ⇒ α < (3g) / (2l sinθ) (1.5pt)
FAQ sur la Dynamique des Solides
Qu'est-ce que le théorème de Koenig en mécanique des solides?
Le théorème de Koenig permet de décomposer l'énergie cinétique d'un solide en mouvement. Il stipule que l'énergie cinétique totale du solide par rapport à un repère fixe est égale à l'énergie cinétique du centre de masse par rapport à ce repère fixe, plus l'énergie cinétique du solide par rapport au repère barycentrique (un repère dont l'origine coïncide avec le centre de masse du solide).
Comment le théorème de Huygens-Steiner (ou théorème des axes parallèles) est-il utilisé?
Le théorème de Huygens-Steiner permet de calculer le moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe quelconque, connaissant son moment d'inertie par rapport à un axe parallèle passant par son centre de masse. Il est particulièrement utile pour simplifier les calculs dans des configurations où l'axe de rotation ne passe pas par le centre de masse du solide.
Quand l'énergie mécanique d'un système est-elle conservée?
L'énergie mécanique d'un système est conservée si les seules forces qui effectuent un travail sont des forces conservatives (comme la gravité ou la force élastique d'un ressort). Si des forces non conservatives (comme les frottements ou des forces de moteurs) interviennent et effectuent un travail non nul, l'énergie mécanique n'est pas conservée; elle peut augmenter ou diminuer selon le signe du travail de ces forces non conservatives.