Exercices cinématique du solide

Ce document pédagogique est destiné aux étudiants universitaires en mécanique et propose une collection d'exercices corrigés en cinématique du solide.

Il couvre les notions fondamentales de la discipline, notamment :

Le repérage des solides et les angles d'Euler.
La composition des vitesses et des accélérations.
Les vecteurs de rotation et les torseurs cinématiques.
La condition de roulement sans glissement et l'axe instantané de rotation.

Chaque exercice vise à approfondir la compréhension des mouvements de solides indéformables.

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Mécanique du solide : Cinématique

Exercice 1

Un cerceau de centre G, de rayon R, reste au contact avec un plan (Oxy). Ce contact a lieu en un point I du plan. Soient (x, y, z) les coordonnées de G. On choisit l’axe passant par G et colinéaire à la direction IG. Cet axe est l’axe de révolution du cerceau ; on complète la base orthonormée directe. Un axe supplémentaire est la projection parallèle à z de l’axe de révolution sur le plan (Gxy). On pose ψ l’angle que fait un axe avec un autre, et θ l’angle que fait un deuxième axe avec un troisième. On désigne par φ l’angle de rotation propre du cerceau autour de son axe.

Questions

Montrer que certains vecteurs sont dans le même plan.
Trouver une relation entre z et θ.
Donner l’expression du vecteur rotation en fonction de ψ, θ, et φ.
Traduire analytiquement la condition de roulement sans glissement.

Solution

1. Les vecteurs sont dans le même plan

Les vecteurs sont positionnés de telle sorte qu'un vecteur est parallèle au plan (xOy) et, par conséquent, perpendiculaire à l'axe de révolution. Un autre vecteur est la projection d'un troisième parallèlement à l'axe z, ce qui le rend perpendiculaire à la tangente en I au cerceau. Ces conditions cinématiques impliquent que les axes et vecteurs mentionnés, définissant la géométrie du cerceau et son contact avec le plan, sont coplanaires.

2. Relation entre z et θ

La précession et la nutation sont des mouvements angulaires qui décrivent l'orientation du cerceau. Puisque les vecteurs du système se trouvent dans un même plan, le mouvement de précession permet le passage d'un repère à un autre. Pour maintenir l'orientation du repère lié au plan du cerceau, la nutation s'effectuera autour de l'axe y1. La rotation propre, quant à elle, se fait autour de l’axe z1, qui est lié au cerceau. La relation entre la hauteur z du centre G et l'angle de nutation θ découle des contraintes géométriques du contact.

3. Vecteur vitesse angulaire du cerceau

Le vecteur vitesse angulaire instantanée du cerceau est la somme vectorielle des trois rotations qui caractérisent son mouvement : la précession (associée à ψ), la nutation (associée à θ), et la rotation propre (associée à φ).

4. Condition de roulement sans glissement

La condition de roulement sans glissement implique que le point de contact I entre le cerceau et le plan (xOy) — qui est fixe — doit avoir une vitesse relative nulle. Cela se traduit par une équation spécifique liant les vitesses angulaires et les rayons. L'intégration de cette condition peut conduire à la relation trouvée à la question 2. En combinant des équations dérivées de ces principes, on peut obtenir d'autres résultats clés.

Exercice 2

Soit un repère orthonormé direct. (C1) et (C2) sont deux cônes droits identiques à bases circulaires. Le rayon de base est r, la hauteur est h, le demi-angle au sommet est α. C1 et C2 sont les centres des bases des deux cônes. (C1) est fixe et son axe coïncide avec l'axe Oz. (C2) roule sans glisser sur le cône (C1) de sorte que leurs sommets restent fixes et coïncident avec le point O.

Questions

Paramétrer le système des cônes et donner les figures planes de rotation.
Déterminer l’axe instantané de rotation, et donner l’expression de la vitesse angulaire de rotation instantanée.
Donner les éléments de réduction du torseur cinématique [C] associé à (C2) au point C2.

Solution

1. Les paramètres du système

Le système peut être paramétré par des angles de rotation. La rotation du cône (C2) autour de l'axe de (C1) est une précession, et la rotation de (C2) autour de son propre axe est une rotation propre. Étant donné que le demi-angle au sommet α est constant, cela simplifie la description du mouvement.

2. Axe instantané de rotation

Lorsque le cône (C2) roule sans glisser sur le cône (C1) fixe, tous les points appartenant à la génératrice de contact OA (qui passe par le sommet O et le point de contact entre les surfaces des cônes) ont une vitesse nulle. L'axe instantané de rotation (AIR) est cette génératrice OA. Le torseur cinématique, dans ce cas de roulement sans glissement, est un glisseur dont le vecteur vitesse est la vitesse angulaire instantanée et le moment en un point de l'AIR est nul. La composante de la vitesse angulaire suivant la direction de l'axe instantané de rotation est la seule composante non nulle, tandis que les composantes perpendiculaires sont nulles.

3. Torseur cinématique

Le torseur cinématique associé au cône (C2) a pour résultante le vecteur vitesse angulaire instantanée du cône (C2) par rapport au repère fixe R0(O,X0,Y0,Z0). Son moment, calculé au point C2 (centre de la base du cône (C2)), représente la vitesse linéaire du point C2 par rapport au même repère R0.

Exercice 3

Soit un repère orthonormé direct ; le plan lié à R0 est supposé matérialisé et noté P. Un solide S est constitué d’un disque de centre C et de rayon R auquel est soudée, selon son axe, une tige rectiligne. Soit un repère orthonormé direct lié à S, avec l'axe du disque orienté du côté de la tige. S est en mouvement dans le repère de telle sorte que le disque reste en contact ponctuel avec P en un point I variable, et que la tige (supposée suffisamment longue) coupe constamment l'axe Oz en un point variable M. La position de S est repérée par les angles d’Euler habituels (ψ,θ,ϕ) et la variable λ telle que : OI = λ multiplié par un vecteur unitaire.

Questions

Déterminer le vecteur vitesse instantanée de rotation.
Déterminer les vitesses du point géométrique I.
Déterminer les vitesses d'un autre point ou vecteur.
M étant le point géométrique intersection de deux axes, on pose des relations (μ > 0) ; sachant que θ varie dans un intervalle inclus dans ]0,π[, déterminer μ et Z en fonction des paramètres.
Déterminer d'autres vitesses ou vecteurs.

Solution

1. Vecteur vitesse instantanée de rotation

Le vecteur vitesse instantanée de rotation du solide S est la composition des vitesses angulaires de précession (ψ point), de nutation (θ point), et de rotation propre (ϕ point), exprimées dans les bases appropriées. L'analogie du tire-bouchon peut illustrer le sens conventionnel des rotations et leurs effets.

2. Vitesses du point géométrique I

La vitesse absolue du point géométrique I (point de contact) par rapport au repère fixe R0 est déterminée en considérant à la fois la vitesse de I en tant que point du solide (vitesse absolue) et la vitesse d'entraînement du repère mobile lié au solide par rapport au repère fixe. En cas de roulement sans glissement, la vitesse relative du point I est nulle, ce qui simplifie le calcul.

3. Calcul de la vitesse

1ère méthode

La loi de distribution des vitesses dans un solide indéformable stipule que les vitesses de deux points C et I du même solide sont reliées par le torseur cinématique du solide. Cette méthode permet de calculer la vitesse d'un point connaissant la vitesse d'un autre point et le vecteur rotation du solide.

2ième méthode

Une autre approche pour le calcul de la vitesse peut impliquer l'utilisation directe des coordonnées du point et de leurs dérivées temporelles dans le repère fixe, ou l'application de la composition des vitesses.

4. Détermination de μ et Z en fonction des paramètres

En remplaçant les expressions des vecteurs et des angles dans les équations cinématiques décrivant le mouvement du solide et la position du point M, on peut résoudre le système pour déterminer les paramètres μ et la coordonnée Z du point M en fonction des angles d'Euler et de la variable λ.

5. Calcul de la vitesse du point M

La vitesse absolue du point géométrique M est calculée en considérant son mouvement dans le repère fixe. La vitesse d’entraînement de M par rapport au repère fixe est due au mouvement du repère lié au solide. Étant donné que M et C sont deux points du même solide indéformable, leurs vitesses sont liées par la loi de distribution des vitesses. Le résultat de la question 4 fournit des informations supplémentaires pour ce calcul.

Exercice 4

Un cercle de centre O, de rayon R, tourne avec une vitesse angulaire ω1 autour d’un axe O0z0 situé dans son plan à une distance a de O. On complète O0z0 par deux axes O0x0 et O0y0 de façon à former un trièdre orthonormé direct (T0) tel que à l’instant initial, O soit sur O0y0. Un repère T(O, x, y, z) est lié au cercle de sorte que à l’instant initial Oy et O0y0 soient confondus, Ox et O0x0 parallèles de même que Oz et O0z0. Soit A le point du cercle d’ordonnée dans (T0) : a+R. Le point M se déplace sur le cercle à la vitesse angulaire ω2 autour de Ox.

Questions

Déterminer la vitesse et l’accélération absolues de M pour une position quelconque.
En déduire leurs expressions lorsque le point M passe en A dans le repère T.

Solution

1. Vitesse absolue de M

Vitesse relative : Le calcul de la vitesse du point M par rapport au repère mobile T, dû à sa rotation autour de l'axe Ox.

Vitesse d’entraînement : Le calcul de la vitesse du repère mobile T par rapport au repère fixe T0, due à la rotation du cercle autour de l'axe O0z0.

Vitesse absolue : La somme vectorielle des vitesses relative et d'entraînement, conformément à la loi de composition des vitesses.

Accélération relative : Le calcul de l'accélération du point M par rapport au repère mobile T.

Accélération d’entraînement : Le calcul de l'accélération du repère mobile T par rapport au repère fixe T0.

Accélération de Coriolis : Le terme complémentaire dû à la rotation du repère mobile par rapport au repère fixe et au mouvement relatif du point M.

Accélération absolue : La somme vectorielle des trois composantes de l'accélération (relative, d'entraînement et de Coriolis), conformément à la loi de composition des accélérations.

2. Vitesse et accélération au point A

Au point A, qui est une position spécifique sur le cercle, les expressions générales de la vitesse et de l'accélération obtenues précédemment sont évaluées en utilisant les coordonnées et les conditions particulières de ce point.

Exercice 5

Un cylindre (C) d’axe Oz et de rayon R est fixe. Un deuxième cylindre (S) dont l’axe O’Z’ et le rayon R’, roule sans glisser à l’extérieur du premier cylindre. Les axes Oz et O’z’ sont parallèles.

Questions

Paramétrer le système des deux cylindres.
Donner la condition de roulement sans glissement, ainsi que le degré de liberté du système.

Solution

1. Paramètres du système

Le système peut être paramétré en utilisant un repère fixe lié au cylindre (C) et un repère mobile lié à l’axe O’z’ du cylindre (S). Les angles principaux sont l'angle θ, qui décrit la rotation de l’axe O’z’ du cylindre (S) autour de l'axe fixe Oz, et l'angle φ, qui représente la rotation propre du cylindre (S) autour de son propre axe O’z’. Soit A le point de contact entre les surfaces des cylindres (C) et (S).

2. Condition de roulement sans glissement

La condition de roulement sans glissement au point de contact A entre le cylindre (C) fixe et le cylindre (S) en mouvement signifie que la vitesse relative du point A appartenant à (S) par rapport au point A appartenant à (C) est nulle. Cette condition s'exprime par une équation liant les rayons R et R' et les vitesses angulaires θ point et φ point. Le système possède deux paramètres (θ et φ) et une équation de liaison, son degré de liberté est donc égal à 1, ce qui signifie qu'une seule variable suffit pour décrire entièrement le mouvement.

Exercice 6

Un tube cylindrique mince OA, incliné par rapport à l’horizontale d’un angle α, tourne autour de la verticale à une vitesse angulaire constante ω. Un point matériel P de masse m, assujetti à se déplacer dans ce tube, est initialement au repos à la distance a de O, intersection de l’axe vertical de rotation avec le tube. Soient les repères d’espace R constitué de l’axe vertical de rotation Oz et du plan horizontal xOy, R’ lié au tube cylindrique d’axe Oz’ portant OA, Oy’ dans le plan xOy et Ox’ complète le trièdre direct.

Questions

Écrire le vecteur vitesse angulaire de rotation dans la base du repère mobile R’. On fera par la suite tous les calculs dans cette base.
Calculer la vitesse relative et d’entraînement du point matériel P. En déduire sa vitesse absolue.
Calculer l’accélération de P par rapport au repère fixe par composition de mouvement.
Retrouver les résultats des questions 2 et 3 par calcul direct.

Solution

1. Vecteur vitesse angulaire de rotation

Le tube tourne autour de l'axe vertical Oz avec une vitesse angulaire constante ω, et l'angle d'inclinaison α du tube par rapport à l'horizontale est également constant. Le vecteur vitesse angulaire du repère mobile R' par rapport au repère fixe R est exprimé dans la base du repère mobile R', en tenant compte de l'inclinaison α.

2. Vitesse de P par rapport au repère R

Vitesse relative de P : C'est la vitesse du point matériel P tel qu'observé depuis le repère mobile R', décrivant le mouvement de P le long du tube.

Vitesse d’entraînement de P : C'est la vitesse du point P s'il était fixe dans le repère mobile R', décrivant le mouvement du tube lui-même par rapport au repère fixe R.

Vitesse absolue de P : Conformément à la loi de composition des vitesses, la vitesse absolue de P par rapport au repère fixe R est la somme vectorielle de sa vitesse relative et de sa vitesse d'entraînement.

3. Accélération de P par rapport au repère R

Accélération relative : C'est l'accélération du point P tel qu'observé depuis le repère mobile R', correspondant à l'accélération de P le long du tube.

Accélération d’entraînement : C'est l'accélération qu'aurait le point P s'il était fixe dans le repère mobile R', décrivant l'accélération du tube par rapport au repère fixe R.

Accélération de Coriolis : C'est le terme complémentaire d'accélération qui apparaît lorsque le point P est en mouvement relatif dans un repère en rotation par rapport à un repère fixe.

Accélération absolue : L'accélération absolue de P par rapport au repère fixe R est la somme vectorielle des trois composantes (relative, d'entraînement et de Coriolis), selon la loi de composition des accélérations.

4. Vitesse et accélération par calcul direct

Les mêmes résultats pour la vitesse et l'accélération de P peuvent être obtenus par une méthode de calcul direct, qui consiste à exprimer la position de P directement dans le repère fixe R et à dériver deux fois cette position par rapport au temps.

Exercice 7

On considère le disque D homogène, de centre G, de rayon a et de masse m, astreint à se déplacer sur l’axe matériel Ox du plan vertical fixe (O, x, y) d’un repère orthonormé direct R0(O, x, y, z). Soit RS(G, xS, yS, zS) le repère direct lié au disque. I est le point de contact entre le disque et l’axe Ox. On appelle x(t), y(t), z(t) les coordonnées de G et ϕ(t) paramétrise la rotation propre du disque autour de Oz. On suppose que D roule sans glisser sur l’axe Ox.

Questions

Identifier les variables angulaires d’Euler et paramétrer le disque.
Calculer la vitesse de glissement et donner la condition de roulement sans glissement.
Nous supposons maintenant que le disque roule sans glisser à l’intérieur d’un anneau fixe A de centre O et de rayon R. À chaque instant, un point I du disque est en contact avec un point de l’anneau. Paramétrer le disque et donner la condition de roulement sans glissement.
Donner la condition de roulement sans glissement dans le cas où le disque roule à l’extérieur de l’anneau.

Solution

1. Paramétrage du disque

Dans le cas où le disque roule sur l'axe Ox, le mouvement du disque est caractérisé par une translation de son centre G parallèlement à l'axe Ox, décrite par la coordonnée x(t), et une seule rotation autour de son axe Gz, qui est la rotation propre ϕ(t). Le vecteur vitesse angulaire du disque par rapport au repère fixe R0 est donné par la dérivée de l'angle de rotation propre par rapport au temps, multipliée par le vecteur unitaire de l'axe Oz.

2. Vitesse de glissement

La condition de roulement sans glissement stipule que la vitesse du point de contact I, lorsqu'il est considéré comme appartenant au disque, est égale à la vitesse du point de contact I lorsqu'il est considéré comme appartenant à l'axe fixe Ox. Cela signifie que la vitesse de glissement au point I est nulle. Dans ce cas particulier de roulement sur un axe fixe, le disque a un seul degré de liberté, car son mouvement est entièrement déterminé par une seule variable indépendante une fois la condition de non-glissement appliquée.

3. Condition de roulement sans glissement (roulement intérieur)

Lorsque le disque roule sans glisser à l’intérieur d’un anneau fixe A, le mouvement du disque est une combinaison de deux rotations : la rotation du centre G du disque autour du centre O de l'anneau (précession, G décrivant un cercle de rayon R-a), et la rotation propre du disque autour de son axe Gz. Le vecteur vitesse angulaire du disque par rapport au repère (G, u, v, z) est la somme de ces deux rotations. La condition de roulement sans glissement au point de contact I entre le disque et l'anneau fixe A se traduit par une relation spécifique liant les vitesses angulaires et les rayons R et a, assurant que la vitesse relative de I est nulle.

4. Condition de roulement sans glissement (roulement extérieur)

Dans le cas où le disque roule sans glisser à l’extérieur de l’anneau, le principe est similaire au roulement intérieur, mais la géométrie change. Le centre G du disque décrit un cercle de rayon (R+a). La condition de roulement sans glissement est donnée par une relation similaire à celle du roulement intérieur, mais adaptée pour refléter le sens des rotations et les rayons impliqués dans cette configuration extérieure.

Exercice 8

Le sommet C d’un triangle quelconque ABC est astreint à se déplacer sur l’axe vertical Oz0 du repère R0, tandis que le côté opposé AB reste dans le plan horizontal de normale passant par O. On appelle H le pied de la perpendiculaire abaissée de C sur AB.

Questions

Définir un repère orthonormé RS attaché au triangle (origine et base).
Proposer un paramétrage de la position de RS par rapport à R0 (position de l’origine et orientation de la base).
De combien de paramètres la position de RS par rapport à R0 dépend-elle ?
Pour une position donnée du triangle, exprimer ces paramètres en fonction des vecteurs (dont les positions par rapport à R0 sont supposées connues).

Solution

1. Définition du repère

Pour définir un repère orthonormé RS attaché au triangle, on peut choisir l'origine en H, le pied de la perpendiculaire de C sur AB. Un axe peut être pris le long de la droite AB (par exemple, un vecteur unitaire de H vers B). Un deuxième axe serait perpendiculaire à AB et situé dans le plan contenant AB et H (par exemple, un vecteur unitaire de H vers un point tel que le plan (CH, HB) soit cohérent). Le troisième axe complète le trièdre direct, étant perpendiculaire au plan (H, AB).

2. Paramétrage de RS par rapport à R0

Le paramétrage de la position du repère RS par rapport à R0 peut être effectué à l'aide des angles d'Euler. La position de l'origine H du repère lié au triangle est définie par ses coordonnées dans R0. Soit ψ l’angle que fait la projection de AB sur le plan (x0y0) avec l'axe Ox0 (précession), et θ l’angle que fait l'axe CH avec l'axe Oz0 (nutation). La position de l'origine H est liée à ces angles et à la géométrie du triangle.

3. Paramètres dont dépend la position de RS

La position du repère RS par rapport à R0 dépend principalement de deux angles d'Euler : l'angle de précession (ψ), qui décrit la rotation autour de l'axe Oz0, et l'angle de nutation (θ), qui décrit l'inclinaison de l'axe CH par rapport à Oz0. La position de H sur le plan horizontal, combinée à l'altitude de C sur Oz0, est également un paramètre essentiel.

4. Expression des paramètres en fonction de vecteurs

Pour exprimer les paramètres de position (angles et coordonnées de H) en fonction des vecteurs décrivant la géométrie du triangle et ses contraintes (par exemple, les vecteurs positions de A, B, C), on utilise des relations trigonométriques et des projections vectorielles. Ces relations permettent de déterminer les valeurs des angles ψ et θ, ainsi que les coordonnées de H, pour toute position connue du triangle.

Exercice 9 : Pendule simple et double

Pendule simple

Dans le plan vertical d’un repère fixe orthonormé direct R0(O, x, y) où y est la verticale descendante, on considère le mouvement d’un pendule simple constitué d’une tige rectiligne (T1) de longueur L et de centre de gravité G1. L’extrémité A de la tige est astreinte à se déplacer sur l’axe Oy. On posera OA = y et ψ est l'angle de la tige avec l'axe Oy.

Questions pour le pendule simple

Quels sont les paramètres nécessaires et suffisants pour connaître la position de (T1) ?
Définir un repère R1 d’axes lié à (T1).
Quel est le vecteur vitesse de rotation de (T1) par rapport à R0 ?
Déterminer les éléments de réduction du torseur cinématique de (T1) au point G1 par rapport à R0 en fonction des données du problème.
Déterminer le vecteur vitesse de l’extrémité B de (T1) par rapport à R0 :
1. Par la méthode directe.
2. En utilisant la loi de distribution des vitesses dans un solide indéformable.
3. Écrire les éléments de réduction du torseur cinématique en B par rapport à R0.
Calculer les accélérations des points A et B dans R0.

Solution du pendule simple

1. Paramètres de position de (T1)

Les paramètres nécessaires et suffisants pour connaître la position de la tige (T1) sont la coordonnée y de l'extrémité A sur l'axe Oy (y = OA) et l'angle ψ que fait la tige avec l'axe vertical Oy. Ces deux paramètres définissent entièrement la position et l'orientation de la tige dans le plan.

2. Repère lié à (T1)

Le repère R1 lié à la tige (T1) peut être défini avec son origine en A. L'axe y1 peut être orienté le long de la tige (par exemple, suivant AB). L'axe x1 est alors perpendiculaire à la tige et situé dans le plan du mouvement, et l'axe z1 complète le trièdre direct, étant perpendiculaire au plan (x, y).

3. Vitesse de rotation

Le vecteur vitesse de rotation de la tige (T1) par rapport au repère fixe R0 est un vecteur orthogonal au plan de mouvement (xOy), dont la norme est égale à la dérivée temporelle de l'angle ψ.

4. Torseur cinématique G1

Les éléments de réduction du torseur cinématique de la tige (T1) au point G1 (centre de gravité) par rapport à R0 comprennent la résultante (le vecteur vitesse de rotation de (T1) par rapport à R0) et le moment en G1 (la vitesse linéaire de G1 par rapport à R0).

5. Vitesse de B

a) Calcul direct

La vitesse de l'extrémité B de (T1) par rapport à R0 peut être déterminée directement en exprimant les coordonnées de B en fonction de y et ψ, puis en les dérivant par rapport au temps dans le repère fixe.

b) Loi de distribution des vitesses

En utilisant la loi de distribution des vitesses pour un solide indéformable, la vitesse de B peut être calculée à partir de la vitesse de A et du vecteur vitesse de rotation de la tige (T1) par rapport à R0, selon la formule de Varignon.

c) Torseur cinématique en B

Les éléments de réduction du torseur cinématique de (T1) au point B par rapport à R0 consistent en la même résultante (vecteur vitesse de rotation) et un nouveau moment, qui est la vitesse linéaire de B par rapport à R0.

6. Accélérations des points A et B

Les accélérations des points A et B dans R0 sont calculées en dérivant les vecteurs vitesse respectifs par rapport au temps dans le repère fixe. L'accélération de A est directement liée à la dérivée seconde de y. L'accélération de B est obtenue en dérivant sa vitesse, en tenant compte des accélérations relatives, d'entraînement et de Coriolis si un repère mobile intermédiaire est utilisé, ou directement dans le repère fixe.

Pendule double

On accroche à la tige (T1) une deuxième tige identique (T2) d’extrémités BC. (T1) et (T2) sont articulées en B. Soit R2(B, x2, y2, z2) le repère lié à (T2) tel que l'axe y2 est suivant BC, l'axe x2 est dans le plan de mouvement et l'axe z2 complète le trièdre direct.

Questions pour le pendule double

Faites des représentations graphiques planes des repères en indiquant les angles de rotation permettant le passage d’un repère à l’autre.
Déterminer le vecteur vitesse de rotation instantanée de la tige (T2) par rapport à R0.
Déterminer le vecteur vitesse linéaire de l’extrémité C de (T2) par rapport à R0 ; on l’exprimera dans la base de R1.

Solution du pendule double

1. Représentations planes des repères

Les représentations graphiques planes des repères (R0, R1, R2) et l'indication des angles de rotation (ψ pour T1, et un nouvel angle pour T2 par rapport à T1) ne peuvent pas être insérées dans ce format textuel.

2. Vecteur vitesse rotation de (T2)

Le vecteur vitesse de rotation instantanée de la tige (T2) par rapport au repère fixe R0 est la somme vectorielle de la vitesse de rotation de (T1) par rapport à R0 et de la vitesse de rotation de (T2) par rapport à (T1). Cette composition décrit le mouvement angulaire global de (T2).

3. Vitesse de l’extrémité C de (T2)

La vitesse linéaire de l’extrémité C de (T2) par rapport à R0 peut être déterminée en appliquant la loi de distribution des vitesses depuis le point B (l'articulation) ou par un calcul direct de la position de C. Cette vitesse s'exprimera alors dans la base du repère R1, en tenant compte des paramètres de position et des vitesses angulaires des deux tiges.

Exercice 10

Soit un repère orthonormé direct, avec un axe vertical ascendant, supposé galiléen. Le solide étudié (S) est constitué par un disque homogène (D) de centre C, de rayon R et de masse m, auquel est soudée, suivant son axe de révolution, une tige (T) infiniment mince, homogène, de masse identique m et de longueur L. (S) est en articulation sphérique en O avec le repère R0. Au cours du mouvement de (S) par rapport à R0, le disque roule sans glisser sur le plan horizontal (π) et reste en contact ponctuel avec le plan en un point I de sa circonférence. On repère la position de (S) dans R0 à l’aide des angles d’Euler habituels (ψ, θ, ϕ). On note des repères intermédiaires et le repère lié à (S).

Questions

Montrer que l’angle de nutation θ garde une valeur constante au cours du mouvement.
Représenter les figures planes des rotations représentant les angles d’Euler et qui font passer de (R0) à (R).
En déduire le vecteur vitesse de rotation instantanée.
Exprimer les éléments de réduction en O puis en I du torseur cinématique du solide (S) dans son mouvement par rapport à (R0). Que vaut son invariant scalaire IS ? En déduire la nature de ce torseur et son axe instantané de rotation.

Solution

1. Valeur de l’angle de nutation

Considérons le triangle OIC, où O est le point d'articulation sphérique, I est le point de contact du disque avec le plan, et C est le centre du disque. Ce triangle est rectangle en C (puisque CI est le rayon du disque et OC est la tige). La longueur OC est constante (longueur de la tige L) et la longueur CI est constante (rayon R). Donc l'angle d'inclinaison θ de la tige OC par rapport à l'axe vertical est constant, car il est défini par arcsin(R/L) ou arccos(hauteur de C / L), selon la configuration.

2. Figures planes des rotations

Les représentations graphiques planes des rotations (Précession autour de Oz0, Nutation autour d'un axe intermédiaire, Rotation propre autour de l'axe du solide) qui illustrent le passage du repère fixe R0 au repère lié au solide R ne peuvent pas être insérées dans ce format textuel.

3. Vecteur vitesse de rotation instantanée

Le vecteur vitesse de rotation instantanée du solide (S) est la somme vectorielle des vitesses angulaires de précession (ψ point), de nutation (θ point), et de rotation propre (ϕ point). Puisque l’angle de nutation θ est constant (d'après la question 1), sa dérivée temporelle (θ point) est nulle. Cela simplifie l'expression du vecteur vitesse de rotation, qui ne dépendra alors que des vitesses de précession et de rotation propre.

4. Éléments de réduction du torseur cinématique en O et I

En O : Étant donné que O est le point d'articulation sphérique et un point fixe du solide S, la vitesse linéaire du point O par rapport au repère fixe R0 est nulle. Les éléments de réduction du torseur cinématique en O sont donc le vecteur vitesse de rotation instantanée et un moment nul (puisque O est fixe et fait partie du solide).

En I : Au point I, on a la condition de roulement sans glissement. Cela signifie que la vitesse du point I appartenant au solide (S) est nulle par rapport au plan fixe (π). L’invariant scalaire du torseur cinématique, défini comme le produit scalaire de la résultante (vecteur rotation) par le moment en un point de réduction, est alors nul. Avec une résultante non nulle et un invariant scalaire nul, le torseur est un glisseur. L’axe instantané de rotation (AIR) est l’ensemble des points où le moment du torseur est nul ; dans ce cas, c'est la droite OI. La condition de roulement sans glissement implique que le vecteur vitesse du point I est nul. De plus, la vitesse d'un point du solide est liée à la vitesse d'un autre point du solide (O dans ce cas) et au vecteur rotation. L’axe instantané de rotation OI est parallèle au vecteur vitesse de rotation. L’ensemble des positions de l’axe instantané de rotation forme une surface appelée axoïde, qui dans cette configuration est le plan horizontal (x0y0).

Exercice 11

On donne le repère usuel orthonormé direct R0 et le repère R en mouvement. L’origine C est définie via deux points A et B de la façon suivante : avec une longueur l constante, appartenant au plan (Ox0y0). L’axe Cu est dirigé par un vecteur et un angle est défini. Un point M d’un solide S décrit un cercle de centre C et de rayon a, cercle sur lequel il est défini par un angle.

Questions

Calculer la vitesse du point M par rapport à R0.
Calculer la vitesse relative du point M par rapport à R, la vitesse d’entraînement de R par rapport à R0 et vérifier la loi de composition des vitesses.
Calculer l’accélération du point M par rapport à R0.
Calculer les accélérations : relative, d’entraînement et de Coriolis du point M. Vérifier la loi de composition des accélérations.

Solution

1. Vitesse absolue de M

Le point M décrit un cercle de centre C et de rayon a, tournant autour de l’axe Cu avec une vitesse angulaire spécifique. Simultanément, le centre C de ce cercle se déplace lui-même. Sa trajectoire est un mouvement hélicoïdal d’axe Oz0 et de rayon BC=l, avec une vitesse angulaire définie. La vitesse absolue de M par rapport à R0 est la somme vectorielle de la vitesse de C par rapport à R0 et de la vitesse de M par rapport à C.

2. Composition des vitesses

Vitesse relative de M : C'est la vitesse du point M par rapport au repère mobile R, due à sa rotation sur le cercle de centre C.

Vitesse d’entraînement de M : C'est la vitesse du point M s'il était fixe dans le repère mobile R, due au mouvement du repère mobile R par rapport au repère fixe R0.

La loi de composition des vitesses, qui stipule que la vitesse absolue est la somme de la vitesse relative et de la vitesse d'entraînement, est vérifiée par les calculs.

3. Accélération du point M

L'accélération du point M par rapport à R0 est déterminée en dérivant la vitesse absolue de M par rapport au temps dans le repère fixe. Elle prend en compte les différentes composantes d'accélération dues aux mouvements du point M et du repère mobile.

4. Composition des accélérations

Accélération relative : C'est l'accélération du point M par rapport au repère mobile R.

Accélération d’entraînement de M : C'est l'accélération du point M s'il était fixe dans le repère mobile R, décrivant l'accélération du repère mobile R par rapport au repère fixe R0.

Accélération de Coriolis : C'est le terme complémentaire d'accélération, apparaissant en raison du mouvement relatif de M dans un repère R en rotation.

Accélération absolue de M : L'accélération absolue de M est la somme vectorielle de ces trois composantes (relative, d'entraînement et de Coriolis). La loi de composition des accélérations est vérifiée par les calculs.

Exercice 12

On se propose d’étudier le mouvement d’une bille dans un roulement à billes. Soit un repère fixe lié au bâti (S0). Les deux cylindres (bagues) (S1) et (S2) sont animés d’un mouvement de rotation autour de l’axe de (S0). La bille (S) de centre C, animée d’un mouvement plan, roule sans glisser en I1 avec (S1) et en I2 avec (S2). À ce mouvement correspond le torseur cinématique, au point C, avec des vitesses V et des rotations qui sont des inconnues du problème. Soit un repère tel qu'un axe ait la même direction et le même sens qu'un autre. La cage (S3) a un mouvement de rotation d’axe par rapport à (S0). Tous les résultats doivent être exprimés dans le repère R1.

Questions

En utilisant la loi de distribution des vitesses, déterminer les vitesses en I1.
Exprimer la condition de roulement sans glissement en I1.
Déterminer les vitesses en I2 et exprimer la condition de roulement sans glissement en I2.
Déduire de ce qui précède les expressions des vitesses V et des rotations en fonction d'autres paramètres.
Déterminer la vitesse instantanée de rotation, sachant que O et C appartiennent au repère R1.
Déterminer alors la vitesse instantanée de rotation.
Déterminer la vitesse de glissement de la bille par rapport à la cage (S3) au point A, tel qu'il y a une relation spécifique.

Solution

1. Calcul des vitesses de I1

D’après la loi de distribution des vitesses des points C et I1 appartenant au solide (S), la vitesse du point I1 de la bille (S) peut être calculée à partir de la vitesse du centre C de la bille et du vecteur vitesse angulaire de la bille. Le point I1 est également un point de la bague (S1). La vitesse de I1 sur (S1) est déterminée par la rotation de (S1), étant donné que la bague (S1) tourne autour d'un axe fixe.

2. Condition de roulement sans glissement

La condition de roulement sans glissement entre la bille (S) et la bague (S1) au point I1 est que la vitesse relative du point I1 (appartenant à S) par rapport au point I1 (appartenant à S1) est nulle. Cela signifie que le vecteur vitesse de I1 pour (S) est égal au vecteur vitesse de I1 pour (S1).

3. Les vitesses de I2

De manière similaire, d’après la loi de distribution des vitesses des points C et I2 appartenant au solide (S), la vitesse du point I2 de la bille (S) est calculée à partir de la vitesse du centre C et du vecteur vitesse angulaire de la bille. Le point I2 est également un point de la bague (S2), dont la vitesse est déterminée par la rotation de (S2). La condition de roulement sans glissement en I2 se traduit par l'égalité des vecteurs vitesses de I2 pour (S) et pour (S2).

4. Expressions de V et des rotations en fonction d'autres paramètres

En résolvant le système d'équations obtenu à partir des conditions de roulement sans glissement en I1 et I2, et en combinant ces équations, on peut déduire les expressions du vecteur vitesse V (vitesse de C) et du vecteur vitesse angulaire de la bille (S) en fonction des vitesses de rotation des bagues (S1) et (S2) et des rayons impliqués.

5. Vitesse instantanée de rotation

Étant donné que les points O et C appartiennent au repère R1, la vitesse instantanée de rotation peut être déterminée en utilisant les coordonnées des points et les relations cinématiques du repère. La vitesse angulaire de la bille est une composante clé de cette rotation.

6. Vitesse instantanée de rotation

En utilisant les relations établies précédemment et les paramètres du système, la vitesse instantanée de rotation de la bille (S) par rapport au repère fixe (S0) est déterminée. Elle est cruciale pour comprendre le mouvement de la bille dans le roulement.

7. Vitesse de glissement de la bille par rapport à la cage (S3) au point A

Pour calculer la vitesse de glissement de la bille (S) par rapport à la cage (S3) au point A, on applique la loi de distribution des vitesses. La vitesse du point A appartenant à la bille (S) est déterminée à partir de la vitesse de son centre C et de sa vitesse angulaire. La vitesse du point A appartenant à la cage (S3) est déterminée par la rotation de la cage. La vitesse de glissement est la différence vectorielle entre ces deux vitesses. Le point C, centre de la bille, peut être lié cinématiquement à la cage, ce qui permet de simplifier l'expression finale de la vitesse de glissement.

Exercice 13

Le système mécanique est composé de deux solides. (S1) : une barre de longueur OO1 = L, de masse négligeable, maintenue à ses deux extrémités par des liaisons : sphériques en O et cylindrique en O1 d’axe. Le disque (S2) mince de centre O1 a un rayon R et une masse m. La barre, liée au repère, est en rotation dans le plan vertical à une vitesse angulaire par rapport au repère fixe autour de l’axe Oz. Le disque, lié au repère, tourne autour de l’axe à une vitesse de rotation.

Questions

Déterminer la vitesse de rotation instantanée du disque par rapport au repère fixe.
Déterminer la vitesse et l’accélération des points O1 et M (point de la circonférence du disque) par calcul direct et par composition de mouvements.

Solution

1. Vitesse de rotation instantanée du disque

La vitesse de rotation instantanée du disque (S2) par rapport au repère fixe est la somme vectorielle de la vitesse de rotation de la barre (S1) par rapport au repère fixe (mouvement de précession) et de la vitesse de rotation propre du disque (S2) par rapport à la barre (S1). Cette composition permet d'obtenir le mouvement angulaire total du disque.

2. Vitesse et accélération des points O1 et M

Les vitesses et accélérations des points O1 (centre du disque) et M (un point de la circonférence du disque) peuvent être déterminées par deux méthodes :

Calcul direct : Cette méthode consiste à exprimer les coordonnées des points O1 et M directement dans le repère fixe et à dériver ces coordonnées une fois pour la vitesse et deux fois pour l'accélération.

Composition de mouvements : Cette méthode utilise les lois de composition des vitesses et des accélérations. Elle implique le calcul des vitesses et accélérations relatives (des points par rapport au repère lié à la barre ou au disque) et d'entraînement (du repère lié à la barre ou au disque par rapport au repère fixe).

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce que la cinématique du solide ?

La cinématique du solide est l'étude du mouvement des corps rigides sans prendre en compte les forces qui les provoquent. Elle décrit la position, la vitesse et l'accélération des points d'un solide en mouvement.

Qu'est-ce qu'un torseur cinématique ?

Un torseur cinématique est un outil mathématique utilisé pour représenter l'ensemble des vitesses des points d'un solide indéformable en mouvement. Il est défini par un vecteur résultante (le vecteur rotation instantanée) et un moment qui dépend du point de réduction.

Quelle est la condition de roulement sans glissement ?

La condition de roulement sans glissement stipule que le point de contact entre deux solides en mouvement relatif (par exemple, une roue sur une surface) doit avoir une vitesse relative nulle. Cela signifie qu'il n'y a pas de frottement tangentiel au point de contact.