Ce document pédagogique présente le corrigé détaillé d'un contrôle de Mécanique du Solide Indéformable, destiné aux étudiants universitaires de la filière SMP, semestre S4.
Il couvre les notions fondamentales de cette discipline, notamment :
- Le calcul des centres et matrices d'inertie de systèmes complexes.
- L'établissement des torseurs cinématique, cinétique et dynamique.
- L'évaluation de l'énergie cinétique d'un solide en mouvement.
- Une foire aux questions pour approfondir certains concepts clés.
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Corrigé du Contrôle Session Ordinaire 2011/2012
Première Partie : Centre d'Inertie et Matrices d'Inertie
1) Calcul du centre d'inertie G du système Σ
On obtient le centre d’inertie G du système Σ dans le référentiel R = (O1, B1) avec B1 = (x1, y1, z1), en prenant le barycentre du système :
- G1, centre d’inertie de la tige, affecté de la masse de la tige (m).
- G2, centre d’inertie du disque, affecté de la masse du disque (m).
Le centre d’inertie de la tige est donné par : O1G1 = (1/4) z1.
Le centre d’inertie du disque coïncide avec le point C, et O1G2 = O1C = 3 z1.
La formule du barycentre pour le système Σ est :
O1G = (m O1G1 + m O1G2) / (m + m)
Après calcul, on obtient : O1G = (7/6) z1. Les coordonnées transversales sont Gx = 0 et Gy = 0.
2) Calcul des matrices d'inertie
Calcul de la matrice d’inertie de la tige en O1 dans la base B1 (ΠT/O1)
On passe par la matrice d’inertie de la tige en G1 dans la base B1 (ΠT/G1). Cette dernière s’écrit :
| (m/3) | 0 | 0 |
| 0 | (m/3) | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
Le théorème de Huygens nous permet de la donner en O1 sous la forme : ΠT/O1 = ΠT/G1 + ΠO1,G1.
Où ΠO1,G1, le terme de transport de Huygens, est donné par :
| (m/16) | 0 | 0 |
| 0 | (m/16) | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
D’où :
| (4m/3) | 0 | 0 |
| 0 | (4m/3) | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
Calcul de la matrice d’inertie du disque en C dans la base B1 (ΠD/C)
Cette matrice d’inertie est classique, elle s’écrit :
| (mR2/4) | 0 | 0 |
| 0 | (mR2/4) | 0 |
| 0 | 0 | (mR2/2) |
Calcul de la matrice d’inertie du disque en O1 dans la base B1 (ΠD/O1)
On utilise le théorème de Huygens entre les points C (centre d’inertie du disque) et le point O1, qui s’écrit : ΠD/O1 = ΠD/C + ΠO1,C.
Où ΠO1,C, le terme de transport de Huygens, est donné par :
| (16m/9) | 0 | 0 |
| 0 | (16m/9) | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
D’où :
| (mR2/4 + 16m/9) | 0 | 0 |
| 0 | (mR2/4 + 16m/9) | 0 |
| 0 | 0 | (mR2/2) |
Calcul de la matrice d’inertie de Σ en G dans la base B1 (ΠΣ/G)
On obtiendra la matrice d’inertie en additionnant les deux matrices d’inertie ΠT/G et ΠD/G. Ces deux dernières sont transportées par Huygens en G à partir respectivement de G1 et C.
Pour la tige, on a : ΠT/G = ΠT/G1 + ΠG,G1.
Où ΠG,G1 est le terme de transport de Huygens, donné par :
| (m/36) | 0 | 0 |
| 0 | (m/36) | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
Soit ΠT/G :
| (13m/36) | 0 | 0 |
| 0 | (13m/36) | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
Pour le disque, on a : ΠD/G = ΠD/C + ΠG,C.
Où ΠG,C est le terme de transport de Huygens, donné par :
| (m/36) | 0 | 0 |
| 0 | (m/36) | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
Soit ΠD/G :
| (mR2/4 + m/36) | 0 | 0 |
| 0 | (mR2/4 + m/36) | 0 |
| 0 | 0 | (mR2/2) |
D’où, la matrice d’inertie totale du système Σ en G : ΠΣ/G = ΠT/G + ΠD/G.
| (mR2/4 + 13m/36 + m/36) | 0 | 0 |
| 0 | (mR2/4 + 13m/36 + m/36) | 0 |
| 0 | 0 | (mR2/2) |
Ce qui donne :
| (R2/4 + 7/18)m | 0 | 0 |
| 0 | (R2/4 + 7/18)m | 0 |
| 0 | 0 | (mR2/2) |
Deuxième Partie : Torseurs et Énergie Cinétique
1) Calcul des torseurs cinématique, cinétique et dynamique
Torseur cinématique de la tige par rapport à R0 réduit au point A
Le référentiel R0 est (O0, B0) avec B0 = (x0, y0, z0).
Le vecteur vitesse de rotation instantanée de la tige par rapport à R0 est : ΩT/R0 = φ z0. La vitesse du point A est nulle : vA/R0 = 0.
D’où le torseur cinématique de la tige par rapport à R0 réduit au point A :
CT/R0 = [ ΩT/R0 ]A =
[ φ z0 ]
[ 0 ]A
Remarque : Il n'est pas nécessaire de considérer la rotation propre de la tige car sa section transversale est négligeable. Si elle était prise en compte, elle ne modifierait pas la cinétique de la tige car le moment d’inertie de cette dernière par rapport à l’axe de rotation Ax1 est nul.
Torseur cinématique du disque par rapport à R0 réduit au point A
La résultante de ce torseur est la vitesse de rotation du disque par rapport à R0, elle est donnée par : ΩD/R0 = θ x1 + φ z0. Le point A est lié au disque et vA/R0 = 0.
D’où le torseur cinématique du disque par rapport à R0 réduit au point A :
CD/R0 = [ ΩD/R0 ]A =
[ θ x1 + φ z0 ]
[ 0 ]A
Torseur cinématique du système Σ par rapport à R0 réduit au point A
La résultante de ce torseur est la vitesse de rotation de Σ par rapport à R0, elle est donnée par : ΩΣ/R0 = θ x1 + φ z0. Le point A est lié à Σ et vA/R0 = 0.
D’où le torseur cinématique du système Σ par rapport à R0 réduit au point A :
CΣ/R0 = [ ΩΣ/R0 ]A =
[ θ x1 + φ z0 ]
[ 0 ]A
Torseur cinétique de la tige par rapport à R0 réduit au point A
La vitesse du centre d’inertie G1 de la tige est donnée par : vG1/R0 = φ y0.
D’où la résultante du torseur cinétique : m vG1/R0 = m φ y0.
Le point A étant fixe et lié à la tige, on utilise le premier théorème de Koenig qui, avec vA/R0 = 0, permet d’écrire : σA,T/R0 = ΠT/A ΩT/R0 + m &vec;AG ∧ vA/R0.
Avec vA/R0 = 0 et la matrice d’inertie ΠT/A = diag(0, C, C), on obtient :
σA,T/R0 = C φ z0.
Finalement, le torseur cinétique de la tige est :
CT/R0 = [ m φ y0 ]
[ C φ z0 ]A
Torseur cinétique du disque par rapport à R0 réduit au point A
La vitesse du centre d’inertie C du disque est donnée par : vC/R0 = (4/3) φ y0.
D’où la résultante du torseur cinétique du mouvement du disque par rapport à R0 qui s’écrit : m vC/R0 = (4/3) m φ y0.
Le point A étant fixe et lié au disque, on utilise le premier théorème de Koenig qui, avec vA/R0 = 0, permet d’écrire : σA,D/R0 = ΠD/A ΩD/R0 + m &vec;AC ∧ vA/R0.
La matrice d’inertie du disque a été donnée au point C sous la forme : ΠD/C = diag(A, B, B) (Attention : ne pas confondre le terme d'inertie 'A' avec le point 'A' !). D’où, en utilisant le théorème de Huygens, on obtient ΠD/A :
| (A + 16m/9) | 0 | 0 |
| 0 | (B + 16m/9) | 0 |
| 0 | 0 | B |
Le moment cinétique du mouvement du disque par rapport à R0 au point A est donc :
σA,D/R0 = (A + 16m/9)θ x1 + (B + 16m/9)φ z0.
D’où le torseur cinétique du disque :
CD/R0 = [ (4/3) m φ y0 ]
[ (A + 16m/9)θ x1 + (B + 16m/9)φ z0 ]A
Torseur cinétique du système Σ par rapport à R0 réduit au point A
Les deux torseurs CT/R0 et CD/R0 ont été réduits au même point A. On obtient alors : CΣ/R0 = CT/R0 + CD/R0.
Ce qui donne :
CΣ/R0 = [ m φ y0 + (4/3) m φ y0 ]
[ C φ z0 + (A + 16m/9)θ x1 + (B + 16m/9)φ z0 ]A
Soit :
CΣ/R0 = [ (7/3) m φ y0 ]
[ (A + 16m/9)θ x1 + (B + C + 16m/9)φ z0 ]A
Torseur dynamique de la tige par rapport à R0 réduit au point A
La résultante des efforts d'inertie de la tige par rapport à R0 est : m γG1/R0 = m (-φ2 x1 + φ. y1).
D’après le deuxième théorème de Koenig, on a : δA,T/R0 = d(σA,T/R0)/dt + vA/R0 ∧ (m vG1/R0). Comme le point A est fixe (vA/R0 = 0), il vient : δA,T/R0 = d(σA,T/R0)/dt.
On dérive le moment cinétique σA,T/R0 = C φ z0. D’où :
δA,T/R0 = C φ. z0.
Finalement, le torseur dynamique de la tige est :
CδT/R0 = [ m (-φ2 x1 + φ. y1) ]
[ C φ. z0 ]A
Torseur dynamique du disque par rapport à R0 réduit au point A
La résultante des efforts d'inertie du disque par rapport à R0 est : m γC/R0 = m (-(4/3)φ2 x1 + (4/3)φ. y1).
D’après le deuxième théorème de Koenig, on a : δA,D/R0 = d(σA,D/R0)/dt + vA/R0 ∧ (m vC/R0). Le point A étant fixe (vA/R0 = 0), il vient : δA,D/R0 = d(σA,D/R0)/dt.
En effectuant le calcul de la dérivée du moment cinétique σA,D/R0 = (A + 16m/9)θ x1 + (B + 16m/9)φ z0, on obtient :
δA,D/R0 = (A + 16m/9)θ. x1 + (A + 16m/9)θφ y1 + (B + 16m/9)φ. z0.
D’où le torseur dynamique du disque :
CδD/R0 = [ m (-(4/3)φ2 x1 + (4/3)φ. y1) ]
[ (A + 16m/9)θ. x1 + (A + 16m/9)θφ y1 + (B + 16m/9)φ. z0 ]A
Torseur dynamique du système Σ par rapport à R0 réduit au point A
Les deux torseurs CδT/R0 et CδD/R0 ont été réduits au même point A. On obtient alors : CδΣ/R0 = CδT/R0 + CδD/R0.
CδΣ/R0 = [ m (-φ2 x1 + φ. y1) + m (-(4/3)φ2 x1 + (4/3)φ. y1) ]
[ C φ. z0 + (A + 16m/9)θ. x1 + (A + 16m/9)θφ y1 + (B + 16m/9)φ. z0 ]A
Soit :
CδΣ/R0 = [ m (-(7/3)φ2 x1 + (7/3)φ. y1) ]
[ (A + 16m/9)θ. x1 + (A + 16m/9)θφ y1 + (B + C + 16m/9)φ. z0 ]A
2) Calcul de l'énergie cinétique
Énergie cinétique de la tige par rapport à R0 (TT/R0)
D’après le théorème de Koenig, et sachant que vA/R0 = 0, l'énergie cinétique est donnée par : 2 TT/R0 = ΩT/R0 · σA,T/R0.
Soit : TT/R0 = (1/2) C φ2.
Énergie cinétique du disque par rapport à R0 (TD/R0)
D’après le théorème de Koenig, et sachant que vA/R0 = 0, l'énergie cinétique est donnée par : 2 TD/R0 = ΩD/R0 · σA,D/R0.
Soit : TD/R0 = (1/2) [(A + 16m/9)θ2 + (B + 16m/9)φ2].
Énergie cinétique du système Σ par rapport à R0 (TΣ/R0)
Par addition des deux énergies cinétiques de la tige et du disque, il vient : TΣ/R0 = TT/R0 + TD/R0.
Soit : TΣ/R0 = (1/2) [C φ2 + (A + 16m/9)θ2 + (B + 16m/9)φ2].
Ce qui donne : TΣ/R0 = (1/2) [(A + 16m/9)θ2 + (B + C + 16m/9)φ2].
FAQ : Questions Fréquemment Posées
Qu'est-ce que le théorème de Huygens et quand l'utilise-t-on ?
Le théorème de Huygens (ou théorème des axes parallèles) permet de calculer le moment d'inertie d'un corps par rapport à un axe quelconque à partir de son moment d'inertie par rapport à un axe parallèle passant par son centre d'inertie. Il est couramment utilisé en mécanique du solide pour simplifier les calculs d'inertie lorsque l'axe de rotation ne passe pas par le centre de masse.
Quelle est la différence entre un torseur cinématique et un torseur cinétique ?
Le torseur cinématique représente le mouvement d'un solide. Sa résultante est le vecteur vitesse de rotation instantanée et son moment est le vecteur vitesse d'un point choisi. Le torseur cinétique, quant à lui, caractérise la quantité de mouvement et le mouvement de rotation d'un solide. Sa résultante est la quantité de mouvement du solide (masse × vitesse du centre d'inertie) et son moment est le moment cinétique par rapport à un point.
Pourquoi le point A est-il considéré comme fixe (vA/R0 = 0) dans ces calculs ?
Dans cet exercice, le point A est choisi comme point de réduction des torseurs et est supposé être un point fixe dans le référentiel R0. Cela simplifie considérablement les applications des théorèmes de Koenig pour les moments cinétique et dynamique, car les termes impliquant la vitesse du point de réduction deviennent nuls.