Ce document constitue un corrigé détaillé d'un contrôle de mécanique des solides indéformables, spécifiquement conçu pour les étudiants universitaires de la filière SMP (S4).
Il aborde de manière exhaustive la mécanique d'un solide plan, incluant le calcul de la masse, du centre de masse et de la matrice d'inertie, en appliquant le théorème de Huygens. La deuxième partie est consacrée à la dynamique des corps, explorant les torseurs cinématique, cinétique et dynamique, ainsi que l'énergie cinétique des systèmes.
Controle mecanique du solide indeformable - Télécharger pdf
Télécharger PDFPremière partie : Mécanique d'un solide plan
1) Calcul de la masse m
Puisque le solide (un disque dont un quart a été soustrait, désigné D-1/4) est homogène, avec une densité surfacique σ, la masse élémentaire dm est égale à σ dS. Pour un demi-disque, le choix des coordonnées polaires (r, θ) est le plus pratique. Dans ce cas, l'élément de surface dS = r dr dθ, d'où dm = σ r dr dθ.
La masse m est obtenue par l'intégrale de surface sur le domaine S :
m = ∫∫S dm = ∫∫S σ r dr dθ.
Puisque les domaines d'intégration pour les variables r et θ sont indépendants, l'intégrale de surface est égale au produit de deux intégrales simples. Pour un solide correspondant à un disque de rayon R dont un quart a été retiré, les limites sont r ∈ [0, R] et θ ∈ [0, 3π/2]. Donc :
m = σ (∫0R r dr) (∫03π/2 dθ) = σ [r2/2]0R [θ]03π/2.
Soit m = σ (R2/2) (3π/2) = (3/4) σ π R2.
2.a) Coordonnées du centre de masse G du solide D-1/4
Le solide S est plan et se situe dans le plan (O, x, y). Par conséquent, la coordonnée zG du centre de masse G est nulle (zG = 0). En raison de la symétrie de la forme (un disque avec un quart retiré), l'axe y = -x est un axe de symétrie du système, ce qui signifie que xG = -yG. Il suffit de calculer yG.
La coordonnée yG est donnée par yG = (1/m) ∫∫S y dm.
En remarquant que y = r sin(θ), l'intégrale au numérateur s'écrit :
∫∫S y dm = ∫0R ∫03π/2 r sin(θ) σ r dr dθ = σ (∫0R r2 dr) (∫03π/2 sin(θ) dθ).
∫0R r2 dr = [r3/3]0R = R3/3.
∫03π/2 sin(θ) dθ = [-cos(θ)]03π/2 = -cos(3π/2) - (-cos(0)) = 0 - (-1) = 1.
D'où ∫∫S y dm = σ R3/3.
En utilisant la valeur de m = (3/4) σ π R2 :
yG = (σ R3/3) / ((3/4) σ π R2) = (σ R3/3) * (4 / (3 σ π R2)) = 4R / (9π).
Finalement, yG = 4R / (9π).
En vertu de la symétrie xG = -yG, nous avons xG = -4R / (9π).
Les coordonnées du centre de masse G sont donc (-4R / (9π), 4R / (9π), 0).
2.b) Calcul de la matrice d'inertie Π(D-1/4, O) par rapport à l'origine O
Le solide S étant plan et contenu dans le plan (O, x, y), les produits d'inertie de la matrice d'inertie Π(D-1/4, O) qui impliquent la coordonnée z sont nuls. Cependant, le produit d'inertie F, qui implique x et y, n'est pas nul en raison de la forme du solide.
La matrice d'inertie admet donc la forme suivante :
Π(S, O) =
[ A -F 0 ]
[ -F B 0 ]
[ 0 0 C ]
Les éléments diagonaux A, B et C sont les moments d'inertie par rapport aux axes x, y et z respectivement, tandis que F est un produit d'inertie, traduisant la répartition asymétrique de la masse.
Calcul de A
Nous avons A = ∫∫S y2 dm = ∫∫S y2 σ dS = ∫∫S σ (r sin(θ))2 r dr dθ.
Les domaines d'intégration étant indépendants :
A = σ (∫0R r3 dr) (∫03π/2 sin2(θ) dθ).
∫0R r3 dr = R4/4.
∫03π/2 sin2(θ) dθ = ∫03π/2 (1 - cos(2θ))/2 dθ = [θ/2 - sin(2θ)/4]03π/2 = 3π/4.
Ainsi, A = σ (R4/4) (3π/4) = (3/16) σ π R4.
En utilisant m = (3/4) σ π R2, ce qui donne σ = 4m / (3πR2), on obtient :
A = (3/16) (4m / (3πR2)) π R4 = m R2 / 4.
Calcul de B
Nous avons B = ∫∫S x2 dm = ∫∫S x2 σ dS = ∫∫S σ (r cos(θ))2 r dr dθ.
Les domaines d'intégration étant indépendants :
B = σ (∫0R r3 dr) (∫03π/2 cos2(θ) dθ).
∫0R r3 dr = R4/4.
∫03π/2 cos2(θ) dθ = ∫03π/2 (1 + cos(2θ))/2 dθ = [θ/2 + sin(2θ)/4]03π/2 = 3π/4.
Ainsi, B = σ (R4/4) (3π/4) = (3/16) σ π R4.
En fonction de la masse m, on obtient : B = m R2 / 4.
Calcul de C
Nous avons C = ∫∫S (x2 + y2) dm. Pour un solide plan dans le plan (O,x,y), C = A + B.
D'où C = mR2/4 + mR2/4 = mR2/2.
Calcul de F
Nous avons F = ∫∫S xy dm = ∫∫S xy σ dS = ∫∫S σ (r cos(θ))(r sin(θ)) r dr dθ.
Les domaines d'intégration étant indépendants :
F = σ (∫0R r3 dr) (∫03π/2 cos(θ)sin(θ) dθ).
∫0R r3 dr = R4/4.
∫03π/2 cos(θ)sin(θ) dθ = ∫03π/2 (1/2)sin(2θ) dθ = [(-1/4)cos(2θ)]03π/2 = (-1/4)(cos(3π) - cos(0)) = (-1/4)(-1 - 1) = 1/2.
Soit F = σ (R4/4) (1/2) = σ R4 / 8.
En fonction de la masse m, on obtient : F = (4m / (3πR2)) R4 / 8 = m R2 / (6π).
Finalement, la matrice d'inertie Π(D-1/4, O) est :
Π(D-1/4, O) =
[ mR2/4 -mR2/(6π) 0 ]
[ -mR2/(6π) mR2/4 0 ]
[ 0 0 mR2/2 ]
2.c) Matrice d'inertie Π(D-1/4, G) par rapport au centre de masse G
La matrice d'inertie du solide S par rapport à son centre de masse G s'obtient par l'application du théorème de Huygens (ou théorème de Steiner) :
Π(D-1/4, G) = Π(D-1/4, O) - Π(O, G).
Où Π(O, G) est la matrice de transport, donnée par :
Π(O, G) = m
[ yG2 + zG2 -xGyG -xGzG ]
[ -xGyG xG2 + zG2 -yGzG ]
[ -xGzG -yGzG xG2 + yG2 ]
Avec xG = -4R / (9π), yG = 4R / (9π) et zG = 0.
Les termes sont :
xG2 = 16R2 / (81π2)
yG2 = 16R2 / (81π2)
xGyG = -16R2 / (81π2)
yG2 + zG2 = 16R2 / (81π2)
xG2 + zG2 = 16R2 / (81π2)
xG2 + yG2 = 32R2 / (81π2).
La matrice de transport Π(O, G) est :
Π(O, G) = m
[ 16R2/(81π2) 16R2/(81π2) 0 ]
[ 16R2/(81π2) 16R2/(81π2) 0 ]
[ 0 0 32R2/(81π2) ]
D'où Π(D-1/4, G) = Π(D-1/4, O) - Π(O, G) :
Π(D-1/4, G) = m
[ (R2/4 - 16R2/(81π2)) (-R2/(6π) - 16R2/(81π2)) 0 ]
[ (-R2/(6π) - 16R2/(81π2)) (R2/4 - 16R2/(81π2)) 0 ]
[ 0 0 (R2/2 - 32R2/(81π2)) ]
Deuxième partie : Dynamique des corps
Cette partie étudie les torseurs cinématique, cinétique et dynamique de deux corps, T et D, par rapport à un référentiel R0.
1) Calcul du torseur cinématique du corps T par rapport à R0 au point O0
Le torseur cinématique caractérise le mouvement instantané d'un solide.
- Le vecteur vitesse de rotation instantanée du corps T par rapport à R0 est : Ω(T/R0) = θ̇ z0 (où θ̇ est la vitesse angulaire et z0 le vecteur unitaire de l'axe de rotation).
- La vitesse du point O0 (fixe dans R0) est nulle : v(O0/R0) = 0.
Le torseur cinématique en O0 est donc :
C(T/R0)O0 = [ Ω(T/R0) ] = [ θ̇ z0 ]
[ v(O0/R0) ] [ 0 ]
Calcul du torseur cinématique du corps D par rapport à R0 au point G2
- Le vecteur vitesse de rotation instantanée du corps D par rapport à R0 est : Ω(D/R0) = θ̇ z0.
- La vitesse du point G2 par rapport à R0 est donnée par la relation de transport. Elle est donnée par : v(G2/R0) = (xG2 + yG2) θ̇, où xG2 et yG2 sont les composantes de la position de G2.
Le torseur cinématique en G2 est donc :
C(D/R0)G2 = [ Ω(D/R0) ] = [ θ̇ z0 ]
[ v(G2/R0) ] [ (xG2 + yG2) θ̇ ]
2) Calcul du torseur cinétique du corps T par rapport à R0 au point O0
Le torseur cinétique exprime la quantité de mouvement et le moment cinétique du solide.
- La quantité de mouvement linéaire du corps T est p(T/R0) = mT v(GT/R0). En supposant v(GT/R0) = L θ̇ yvect (où yvect est un vecteur unitaire et L une distance), on a p(T/R0) = mT L θ̇ yvect.
- En considérant une matrice d'inertie simplifiée pour ce corps en rotation autour de z0, le moment cinétique en O0 est σ(O0, T/R0) = C θ̇ z0.
Le torseur cinétique en O0 est donc :
K(T/R0)O0 = [ mT L θ̇ yvect ]
[ C θ̇ z0 ]
Calcul du torseur cinétique du corps D par rapport à R0 au point G2
- La quantité de mouvement linéaire du corps D est p(D/R0) = mD v(G2/R0). En utilisant v(G2/R0) = (xG2 + yG2) θ̇, on a p(D/R0) = mD (xG2 + yG2) θ̇.
- Le moment cinétique en G2 est σ(G2, D/R0) = Π(D, G) Ω(D/R0). Avec Π(D, G) = diag(A, A, B) et une rotation autour de z0, le moment cinétique est B θ̇ z0.
Le torseur cinétique en G2 est donc :
K(D/R0)G2 = [ mD (xG2 + yG2) θ̇ ]
[ B θ̇ z0 ]
3) Calcul de l'énergie cinétique du corps T par rapport à R0
Il convient d'utiliser le point O0 pour appliquer le théorème de Koenig (Théorème III).
Ec(T/R0) = (1/2) Ω(T/R0) ⋅ σ(O0, T/R0).
Avec Ω(T/R0) = θ̇ z0 et σ(O0, T/R0) = C θ̇ z0, il vient :
Ec(T/R0) = (1/2) (θ̇ z0) ⋅ (C θ̇ z0) = (1/2) C θ̇2.
Calcul de l'énergie cinétique du corps D par rapport à R0
Il convient d'utiliser le centre de masse G2 pour appliquer le théorème de Koenig (Théorème III).
Ec(D/R0) = (1/2) mD v(G2/R0)2 + (1/2) Ω(D/R0) ⋅ σ(G2, D/R0).
Avec v(G2/R0) = (xG2 + yG2) θ̇ et σ(G2, D/R0) = B θ̇ z0 :
Ec(D/R0) = (1/2) mD ((xG2 + yG2) θ̇)2 + (1/2) (θ̇ z0) ⋅ (B θ̇ z0).
D'où, tout calcul fait : Ec(D/R0) = (1/2) mD (xG2 + yG2)2 θ̇2 + (1/2) B θ̇2.
4) Calcul du torseur dynamique du corps T par rapport à R0 au point O0
Le torseur dynamique représente la résultante des forces et le moment résultant.
- La quantité d'accélération du corps T par rapport à R0 (résultante dynamique) est γ(T/R0) = mT a(GT/R0). En dérivant la quantité de mouvement p(T/R0) = mT L θ̇ yvect, on obtient : γ(T/R0) = mT (-L θ̇2 xvect + L θ̈ yvect).
- Le moment dynamique en O0 est δ(O0, T/R0) = (d/dt)R0 (σ(O0, T/R0)). Avec σ(O0, T/R0) = C θ̇ z0, il vient : δ(O0, T/R0) = C θ̈ z0.
D'où le torseur dynamique en O0 :
D(T/R0)O0 = [ mT (-L θ̇2 xvect + L θ̈ yvect) ]
[ C θ̈ z0 ]
Calcul du torseur dynamique du corps D par rapport à R0 au point G2
- La quantité d'accélération du corps D par rapport à R0 est γ(D/R0) = mD a(G2/R0). La dérivation du vecteur vitesse de G2, v(G2/R0) = (xG2 + yG2) θ̇, donne une expression complexe pour l'accélération, incluant des termes d'accélération centripète et tangentielle. L'accélération est donnée par : γ(D/R0) = mD ((-xG2 θ̇2 + xG2 θ̈) xvect + (yG2 θ̇2 + yG2 θ̈) yvect).
- Le moment dynamique en G2 est δ(G2, D/R0) = (d/dt)R0 (σ(G2, D/R0)). Avec σ(G2, D/R0) = B θ̇ z0, il vient : δ(G2, D/R0) = B θ̈ z0.
D'où le torseur dynamique en G2 :
D(D/R0)G2 = [ mD ((-xG2 θ̇2 + xG2 θ̈) xvect + (yG2 θ̇2 + yG2 θ̈) yvect) ]
[ B θ̈ z0 ]
5) Calcul du torseur dynamique total Σ par rapport à R0 au point O0
Le torseur dynamique total est obtenu en effectuant la somme des deux torseurs dynamiques après les avoir réduits au même point O0.
Nous avons déjà D(T/R0)O0. Nous devons calculer D(D/R0)O0 en utilisant la relation de transport des torseurs :
D(D/R0)O0 = [ γ(D/R0)G2 ]
[ δ(G2, D/R0) + OG2 ∧ γ(D/R0)G2 ].
Où OG2 est le vecteur position du point G2 par rapport à O0.
Le torseur dynamique total Σ(R0)O0 est la somme de la résultante dynamique totale et du moment dynamique total au point O0. Les expressions finales sont complexes, combinant tous les termes de masse, de positions (L, xG2, yG2), d'accélérations angulaires (θ̈) et de vitesses angulaires (θ̇2).
L'expression condensée de ces termes, qui représente la résultante dynamique et le moment dynamique total en O0, est la suivante :
Σ(R0)O0 =
[ mT(-Lθ̇2 xvect + Lθ̈ yvect) + mD(-xG2θ̇2 + xG2θ̈)xvect + mD(yG2θ̇2 + yG2θ̈)yvect ]
[ (CT + BD)θ̈ z0 + (OG2 ∧ γ(D/R0)G2)z ]
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'une matrice d'inertie et son rôle en mécanique ?
La matrice d'inertie est un tenseur fondamental en mécanique des solides qui décrit la répartition de la masse d'un corps autour d'un point ou d'un axe. Elle est cruciale pour déterminer la résistance d'un corps à la rotation (son inertie à la rotation), calculer son moment cinétique et son énergie cinétique de rotation. Elle permet de caractériser le comportement dynamique d'un solide en rotation.
Comment le théorème de Huygens est-il utilisé dans le calcul d'une matrice d'inertie ?
Le théorème de Huygens, aussi connu sous le nom de théorème de Steiner, est employé pour transférer la matrice d'inertie d'un solide. Il permet de calculer la matrice d'inertie par rapport à un point arbitraire O si l'on connaît la matrice d'inertie par rapport au centre de masse G, ou vice-versa. Cela est particulièrement utile lorsque le centre de masse est le point de référence le plus simple pour les calculs d'inertie, et que l'on a besoin de ces grandeurs par rapport à un autre point fixe ou mobile.
Quelle est la différence entre les torseurs cinématique, cinétique et dynamique ?
Les torseurs sont des outils mathématiques vectoriels utilisés pour décrire divers aspects du mouvement et des actions mécaniques sur un solide. Le torseur cinématique décrit le mouvement géométrique du solide, c'est-à-dire sa rotation et sa translation. Le torseur cinétique caractérise la quantité de mouvement et le moment cinétique du solide. Enfin, le torseur dynamique représente les actions mécaniques externes (forces et moments) exercées sur le solide qui sont responsables de ses accélérations, en accord avec le principe fondamental de la dynamique.