Corrigé de la série n°1 -Analyse 1

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Série 1: Les Nombres Réels - Corrigé

Exercice 1

Soient x et y deux nombres réels.

1. Montrons que |x| + |y| ≤ |x+y| + |x-y|.

En utilisant l'inégalité triangulaire, nous avons :

|x+y| + |x-y| ≥ |(x+y) + (x-y)| = |2x| = 2|x| (Inégalité 1)
|x+y| + |x-y| ≥ |(x+y) - (x-y)| = |2y| = 2|y| (Inégalité 2)

En sommant l'Inégalité 1 et l'Inégalité 2 :

2(|x+y| + |x-y|) ≥ 2|x| + 2|y|

En simplifiant par 2, nous obtenons :

|x+y| + |x-y| ≥ |x| + |y|.

2. Montrons que 1 + |xy-1| ≤ (1+|x-1|)(1+|y-1|).

Développons le membre de droite :

(1+|x-1|)(1+|y-1|) = 1 + |x-1| + |y-1| + |x-1||y-1|

Puisque |a||b| = |ab|, nous avons :

(1+|x-1|)(1+|y-1|) = 1 + |x-1| + |y-1| + |(x-1)(y-1)|

Nous savons que xy - 1 peut s'écrire comme :

xy - 1 = (x-1+1)(y-1+1) - 1 = (x-1)(y-1) + (x-1) + (y-1).

Donc, |xy-1| = |(x-1)(y-1) + (x-1) + (y-1)|.

Par l'inégalité triangulaire (|a+b+c| ≤ |a|+|b|+|c|), nous avons :

|xy-1| ≤ |(x-1)(y-1)| + |x-1| + |y-1|

En ajoutant 1 aux deux membres de cette inégalité :

1 + |xy-1| ≤ 1 + |(x-1)(y-1)| + |x-1| + |y-1|

Ce qui est égal à :

1 + |xy-1| ≤ (1+|x-1|)(1+|y-1|).

3. Montrons que Max(x, y) = (x+y+|x-y|)/2 et Min(x,y) = (x+y-|x-y|)/2.

Démonstration pour Max(x, y) :

Considérons deux cas possibles pour la relation entre x et y :

Cas 1 : x ≥ y
Dans ce cas, |x-y| = x-y.

En substituant dans la formule : Max(x, y) = (x+y + (x-y))/2 = (2x)/2 = x.

Ceci est correct, car si x est supérieur ou égal à y, alors le maximum est x.
Cas 2 : x < y
Dans ce cas, |x-y| = -(x-y) = y-x.

En substituant dans la formule : Max(x, y) = (x+y + (y-x))/2 = (2y)/2 = y.

Ceci est correct, car si x est strictement inférieur à y, alors le maximum est y.

Ainsi, pour tout (x, y) ∈ ℝ², la formule Max(x,y) = (x+y+|x-y|)/2 est vérifiée.

Démonstration pour Min(x, y) :

Par une analyse similaire, nous considérons les deux mêmes cas :

Cas 1 : x ≥ y
Dans ce cas, |x-y| = x-y.

En substituant dans la formule : Min(x, y) = (x+y - (x-y))/2 = (2y)/2 = y.

Ceci est correct, car si x est supérieur ou égal à y, alors le minimum est y.
Cas 2 : x < y
Dans ce cas, |x-y| = -(x-y) = y-x.

En substituant dans la formule : Min(x, y) = (x+y - (y-x))/2 = (2x)/2 = x.

Ceci est correct, car si x est strictement inférieur à y, alors le minimum est x.

Ainsi, pour tout (x, y) ∈ ℝ², la formule Min(x,y) = (x+y-|x-y|)/2 est vérifiée.

Exercice 2

Soient x, y ∈ ℚ⁺ (nombres rationnels strictement positifs) tels que x ≠ y, √x ∉ ℚ et √y ∉ ℚ.

On considère a = √x + √y et b = √x - √y.

1. Calculons a × b.

a × b = (√x + √y)(√x - √y)

Ceci est une identité remarquable de la forme (u+v)(u-v) = u²-v² :

a × b = (√x)² - (√y)² = x - y.

Puisque x et y sont des nombres rationnels, leur différence x - y est également un nombre rationnel. Donc, a × b ∈ ℚ.

2. Démontrons que a ∉ ℚ et b ∉ ℚ.

Démonstration pour a ∉ ℚ :

Supposons par l'absurde que a ∈ ℚ. Alors, la somme √x + √y est un nombre rationnel.

Nous pouvons écrire √y = a - √x.

Élevons au carré les deux membres de l'équation :

y = (a - √x)² = a² - 2a√x + (√x)²

y = a² - 2a√x + x.

Réarrangeons l'équation pour isoler √x :

2a√x = a² + x - y.

Puisque a, x, y sont des nombres rationnels, l'expression a² + x - y est un nombre rationnel.

Si a ≠ 0, alors √x = (a² + x - y) / (2a) serait un nombre rationnel. Cela contredit directement notre hypothèse initiale selon laquelle √x ∉ ℚ.
Si a = 0, cela signifie que √x + √y = 0. Étant donné que x et y sont positifs, cela n'est possible que si √x = -√y, ce qui, pour des racines positives, implique x=y=0, ou si une des racines est négative ce qui n'est pas le cas. Si x,y > 0, alors √x + √y > 0, donc a ne peut être 0. Cependant, si on permettait des valeurs nulles, √x = -√y impliquerait x=y. Mais l'énoncé stipule x ≠ y. Donc a ne peut être nul.

Dans tous les cas, l'hypothèse que a ∈ ℚ conduit à une contradiction. Par conséquent, a ∉ ℚ.

Démonstration pour b ∉ ℚ :

Supposons par l'absurde que b ∈ ℚ. Alors, la différence √x - √y est un nombre rationnel.

Nous pouvons écrire √y = √x - b.

Élevons au carré les deux membres de l'équation :

y = (√x - b)² = (√x)² - 2b√x + b²

y = x - 2b√x + b².

Réarrangeons l'équation pour isoler √x :

2b√x = x + b² - y.

Puisque b, x, y sont des nombres rationnels, l'expression x + b² - y est un nombre rationnel.

Si b ≠ 0, alors √x = (x + b² - y) / (2b) serait un nombre rationnel. Cela contredit notre hypothèse initiale selon laquelle √x ∉ ℚ.
Si b = 0, cela signifie que √x - √y = 0, ce qui implique √x = √y, et donc x = y. Cela contredit l'hypothèse de l'énoncé x ≠ y.

Dans tous les cas, l'hypothèse que b ∈ ℚ conduit à une contradiction. Par conséquent, b ∉ ℚ.

Nous avons donc démontré que a ∉ ℚ et b ∉ ℚ.

3. Démontrons que √2 + √3 ∉ ℚ et √2 + √3 + √6 ∉ ℚ.

Démonstration pour √2 + √3 ∉ ℚ :

Supposons par l'absurde que √2 + √3 ∈ ℚ. Si c'est le cas, alors il existe un nombre rationnel q tel que √2 + √3 = q.

Élevons au carré les deux membres de l'équation :

(√2 + √3)² = q²

(√2)² + 2√2√3 + (√3)² = q²

2 + 2√6 + 3 = q²

5 + 2√6 = q²

2√6 = q² - 5.

Puisque q est rationnel, q² est rationnel, et donc q² - 5 est également rationnel. Cela signifierait que 2√6 est rationnel, ce qui impliquerait que √6 est rationnel. Cependant, √6 est un nombre irrationnel (car 6 n'est pas un carré parfait). Cette contradiction démontre que notre hypothèse initiale était fausse. Par conséquent, √2 + √3 ∉ ℚ.

Démonstration pour √2 + √3 + √6 ∉ ℚ :

Supposons par l'absurde que Z = √2 + √3 + √6 ∈ ℚ.

Nous pouvons réécrire l'équation comme : Z - √6 = √2 + √3.

Élevons au carré les deux membres :

(Z - √6)² = (√2 + √3)²

Z² - 2Z√6 + (√6)² = (√2)² + 2√2√3 + (√3)²

Z² - 2Z√6 + 6 = 2 + 2√6 + 3

Z² - 2Z√6 + 6 = 5 + 2√6.

Réarrangeons les termes pour isoler √6 :

Z² + 1 = 2Z√6 + 2√6

Z² + 1 = (2Z + 2)√6.

Si 2Z + 2 ≠ 0 (c'est-à-dire Z ≠ -1), alors √6 = (Z² + 1) / (2Z + 2).

Puisque Z est un nombre rationnel (par notre hypothèse), alors (Z² + 1) / (2Z + 2) est également un nombre rationnel. Cela impliquerait que √6 est rationnel, ce qui est une contradiction. Si 2Z + 2 = 0, alors Z = -1. Dans ce cas, l'équation Z² + 1 = (2Z + 2)√6 deviendrait (-1)² + 1 = 0, soit 2 = 0, ce qui est absurde. De plus, la somme √2 + √3 + √6 est clairement positive et ne peut pas être égale à -1.

Dans tous les cas, notre hypothèse initiale mène à une contradiction. Par conséquent, √2 + √3 + √6 ∉ ℚ.

Exercice 3

Soit E(x) la partie entière de x.

1. Montrons que 0 ≤ E(2x) - 2E(x) ≤ 1.

Première méthode : Analyse par intervalles.

Posons p = E(x). Par définition, p est un entier et p ≤ x < p+1.

Nous pouvons diviser l'intervalle [p, p+1[ en deux sous-intervalles :

Cas 1 : p ≤ x < p + 1/2
Multiplions par 2 : 2p ≤ 2x < 2p+1. Donc, E(2x) = 2p.

Alors, E(2x) - 2E(x) = 2p - 2p = 0.

La valeur 0 satisfait l'inégalité 0 ≤ 0 ≤ 1.
Cas 2 : p + 1/2 ≤ x < p+1
Multiplions par 2 : 2p+1 ≤ 2x < 2p+2. Donc, E(2x) = 2p+1.

Alors, E(2x) - 2E(x) = (2p+1) - 2p = 1.

La valeur 1 satisfait l'inégalité 0 ≤ 1 ≤ 1.

Dans les deux cas, la valeur de E(2x) - 2E(x) est soit 0 soit 1. Par conséquent, 0 ≤ E(2x) - 2E(x) ≤ 1 pour tout x ∈ ℝ.

Deuxième méthode : Utilisation des propriétés des inégalités de la partie entière.

Pour tout réel y, nous savons que E(y) ≤ y < E(y)+1.

Appliquons cette propriété à 2x :

E(2x) ≤ 2x (Inégalité A)

De la propriété pour x, nous avons x < E(x)+1, ce qui implique -x > -E(x)-1.

Multiplions par 2 : -2x > -2E(x)-2.

D'une autre façon, nous avons E(x) > x-1, ce qui implique -E(x) < 1-x. Multiplions par 2 : -2E(x) < 2-2x (Inégalité B').

En sommant (A) et (B') :

E(2x) - 2E(x) < 2x + (2-2x) = 2.

D'autre part, nous avons :

E(2x) > 2x-1 (Inégalité C)

Et E(x) ≤ x, donc -2E(x) ≥ -2x (Inégalité D).

En sommant (C) et (D) :

E(2x) - 2E(x) > (2x-1) + (-2x) = -1.

En combinant les résultats, nous obtenons : -1 < E(2x) - 2E(x) < 2.

Puisque E(2x) - 2E(x) est nécessairement un entier, les seules valeurs possibles sont 0 ou 1.

Par conséquent, 0 ≤ E(2x) - 2E(x) ≤ 1.

2. Montrons que E(x) + E(-x) = 0 si x ∈ ℤ et E(x) + E(-x) = -1 si x ∉ ℤ.

Cas 1 : x ∈ ℤ

Si x est un entier, alors par définition de la partie entière, E(x) = x et E(-x) = -x.

Donc, E(x) + E(-x) = x + (-x) = 0.

Cas 2 : x ∉ ℤ

Si x n'est pas un entier, alors E(x) est l'entier juste inférieur à x. Nous avons E(x) < x < E(x)+1.

De même, pour -x, E(-x) est l'entier juste inférieur à -x. Nous avons E(-x) < -x < E(-x)+1.

En ajoutant les inégalités E(x) < x et E(-x) < -x, on obtient :

E(x) + E(-x) < x + (-x) = 0.

En ajoutant les inégalités x < E(x)+1 et -x < E(-x)+1, on obtient :

0 < (E(x)+1) + (E(-x)+1)

0 < E(x) + E(-x) + 2

Ce qui implique E(x) + E(-x) > -2.

En combinant ces résultats, nous avons -2 < E(x) + E(-x) < 0.

Puisque E(x) + E(-x) est un entier, la seule valeur possible dans l'intervalle ]-2, 0[ est -1.

Par conséquent, E(x) + E(-x) = -1 si x ∉ ℤ.

3. Soient x, y ∈ ℝ. Montrons que E(x)+E(y) ≤ E(x+y) ≤ E(x)+E(y)+1.

Par définition de la partie entière, nous avons les inégalités suivantes :

E(x) ≤ x < E(x)+1
E(y) ≤ y < E(y)+1

En additionnant ces deux paires d'inégalités, terme par terme :

E(x) + E(y) ≤ x+y < (E(x)+1) + (E(y)+1)

E(x) + E(y) ≤ x+y < E(x) + E(y) + 2.

Posons P = E(x) + E(y). P est un entier, puisque E(x) et E(y) sont des entiers.

L'inégalité devient P ≤ x+y < P+2.

Par définition de la partie entière E(x+y), c'est le plus grand entier inférieur ou égal à x+y.

Puisque P est un entier et P ≤ x+y, il s'ensuit que P ≤ E(x+y). Cette première partie de l'inégalité est établie.
De plus, nous savons que x+y < P+2. Étant donné que E(x+y) ≤ x+y, il s'ensuit que E(x+y) < P+2. Puisque E(x+y) est un entier, cela implique que E(x+y) doit être inférieur ou égal à P+1. Cette seconde partie de l'inégalité est établie.

En combinant les deux parties, nous obtenons l'inégalité cherchée :

E(x) + E(y) ≤ E(x+y) ≤ E(x) + E(y) + 1.

Exercice 4

1. Rappel : A et B sont deux parties non vides et bornées de ℝ. Par conséquent, chacune admet une borne supérieure (supremum) et une borne inférieure (infimum).

2. Démontrons que si A ⊆ B, alors inf(B) ≤ inf(A) ≤ sup(A) ≤ sup(B).

Démonstration de sup(A) ≤ sup(B) :
Puisque A est un sous-ensemble de B (A ⊆ B), tout élément de A est également un élément de B. Par définition, sup(B) est un majorant de B, donc pour tout y ∈ B, y ≤ sup(B). Cela implique que pour tout x ∈ A, x ≤ sup(B). Par conséquent, sup(B) est un majorant de A. Or, sup(A) est défini comme le plus petit des majorants de A. Il s'ensuit donc que sup(A) ≤ sup(B).
Démonstration de inf(B) ≤ inf(A) :
De manière similaire, inf(B) est un minorant de B, donc pour tout y ∈ B, y ≥ inf(B). Cela implique que pour tout x ∈ A, x ≥ inf(B). Par conséquent, inf(B) est un minorant de A. Or, inf(A) est défini comme le plus grand des minorants de A. Il s'ensuit donc que inf(B) ≤ inf(A).

De plus, pour toute partie non vide et bornée de ℝ, la borne inférieure est toujours inférieure ou égale à la borne supérieure, c'est-à-dire inf(A) ≤ sup(A).

En combinant ces trois inégalités, nous obtenons la chaîne :

inf(B) ≤ inf(A) ≤ sup(A) ≤ sup(B).

3. Démontrons que sup(A ∪ B) = max(sup(A), sup(B)) et inf(A ∪ B) = min(inf(A), inf(B)).

Pour sup(A ∪ B) :

Existence et borne supérieure de A ∪ B :
A et B étant non vides, leur union A ∪ B est également non vide. Soit z ∈ A ∪ B. Alors z ∈ A ou z ∈ B. Si z ∈ A, alors z ≤ sup(A). Si z ∈ B, alors z ≤ sup(B). Dans tous les cas, z ≤ max(sup(A), sup(B)). Cela signifie que max(sup(A), sup(B)) est un majorant de A ∪ B. Puisque A ∪ B est non vide et majorée, sa borne supérieure sup(A ∪ B) existe.
sup(A ∪ B) ≤ max(sup(A), sup(B)) :
Comme démontré ci-dessus, max(sup(A), sup(B)) est un majorant de A ∪ B. Par définition de la borne supérieure (le plus petit des majorants), nous avons sup(A ∪ B) ≤ max(sup(A), sup(B)).
sup(A ∪ B) ≥ max(sup(A), sup(B)) :
Puisque A ⊆ A ∪ B, d'après la propriété démontrée précédemment, sup(A) ≤ sup(A ∪ B). De même, puisque B ⊆ A ∪ B, sup(B) ≤ sup(A ∪ B). Par conséquent, max(sup(A), sup(B)) doit être inférieur ou égal à sup(A ∪ B).

En combinant les deux inégalités (≤ et ≥), nous concluons que sup(A ∪ B) = max(sup(A), sup(B)).

Pour inf(A ∪ B) :

La démonstration est analogue à celle pour la borne supérieure :

inf(A ∪ B) ≥ min(inf(A), inf(B)) :
min(inf(A), inf(B)) est un minorant de A ∪ B. Par définition de la borne inférieure (le plus grand des minorants), nous avons inf(A ∪ B) ≥ min(inf(A), inf(B)).
inf(A ∪ B) ≤ min(inf(A), inf(B)) :
Puisque A ⊆ A ∪ B, inf(A ∪ B) ≤ inf(A). De même, puisque B ⊆ A ∪ B, inf(A ∪ B) ≤ inf(B). Par conséquent, inf(A ∪ B) ≤ min(inf(A), inf(B)).

En combinant les deux inégalités, nous concluons que inf(A ∪ B) = min(inf(A), inf(B)).

4. Démontrons que, si A ∩ B ≠ ∅, alors inf(A ∩ B) ≥ max(inf(A), inf(B)) et sup(A ∩ B) ≤ min(sup(A), sup(B)).

L'hypothèse que A ∩ B ≠ ∅ est essentielle, car si l'intersection est vide, ses bornes supérieure et inférieure ne sont pas définies de la même manière.

Pour sup(A ∩ B) :

Puisque A ∩ B ⊆ A, nous pouvons appliquer la propriété que si un ensemble est un sous-ensemble d'un autre, la borne supérieure du sous-ensemble est inférieure ou égale à celle de l'ensemble plus grand. Donc, sup(A ∩ B) ≤ sup(A).
De même, puisque A ∩ B ⊆ B, nous avons sup(A ∩ B) ≤ sup(B).

Par conséquent, sup(A ∩ B) doit être inférieur ou égal au minimum de sup(A) et sup(B) :

sup(A ∩ B) ≤ min(sup(A), sup(B)).

Exemple : Soit A = {-1, 0, 1, 2} et B = [0, √2]. L'intersection A ∩ B = {0, 1}. sup(A) = 2, sup(B) = √2 (environ 1.414). Donc min(sup(A), sup(B)) = √2. sup(A ∩ B) = 1. Nous vérifions que 1 ≤ √2, ce qui confirme l'inégalité.

Pour inf(A ∩ B) :

Puisque A ∩ B ⊆ A, nous avons inf(A ∩ B) ≥ inf(A).
De même, puisque A ∩ B ⊆ B, nous avons inf(A ∩ B) ≥ inf(B).

Par conséquent, inf(A ∩ B) doit être supérieur ou égal au maximum de inf(A) et inf(B) :

inf(A ∩ B) ≥ max(inf(A), inf(B)).

Exercice 5 : Étude de Bornes Supérieures et Inférieures de divers ensembles

1. Ensemble E₁ = {(-1)ⁿ, n ∈ ℕ}

L'ensemble E₁ = {(-1)⁰, (-1)¹, (-1)², ...} est composé uniquement des valeurs 1 et -1. Donc E₁ = {-1, 1}.

E₁ est non vide et borné.
Les majorants de E₁ forment l'intervalle [1, +∞[.
La borne supérieure est le plus petit majorant : sup(E₁) = 1.
Puisque 1 est un élément de E₁, le maximum de E₁ existe et max(E₁) = 1.
Les minorants de E₁ forment l'intervalle ]-∞, -1].
La borne inférieure est le plus grand minorant : inf(E₁) = -1.
Puisque -1 est un élément de E₁, le minimum de E₁ existe et min(E₁) = -1.

2. Ensemble E₂ = {(-1)ⁿ/n, n ∈ ℕ*}

L'ensemble E₂ est {(-1)¹/1, (-1)²/2, (-1)³/3, (-1)⁴/4, ...} = {-1, 1/2, -1/3, 1/4, -1/5, ...}.

E₂ est non vide et borné (les termes tendent vers 0).
Les termes positifs sont de la forme 1/n (pour n pair). Le plus grand de ces termes est 1/2 (pour n=2).
Les termes négatifs sont de la forme -1/n (pour n impair). Le plus petit de ces termes est -1 (pour n=1).
La borne supérieure est sup(E₂) = 1/2.
Puisque 1/2 ∈ E₂ (pour n=2), le maximum de E₂ existe et max(E₂) = 1/2.
La borne inférieure est inf(E₂) = -1.
Puisque -1 ∈ E₂ (pour n=1), le minimum de E₂ existe et min(E₂) = -1.

3. Ensemble A₂ = ℕ (l'ensemble des nombres naturels, incluant zéro)

L'ensemble A₂ = {0, 1, 2, 3, ...}.

A₂ n'est pas borné supérieurement. Les majorants n'existent pas dans ℝ.
Par conséquent, sup(A₂) n'existe pas (il est +∞) et max(A₂) n'existe pas.
A₂ est borné inférieurement par 0. L'ensemble de ses minorants est ]-∞, 0].
La borne inférieure est le plus grand minorant : inf(A₂) = 0.
Puisque 0 ∈ A₂, le minimum de A₂ existe et min(A₂) = 0.

4. Ensemble A₃ = [0, 1[ ∩ ℚ (les nombres rationnels dans l'intervalle semi-ouvert [0, 1[)

L'ensemble A₃ = {q ∈ ℚ | 0 ≤ q < 1}.

A₃ est non vide et borné.
Les majorants de A₃ forment l'intervalle [1, +∞[.
La borne supérieure est le plus petit majorant : sup(A₃) = 1.
Puisque 1 ∉ A₃, le maximum de A₃ n'existe pas.
Les minorants de A₃ forment l'intervalle ]-∞, 0].
La borne inférieure est le plus grand minorant : inf(A₃) = 0.
Puisque 0 ∈ A₃, le minimum de A₃ existe et min(A₃) = 0.

5. Ensemble A₁ = {1/n, n ∈ ℕ*}

L'ensemble A₁ = {1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...} = {1, 0.5, 0.333..., 0.25, ...}.

A₁ est non vide et borné.
L'élément le plus grand de A₁ est 1 (pour n=1). L'ensemble des majorants est [1, +∞[.
La borne supérieure est sup(A₁) = 1.
Puisque 1 ∈ A₁, le maximum de A₁ existe et max(A₁) = 1.
Tous les éléments de A₁ sont positifs. Donc, 0 est un minorant. L'ensemble des minorants est ]-∞, 0].
La borne inférieure est inf(A₁) = 0.
Démonstration de inf(A₁) = 0 :
- Pour tout n ∈ ℕ*, 1/n > 0. Donc 0 est bien un minorant.
- Soit ε > 0. D'après la propriété d'Archimède, il existe un entier n₀ ∈ ℕ* tel que 1/n₀ < ε. Cela signifie qu'il existe un élément de A₁ (à savoir 1/n₀) qui est inférieur à 0 + ε. Ainsi, 0 est le plus grand des minorants.
Puisque 0 ∉ A₁, le minimum de A₁ n'existe pas.

6. Ensemble A₂' = {2 - 1/(2²ⁿ⁺¹), n ∈ ℕ}

L'ensemble A₂' = {2 - 1/2¹, 2 - 1/2³, 2 - 1/2⁵, ...} = {3/2, 15/8, 63/32, ...}.

A₂' est non vide et borné.
Les termes de cette suite sont strictement croissants : 3/2 = 1.5, 15/8 = 1.875, 63/32 = 1.96875, ... Ils se rapprochent de 2.
L'élément le plus petit de A₂' est 3/2 (pour n=0). L'ensemble des minorants est ]-∞, 3/2].
La borne inférieure est inf(A₂') = 3/2.
Puisque 3/2 ∈ A₂', le minimum de A₂' existe et min(A₂') = 3/2.
Tous les éléments de A₂' sont strictement inférieurs à 2. L'ensemble des majorants est [2, +∞[.
La borne supérieure est sup(A₂') = 2.
Démonstration de sup(A₂') = 2 :
- Pour tout n ∈ ℕ, 2 - 1/(2²ⁿ⁺¹) < 2. Donc 2 est bien un majorant.
- Soit ε > 0. Nous voulons montrer qu'il existe un élément dans A₂' supérieur à 2 - ε. Nous cherchons n tel que 2 - 1/(2²ⁿ⁺¹) > 2 - ε. Cela équivaut à 1/(2²ⁿ⁺¹) < ε, ou 2²ⁿ⁺¹ > 1/ε. Prenons le logarithme base 2 : 2n+1 > log₂(1/ε) = -log₂(ε). Il existe toujours un entier n ∈ ℕ qui satisfait cette condition. Ainsi, 2 est le plus petit des majorants.
Puisque 2 ∉ A₂', le maximum de A₂' n'existe pas.

7. Ensemble A = A₁ ∪ A₂'

Soit A l'union des ensembles A₁ = {1/n, n ∈ ℕ*} et A₂' = {2 - 1/(2²ⁿ⁺¹), n ∈ ℕ}.

En utilisant les propriétés de l'union d'ensembles bornés :
- sup(A) = max(sup(A₁), sup(A₂')) = max(1, 2) = 2.
- Puisque sup(A) = 2 et 2 ∉ A (car 2 ∉ A₁ et 2 ∉ A₂'), le maximum de A n'existe pas.
- inf(A) = min(inf(A₁), inf(A₂')) = min(0, 3/2) = 0.
- Puisque inf(A) = 0 et 0 ∉ A (car 0 ∉ A₁ et 0 ∉ A₂'), le minimum de A n'existe pas.

8. Ensemble C = {x-y, x ∈ ]2,9[, y ∈ ]-1,10[}

Nous cherchons les bornes de l'ensemble des différences x-y, où x est dans l'intervalle ouvert (2, 9) et y est dans l'intervalle ouvert (-1, 10).

Pour la borne inférieure de C : Pour minimiser x-y, nous prenons le plus petit x possible et le plus grand y possible. inf(C) = inf(x) - sup(y) = 2 - 10 = -8.
Pour la borne supérieure de C : Pour maximiser x-y, nous prenons le plus grand x possible et le plus petit y possible. sup(C) = sup(x) - inf(y) = 9 - (-1) = 10.

Puisque les intervalles de x et y sont ouverts, l'intervalle résultant pour x-y est également ouvert.

Donc, C = ]-8, 10[.

inf(C) = -8. Puisque -8 ∉ C, min(C) n'existe pas.
sup(C) = 10. Puisque 10 ∉ C, max(C) n'existe pas.

9. Ensemble D = {xy / x ∈ ]2,9[, y ∈ ]-1,10[}

L'intervalle pour y contient des nombres négatifs, le zéro et des nombres positifs. Nous devons donc analyser le produit xy en fonction du signe de y.

Soit D₁ = {xy | x ∈ ]2,9[, y ∈ ]-1,0[} (où y est négatif).

Pour inf(D₁) : Lorsque x est grand (proche de 9) et y est petit (proche de -1), le produit xy sera le plus petit (le plus négatif). Donc, inf(D₁) = sup(x) × inf(y) = 9 × (-1) = -9.
Pour sup(D₁) : Lorsque x est petit (proche de 2) et y est grand (proche de 0 par les négatifs), le produit xy sera le plus grand (le plus proche de 0). Donc, sup(D₁) = inf(x) × sup(y) = 2 × 0 = 0.

Ainsi, D₁ = ]-9, 0[.

Soit D₂ = {xy | x ∈ ]2,9[, y ∈ [0,10[} (où y est positif ou nul).

Pour inf(D₂) : Lorsque x est petit (proche de 2) et y est petit (proche de 0), le produit xy sera le plus petit (le plus proche de 0). Donc, inf(D₂) = inf(x) × inf(y) = 2 × 0 = 0.
Pour sup(D₂) : Lorsque x est grand (proche de 9) et y est grand (proche de 10), le produit xy sera le plus grand. Donc, sup(D₂) = sup(x) × sup(y) = 9 × 10 = 90.

Ainsi, D₂ = [0, 90[.

L'ensemble D est l'union de D₁ et D₂ : D = D₁ ∪ D₂ = ]-9, 0[ ∪ [0, 90[ = ]-9, 90[.

inf(D) = min(inf(D₁), inf(D₂)) = min(-9, 0) = -9. Puisque -9 ∉ D, min(D) n'existe pas.
sup(D) = max(sup(D₁), sup(D₂)) = max(0, 90) = 90. Puisque 90 ∉ D, max(D) n'existe pas.

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce que l'inégalité triangulaire ?

L'inégalité triangulaire est une propriété fondamentale en mathématiques qui stipule que pour tous nombres réels x et y, la valeur absolue de leur somme est inférieure ou égale à la somme de leurs valeurs absolues : |x+y| ≤ |x| + |y|. Elle peut aussi être généralisée sous la forme ||x| - |y|| ≤ |x-y|. Cette inégalité est cruciale dans de nombreux domaines, de l'analyse réelle à la géométrie, car elle exprime une relation de distance essentielle.

Comment déterminer la borne supérieure et inférieure d'un ensemble ?

La borne supérieure (supremum) d'un ensemble est le plus petit de ses majorants. Un majorant est un nombre supérieur ou égal à tous les éléments de l'ensemble. La borne inférieure (infimum) est le plus grand de ses minorants. Un minorant est un nombre inférieur ou égal à tous les éléments de l'ensemble. Si l'ensemble contient son supremum, celui-ci est également le maximum de l'ensemble. De même, si l'ensemble contient son infimum, celui-ci est également le minimum de l'ensemble. Ces concepts sont essentiels pour l'étude des limites et de la complétude des ensembles de nombres.

Pourquoi est-il important de distinguer les nombres rationnels des irrationnels ?

La distinction entre nombres rationnels (qui peuvent être exprimés comme une fraction d'entiers) et irrationnels (qui ne le peuvent pas, comme √2 ou π) est fondamentale. Elle permet de comprendre la "densité" de la droite réelle et l'existence de solutions à certaines équations. Les nombres irrationnels sont nécessaires pour "remplir" les "trous" entre les nombres rationnels sur la droite numérique, assurant ainsi la complétude de l'ensemble des nombres réels, un concept vital pour la continuité, la dérivation et l'intégration en analyse.

Corrigé de la série n°1 -Analyse 1 - Télécharger pdf

Série 1: Les Nombres Réels - Corrigé

Exercice 1

Démonstration pour Max(x, y) :

Démonstration pour Min(x, y) :

Exercice 2

Démonstration pour a ∉ ℚ :

Démonstration pour b ∉ ℚ :

Démonstration pour √2 + √3 ∉ ℚ :

Démonstration pour √2 + √3 + √6 ∉ ℚ :

Exercice 3

Première méthode : Analyse par intervalles.

Deuxième méthode : Utilisation des propriétés des inégalités de la partie entière.

Cas 1 : x ∈ ℤ

Cas 2 : x ∉ ℤ

Exercice 4

Pour sup(A ∪ B) :

Pour inf(A ∪ B) :

Pour sup(A ∩ B) :

Pour inf(A ∩ B) :

Exercice 5 : Étude de Bornes Supérieures et Inférieures de divers ensembles

1. Ensemble E1 = {(-1)n, n ∈ ℕ}

2. Ensemble E2 = {(-1)n/n, n ∈ ℕ*}

3. Ensemble A2 = ℕ (l'ensemble des nombres naturels, incluant zéro)

4. Ensemble A3 = [0, 1[ ∩ ℚ (les nombres rationnels dans l'intervalle semi-ouvert [0, 1[)

5. Ensemble A1 = {1/n, n ∈ ℕ*}

6. Ensemble A2' = {2 - 1/(22n+1), n ∈ ℕ}

7. Ensemble A = A1 ∪ A2'

8. Ensemble C = {x-y, x ∈ ]2,9[, y ∈ ]-1,10[}

9. Ensemble D = {xy / x ∈ ]2,9[, y ∈ ]-1,10[}

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce que l'inégalité triangulaire ?

Comment déterminer la borne supérieure et inférieure d'un ensemble ?

Pourquoi est-il important de distinguer les nombres rationnels des irrationnels ?

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نموذج الاتصال

1. Ensemble E₁ = {(-1)ⁿ, n ∈ ℕ}

2. Ensemble E₂ = {(-1)ⁿ/n, n ∈ ℕ*}

3. Ensemble A₂ = ℕ (l'ensemble des nombres naturels, incluant zéro)

4. Ensemble A₃ = [0, 1[ ∩ ℚ (les nombres rationnels dans l'intervalle semi-ouvert [0, 1[)

5. Ensemble A₁ = {1/n, n ∈ ℕ*}

6. Ensemble A₂' = {2 - 1/(2²ⁿ⁺¹), n ∈ ℕ}

7. Ensemble A = A₁ ∪ A₂'