Corrigé de la série n°2 -Analyse 1 - Télécharger pdf
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Exercice 1 : Calcul de Limites
a) Suite U_n = (2 * 4^n - 3^n) / (2 * 4^n + 3^n)
Pour calculer la limite de U_n lorsque n tend vers l'infini, nous divisons le numérateur et le dénominateur par 4^n, le terme dominant :
U_n = (2 * 4^n / 4^n - 3^n / 4^n) / (2 * 4^n / 4^n + 3^n / 4^n)
U_n = (2 - (3/4)^n) / (2 + (3/4)^n)
Comme lim (3/4)^n = 0 lorsque n tend vers l'infini, nous obtenons :
lim U_n = (2 - 0) / (2 + 0) = 1
b) Suite U_n = (2n + sin(n)) / (2n+1)
Nous savons que pour tout entier n, -1 ≤ sin(n) ≤ 1.
Ainsi, nous pouvons encadrer la suite U_n :
(2n - 1) / (2n + 1) ≤ (2n + sin(n)) / (2n + 1) ≤ (2n + 1) / (2n + 1)
Calculons les limites des suites encadrantes :
lim (2n - 1) / (2n + 1) = lim (2 - 1/n) / (2 + 1/n) = 2/2 = 1 lorsque n → +∞
lim (2n + 1) / (2n + 1) = 1 lorsque n → +∞
D'après le théorème des gendarmes (ou théorème d'encadrement), la limite de U_n est :
lim U_n = 1
c) Suite U_n = cos(n) / (sin(n) + ln(n))
Nous savons que pour tout entier n, -1 ≤ cos(n) ≤ 1. Le numérateur de la suite est borné.
Pour le dénominateur, sin(n) est borné (-1 ≤ sin(n) ≤ 1) et lim ln(n) = +∞ lorsque n tend vers l'infini.
Par conséquent, lim (sin(n) + ln(n)) = +∞.
Quand le numérateur est borné et le dénominateur tend vers l'infini, la fraction tend vers 0.
lim U_n = 0
d) Suite U_n = 5/3 + 5/3^2 + ... + 5/3^n
Il s'agit de la somme des n premiers termes d'une suite géométrique de premier terme a = 5/3 et de raison r = 1/3.
La formule de la somme des n premiers termes est : S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r)
U_n = (5/3) * (1 - (1/3)^n) / (1 - 1/3)
U_n = (5/3) * (1 - (1/3)^n) / (2/3)
U_n = (5/3) * (3/2) * (1 - (1/3)^n)
U_n = 5/2 * (1 - (1/3)^n)
Lorsque n tend vers l'infini, lim (1/3)^n = 0.
Donc, lim U_n = 5/2 * (1 - 0) = 5/2
e) Suite U_n = Σ_{k=1 to n} (-3^k + 2)
Nous pouvons réécrire U_n comme la somme de deux séries :
U_n = Σ_{k=1 to n} (-3^k) + Σ_{k=1 to n} (2)
U_n = - (3 + 3^2 + ... + 3^n) + 2n
La première partie est une somme de termes d'une suite géométrique de premier terme 3 et de raison 3 :
Σ_{k=1 to n} (3^k) = 3 * (3^n - 1) / (3 - 1) = 3/2 * (3^n - 1)
Donc, U_n = - (3/2 * (3^n - 1)) + 2n
U_n = (3 - 3^{n+1}) / 2 + 2n
Lorsque n tend vers l'infini, le terme -3^{n+1}/2 domine les autres termes.
lim U_n = -∞
Exercice 2 : Convergence de Suites
a) Convergence par le critère du rapport
Soit la suite (U_n). En appliquant le critère de d'Alembert (test du rapport), nous calculons la limite du rapport U_{n+1}/U_n :
lim (U_{n+1}/U_n) = 0 lorsque n tend vers l'infini.
Puisque la limite du rapport est 0 (qui est strictement inférieure à 1), la suite (U_n) converge vers 0.
b) Suite définie par un produit de logarithmes
Considérons la suite définie par un produit de termes logarithmiques, par exemple :
U_n = Π_{k=2 to n} (ln(2k) / ln(2k+1))
Pour étudier sa convergence, nous examinons sa monotonie et si elle est bornée.
Le rapport des termes consécutifs U_{n+1}/U_n est donné par :
U_{n+1}/U_n = (Π_{k=2 to n+1} (ln(2k) / ln(2k+1))) / (Π_{k=2 to n} (ln(2k) / ln(2k+1)))
U_{n+1}/U_n = ln(2(n+1)) / ln(2(n+1)+1) = ln(2n+2) / ln(2n+3)
Puisque la fonction ln(x) est strictement croissante, ln(2n+2) < ln(2n+3) pour tout n ≥ 2.
Par conséquent, U_{n+1}/U_n < 1. Cela signifie que la suite (U_n) est strictement décroissante.
De plus, tous les termes ln(2k) et ln(2k+1) sont positifs pour k ≥ 2, donc le produit U_n est toujours positif. La suite est minorée par 0.
Une suite décroissante et minorée est convergente.
c) Suite U_n = n! / n^n
Pour étudier la convergence de cette suite, nous utilisons le critère du rapport :
U_{n+1}/U_n = ((n+1)! / (n+1)^{n+1}) / (n! / n^n)
U_{n+1}/U_n = ((n+1) * n! / (n+1)^{n+1}) * (n^n / n!)
U_{n+1}/U_n = (n+1) * n^n / (n+1)^{n+1} = n^n / (n+1)^n = (n / (n+1))^n
U_{n+1}/U_n = (1 / ((n+1)/n))^n = 1 / (1 + 1/n)^n
Lorsque n tend vers l'infini, lim (1 + 1/n)^n = e (où e est la constante d'Euler).
Donc, lim (U_{n+1}/U_n) = 1/e
Puisque 1/e ≈ 1/2.718, qui est un nombre strictement inférieur à 1, la suite (U_n) converge vers 0.
Exercice 3 : Calcul de Limites par Encadrement
a) Suite U_n = Σ_{k=1 to n} (1/√k)
Nous cherchons la limite de U_n = 1/√1 + 1/√2 + ... + 1/√n.
Pour chaque terme 1/√k de la somme, nous savons que si k est un entier positif tel que 1 ≤ k ≤ n, alors √k ≤ √n.
Par conséquent, 1/√k ≥ 1/√n.
En sommant cette inégalité pour k allant de 1 à n :
U_n = Σ_{k=1 to n} (1/√k) ≥ Σ_{k=1 to n} (1/√n)
U_n ≥ n * (1/√n)
U_n ≥ √n
Puisque lim √n = +∞ lorsque n tend vers l'infini, par comparaison (théorème de minoration), la suite (U_n) tend vers +∞.
lim U_n = +∞
b) Suite U_n = Σ_{k=1 to n} (1/(n+√k))
Nous allons utiliser le théorème des gendarmes pour trouver la limite de cette suite.
Pour chaque terme de la somme, 1/(n+√k), et pour 1 ≤ k ≤ n, nous établissons les inégalités :
1 ≤ √k ≤ √n
n + 1 ≤ n + √k ≤ n + √n
En inversant les termes, l'inégalité change de sens :
1/(n + √n) ≤ 1/(n + √k) ≤ 1/(n + 1)
En sommant ces inégalités pour k allant de 1 à n (il y a n termes dans la somme) :
Σ_{k=1 to n} (1/(n + √n)) ≤ U_n ≤ Σ_{k=1 to n} (1/(n + 1))
n / (n + √n) ≤ U_n ≤ n / (n + 1)
Calculons les limites des suites encadrantes :
lim (n / (n + √n)) = lim (n / (n(1 + 1/√n))) = lim (1 / (1 + 1/√n)) = 1 / (1 + 0) = 1 lorsque n → +∞
lim (n / (n + 1)) = lim (n / (n(1 + 1/n))) = lim (1 / (1 + 1/n)) = 1 / (1 + 0) = 1 lorsque n → +∞
D'après le théorème des gendarmes, la limite de U_n est :
lim U_n = 1
c) Suite U_n = Σ_{k=1 to n} ((2n+1) / (3n^2+k))
Nous appliquons à nouveau le théorème des gendarmes pour cette suite.
Pour chaque terme (2n+1) / (3n^2+k), et pour 1 ≤ k ≤ n, nous avons les inégalités :
3n^2 + 1 ≤ 3n^2 + k ≤ 3n^2 + n
En inversant les termes et en multipliant par le numérateur positif (2n+1), l'inégalité change de sens pour l'inversion :
(2n+1) / (3n^2 + n) ≤ (2n+1) / (3n^2 + k) ≤ (2n+1) / (3n^2 + 1)
En sommant ces n inégalités pour k allant de 1 à n :
n * (2n+1) / (3n^2 + n) ≤ U_n ≤ n * (2n+1) / (3n^2 + 1)
(2n^2 + n) / (3n^2 + n) ≤ U_n ≤ (2n^2 + n) / (3n^2 + 1)
Calculons les limites des suites encadrantes :
lim (2n^2 + n) / (3n^2 + n) = lim (2 + 1/n) / (3 + 1/n) = 2/3 lorsque n → +∞
lim (2n^2 + n) / (3n^2 + 1) = lim (2 + 1/n) / (3 + 1/n^2) = 2/3 lorsque n → +∞
D'après le théorème des gendarmes, la limite de U_n est :
lim U_n = 2/3
Exercice 4 : Monotonie et Bornes de Suites
Soient les suites (U_n) et (W_n) définies pour n ∈ N* par :
U_n = 1 + 1/(4n^2)
W_n = -1 + 1/((2n+1)^2)
1. Monotonie de (U_n)
Pour étudier la monotonie, calculons la différence U_{n+1} - U_n :
U_{n+1} - U_n = (1 + 1/(4(n+1)^2)) - (1 + 1/(4n^2))
U_{n+1} - U_n = 1/(4(n+1)^2) - 1/(4n^2)
U_{n+1} - U_n = (n^2 - (n+1)^2) / (4n^2(n+1)^2)
U_{n+1} - U_n = -(2n+1) / (4n^2(n+1)^2)
Puisque n ∈ N*, le numérateur -(2n+1) est strictement négatif et le dénominateur est strictement positif.
Donc, U_{n+1} - U_n < 0. La suite (U_n) est strictement décroissante.
2. Bornes de (U_n)
La suite (U_n) étant strictement décroissante, sa borne supérieure (supremum) est son premier terme :
sup(U_n) = U_1 = 1 + 1/(4*1^2) = 1 + 1/4 = 5/4
La limite de U_n lorsque n tend vers l'infini est :
lim U_n = lim (1 + 1/(4n^2)) = 1 + 0 = 1
La suite est minorée par sa limite. Donc, sa borne inférieure (infimum) est :
inf(U_n) = 1
3. Monotonie de (W_n)
Pour étudier la monotonie, calculons la différence W_{n+1} - W_n :
W_{n+1} - W_n = (-1 + 1/((2(n+1)+1)^2)) - (-1 + 1/((2n+1)^2))
W_{n+1} - W_n = 1/((2n+3)^2) - 1/((2n+1)^2)
W_{n+1} - W_n = ((2n+1)^2 - (2n+3)^2) / ((2n+3)^2 * (2n+1)^2)
W_{n+1} - W_n = ((4n^2+4n+1) - (4n^2+12n+9)) / ((2n+3)^2 * (2n+1)^2)
W_{n+1} - W_n = (-8n-8) / ((2n+3)^2 * (2n+1)^2)
Puisque n ∈ N*, le numérateur (-8n-8) est strictement négatif et le dénominateur est strictement positif.
Donc, W_{n+1} - W_n < 0. La suite (W_n) est strictement décroissante.
4. Bornes de (W_n)
La suite (W_n) étant strictement décroissante, sa borne supérieure (supremum) est son premier terme. Si n commence à 0, W_0 est le premier terme :
sup(W_n) = W_0 = -1 + 1/((2*0+1)^2) = -1 + 1 = 0
La limite de W_n lorsque n tend vers l'infini est :
lim W_n = lim (-1 + 1/((2n+1)^2)) = -1 + 0 = -1
La suite est minorée par sa limite. Donc, sa borne inférieure (infimum) est :
inf(W_n) = -1
5. Bornes de l'union des ensembles X et Y
Soient X = {U_n, n ∈ N*} et Y = {W_n, n ∈ N}.
Nous avons sup(X) = 5/4 et inf(X) = 1.
Nous avons sup(Y) = 0 et inf(Y) = -1.
Pour l'ensemble Z = X ∪ Y :
sup(Z) = max(sup(X), sup(Y)) = max(5/4, 0) = 5/4
inf(Z) = min(inf(X), inf(Y)) = min(1, -1) = -1
Exercice 5 : Suites Adjacentes et Irrationalité de e
Soient les suites (U_n) et (V_n) définies pour n ∈ N par :
U_n = Σ_{k=0 to n} (1/k!)
V_n = U_n + 1/(n * n!) pour n ≥ 1 (avec la convention V_0 = U_0 = 1)
1. Monotonie des suites
Monotonie de (U_n) :
U_{n+1} - U_n = (Σ_{k=0 to n+1} (1/k!)) - (Σ_{k=0 to n} (1/k!)) = 1/(n+1)!
Puisque (n+1)! > 0 pour tout n, U_{n+1} - U_n > 0. La suite (U_n) est strictement croissante.
Monotonie de (V_n) pour n ≥ 1 :
V_{n+1} - V_n = (U_{n+1} + 1/((n+1)(n+1)!)) - (U_n + 1/(n*n!))
V_{n+1} - V_n = (U_{n+1} - U_n) + 1/((n+1)(n+1)!) - 1/(n*n!)
V_{n+1} - V_n = 1/(n+1)! + 1/((n+1)(n+1)!) - 1/(n*n!) (En utilisant U_{n+1} - U_n = 1/(n+1)!)
Pour simplifier, mettons au même dénominateur n(n+1)(n+1)! :
V_{n+1} - V_n = (n(n+1) + n - (n+1)^2) / (n(n+1)(n+1)!)
V_{n+1} - V_n = (n^2 + 2n - (n^2 + 2n + 1)) / (n(n+1)(n+1)!)
V_{n+1} - V_n = -1 / (n(n+1)(n+1)!)
Puisque n(n+1)(n+1)! > 0 pour n ≥ 1, V_{n+1} - V_n < 0. La suite (V_n) est strictement décroissante.
2. Limite de la différence
Calculons la limite de la différence V_n - U_n :
lim (V_n - U_n) = lim (1/(n * n!)) lorsque n → +∞
Lorsque n tend vers l'infini, n * n! tend vers l'infini, donc 1/(n * n!) tend vers 0.
lim (V_n - U_n) = 0
3. Conclusion sur les suites adjacentes
Puisque (U_n) est croissante, (V_n) est décroissante et la limite de leur différence est nulle, les suites (U_n) et (V_n) sont adjacentes.
Elles convergent donc vers la même limite. Cette limite commune est la constante e (base du logarithme naturel).
4. Démonstration de l'irrationalité de e
Supposons par l'absurde que e soit un nombre rationnel. Alors e peut s'écrire sous la forme p/q, où p et q sont des entiers positifs (q ≥ 1).
Nous savons que les suites (U_n) et (V_n) encadrent e, c'est-à-dire U_q < e < V_q pour tout q ≥ 1.
Donc, Σ_{k=0 to q} (1/k!) < p/q < Σ_{k=0 to q} (1/k!) + 1/(q * q!)
Multiplions toute l'inégalité par q! :
q! * Σ_{k=0 to q} (1/k!) < q! * p/q < q! * (Σ_{k=0 to q} (1/k!) + 1/(q * q!))
Notons que le terme de gauche, q! * Σ_{k=0 to q} (1/k!) = q!/0! + q!/1! + ... + q!/q!, est une somme d'entiers et est donc un entier. Appelons cet entier M.
Le terme du milieu, q! * p/q = p * (q-1)!, est également un entier (si q ≥ 1). Appelons cet entier N.
Le terme de droite est q! * Σ_{k=0 to q} (1/k!) + q!/(q * q!) = M + 1/q.
L'inégalité devient : M < N < M + 1/q
Si q ≥ 2, alors 0 < 1/q ≤ 1/2. L'inégalité M < N < M + 1/q signifierait qu'il existe un entier N strictement compris entre M et M + 1/q, ce qui est impossible car la distance entre M et M + 1/q est inférieure à 1.
Si q = 1, l'inégalité devient M < p < M + 1, ce qui est également impossible pour un entier p.
Cette contradiction logique provient de notre hypothèse initiale que e est rationnel. Par conséquent, e est irrationnel.
Exercice 6 : Convergence de la Série Harmonique Alternée
Soit la suite (U_n) définie pour n ∈ N* par U_n = Σ_{k=1 to n} ((-1)^{k+1}/k).
Nous considérons les deux sous-suites :
- (V_n) = (U_{2n}) (termes d'indice pair)
- (W_n) = (U_{2n+1}) (termes d'indice impair)
1. Monotonie de (V_n)
V_{n+1} - V_n = U_{2(n+1)} - U_{2n} = U_{2n+2} - U_{2n}
U_{2n+2} - U_{2n} représente la somme des deux derniers termes de U_{2n+2} qui ne sont pas dans U_{2n} :
V_{n+1} - V_n = ((-1)^{(2n+1)+1} / (2n+1)) + ((-1)^{(2n+2)+1} / (2n+2))
V_{n+1} - V_n = ((-1)^{2n+2} / (2n+1)) + ((-1)^{2n+3} / (2n+2))
V_{n+1} - V_n = 1/(2n+1) - 1/(2n+2)
V_{n+1} - V_n = (2n+2 - (2n+1)) / ((2n+1)(2n+2)) = 1 / ((2n+1)(2n+2))
Puisque 1 / ((2n+1)(2n+2)) > 0, la suite (V_n) est strictement croissante.
2. Monotonie de (W_n)
W_{n+1} - W_n = U_{2(n+1)+1} - U_{2n+1} = U_{2n+3} - U_{2n+1}
W_{n+1} - W_n représente la somme des deux derniers termes de U_{2n+3} qui ne sont pas dans U_{2n+1} :
W_{n+1} - W_n = ((-1)^{(2n+2)+1} / (2n+2)) + ((-1)^{(2n+3)+1} / (2n+3))
W_{n+1} - W_n = ((-1)^{2n+3} / (2n+2)) + ((-1)^{2n+4} / (2n+3))
W_{n+1} - W_n = -1/(2n+2) + 1/(2n+3)
W_{n+1} - W_n = (- (2n+3) + (2n+2)) / ((2n+2)(2n+3)) = -1 / ((2n+2)(2n+3))
Puisque -1 / ((2n+2)(2n+3)) < 0, la suite (W_n) est strictement décroissante.
3. Limite de la différence
Calculons la différence W_n - V_n :
W_n - V_n = U_{2n+1} - U_{2n}
U_{2n+1} - U_{2n} est le dernier terme de U_{2n+1} qui n'est pas dans U_{2n} :
W_n - V_n = (-1)^{(2n)+1+1} / (2n+1) = (-1)^{2n+2} / (2n+1) = 1/(2n+1)
lim (W_n - V_n) = lim (1/(2n+1)) = 0 lorsque n tend vers l'infini.
4. Conclusion sur les suites adjacentes
Puisque (V_n) est croissante, (W_n) est décroissante, et la limite de leur différence (W_n - V_n) est égale à 0, les suites (V_n) et (W_n) sont adjacentes.
Elles convergent donc vers la même limite L ∈ R. Cela implique que la suite générale (U_n) converge également vers cette limite L.
(Pour information, cette limite L est ln(2)).
Exercice 7 : Moyenne Arithmético-Géométrique
Soient les suites (U_n) et (V_n) définies par U_0 = a, V_0 = b (avec 0 < a < b), et pour tout n ∈ N :
U_{n+1} = √(U_n V_n)
V_{n+1} = (U_n + V_n) / 2
1. Inégalité U_n ≤ V_n
Démontrons par récurrence que U_n ≤ V_n pour tout n ∈ N.
Initialisation : Pour n=0, U_0 = a et V_0 = b. Par hypothèse, a < b, donc U_0 < V_0. La propriété est vraie pour n=0.
Hérédité : Supposons que U_n ≤ V_n pour un certain n ∈ N.
Calculons la différence V_{n+1} - U_{n+1} :
V_{n+1} - U_{n+1} = (U_n + V_n) / 2 - √(U_n V_n)
En mettant sur le même dénominateur :
V_{n+1} - U_{n+1} = (U_n + V_n - 2√(U_n V_n)) / 2
Nous reconnaissons l'identité (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2. Ici, x = √V_n et y = √U_n.
V_{n+1} - U_{n+1} = (√V_n - √U_n)^2 / 2
Puisqu'un carré est toujours positif ou nul, (√V_n - √U_n)^2 ≥ 0.
Donc, V_{n+1} - U_{n+1} ≥ 0, ce qui implique U_{n+1} ≤ V_{n+1}.
Conclusion : Par le principe de récurrence, U_n ≤ V_n pour tout n ∈ N.
2. Monotonie de (U_n)
Calculons la différence U_{n+1} - U_n :
U_{n+1} - U_n = √(U_n V_n) - U_n
Factorisons U_n (en supposant U_n > 0, ce qui est vrai car U_0 = a > 0 et les termes sont positifs) :
U_{n+1} - U_n = U_n * (√(V_n / U_n) - 1)
Puisque U_n ≤ V_n, alors V_n / U_n ≥ 1, et donc √(V_n / U_n) ≥ 1.
Par conséquent, √(V_n / U_n) - 1 ≥ 0.
Étant donné que U_n > 0, nous avons U_n * (√(V_n / U_n) - 1) ≥ 0.
Donc, U_{n+1} - U_n ≥ 0. La suite (U_n) est croissante.
3. Monotonie de (V_n)
Calculons la différence V_{n+1} - V_n :
V_{n+1} - V_n = (U_n + V_n) / 2 - V_n
V_{n+1} - V_n = (U_n + V_n - 2V_n) / 2
V_{n+1} - V_n = (U_n - V_n) / 2
Puisque U_n ≤ V_n, alors U_n - V_n ≤ 0.
Donc, V_{n+1} - V_n ≤ 0. La suite (V_n) est décroissante.
4. Convergence
Nous avons établi que pour tout n ∈ N, U_n ≤ V_n.
La suite (U_n) est croissante et majorée par V_0 = b (car U_n ≤ V_n ≤ V_0, puisque (V_n) est décroissante).
La suite (V_n) est décroissante et minorée par U_0 = a (car V_n ≥ U_n ≥ U_0, puisque (U_n) est croissante).
Ainsi, les deux suites (U_n) et (V_n) sont convergentes. Soient leurs limites respectives l et l'.
En passant à la limite dans la relation V_{n+1} = (U_n + V_n) / 2 :
lim V_{n+1} = lim (U_n + V_n) / 2
l' = (l + l') / 2
2l' = l + l'
l' = l
Les deux suites (U_n) et (V_n) convergent donc vers la même limite, qui est appelée la moyenne arithmético-géométrique de a et b.
Exercice 8 : Étude d'une Suite Récurrente
Soit la suite (U_n) définie par U_0 ∈ ]1, +∞[ et U_{n+1} = √(3U_n - 2) pour tout n ∈ N.
1. La suite (U_n) est-elle minorée par 1 ?
Démontrons par récurrence que U_n > 1 pour tout n ∈ N.
Initialisation : Pour n=0, U_0 ∈ ]1, +∞[, donc U_0 > 1. La propriété est vraie pour n=0.
Hérédité : Supposons que U_n > 1 pour un certain n ∈ N.
Alors, en multipliant par 3, 3U_n > 3.
En soustrayant 2, 3U_n - 2 > 1.
En prenant la racine carrée (la fonction racine carrée est croissante), √(3U_n - 2) > √1 = 1.
Donc U_{n+1} > 1.
Conclusion : Par le principe de récurrence, U_n > 1 pour tout n ∈ N. La suite (U_n) est minorée par 1.
2. La suite (U_n) est-elle monotone ?
Considérons la fonction f(x) = √(3x - 2), qui définit la relation de récurrence U_{n+1} = f(U_n).
Le domaine de définition de f est x ≥ 2/3. Étant donné que nous avons montré U_n > 1, nous étudions f sur l'intervalle ]1, +∞[.
Calculons la dérivée de f(x) : f'(x) = d/dx (3x - 2)^(1/2) = (1/2) * (3x - 2)^(-1/2) * 3 = 3 / (2√(3x - 2)).
Pour x ∈ ]1, +∞[, 3x - 2 > 1, donc √(3x - 2) > 1, et f'(x) est strictement positive (f'(x) > 0). La fonction f est strictement croissante sur ]1, +∞[.
Pour étudier la monotonie de (U_n), examinons le signe de U_{n+1} - U_n = f(U_n) - U_n.
Les points fixes de f sont les solutions de l'équation f(x) = x :
√(3x - 2) = x
En élevant au carré (cela implique la condition supplémentaire x ≥ 0, qui est satisfaite car U_n > 1) :
3x - 2 = x^2
x^2 - 3x + 2 = 0
Cette équation du second degré se factorise en : (x - 1)(x - 2) = 0.
Les points fixes sont x=1 et x=2.
- Si U_0 = 1 ou U_0 = 2, alors U_n est une suite constante (U_n = U_0 pour tout n).
- Si U_0 ∈ ]1, 2[, alors pour x ∈ ]1, 2[, la fonction f(x) - x est positive (par exemple, f(1.5) = √(3*1.5 - 2) = √2.5 ≈ 1.58 > 1.5). Donc U_{n+1} > U_n. La suite est croissante.
- Si U_0 ∈ ]2, +∞[, alors pour x ∈ ]2, +∞[, la fonction f(x) - x est négative (par exemple, f(3) = √(3*3 - 2) = √7 ≈ 2.64 < 3). Donc U_{n+1} < U_n. La suite est décroissante.
Dans tous les cas, la suite (U_n) est monotone.
3. Cas où U_0 ∈ ]1, 2[
Dans ce cas, la suite (U_n) est croissante (d'après l'étude de la monotonie au point 2).
Démontrons par récurrence qu'elle est majorée par 2, c'est-à-dire U_n < 2 pour tout n ∈ N.
Initialisation : Pour n=0, U_0 ∈ ]1, 2[, donc U_0 < 2. La propriété est vraie.
Hérédité : Supposons que U_n < 2 pour un certain n ∈ N.
Alors 3U_n < 6, ce qui implique 3U_n - 2 < 4.
En prenant la racine carrée (la fonction racine carrée est croissante), √(3U_n - 2) < √4 = 2.
Donc U_{n+1} < 2.
Conclusion : La suite (U_n) est croissante et majorée par 2. Par conséquent, elle converge vers une limite l.
Cette limite l doit être un point fixe de la fonction f, donc l=1 ou l=2. Puisque (U_n) est croissante et que U_0 ∈ ]1, 2[, la limite doit être supérieure à U_0, donc l > 1. Ainsi, la seule limite possible est l=2.
Donc, lim U_n = 2.
4. Cas où U_0 ∈ ]2, +∞[
Dans ce cas, la suite (U_n) est décroissante (d'après l'étude de la monotonie au point 2).
Démontrons par récurrence qu'elle est minorée par 2, c'est-à-dire U_n > 2 pour tout n ∈ N.
Initialisation : Pour n=0, U_0 ∈ ]2, +∞[, donc U_0 > 2. La propriété est vraie.
Hérédité : Supposons que U_n > 2 pour un certain n ∈ N.
Alors 3U_n > 6, ce qui implique 3U_n - 2 > 4.
En prenant la racine carrée, √(3U_n - 2) > √4 = 2.
Donc U_{n+1} > 2.
Conclusion : La suite (U_n) est décroissante et minorée par 2. Par conséquent, elle converge vers une limite l.
Cette limite l doit être un point fixe de la fonction f, donc l=1 ou l=2. Puisque (U_n) est décroissante et que U_0 ∈ ]2, +∞[, la limite doit être inférieure à U_0, donc l < U_0. De plus, elle est minorée par 2, donc l ≥ 2. Ainsi, la seule limite possible est l=2.
Donc, lim U_n = 2.
Exercice 9 : Suite Définie par U_{n+1} = 1 + 1/U_n
Soit la suite (U_n) définie par U_0 = 1 et U_{n+1} = 1 + 1/U_n pour tout n ∈ N.
1. Étude de la fonction f(x) et g(x) = f(f(x))
La suite est définie par U_{n+1} = f(U_n), où f(x) = 1 + 1/x.
La dérivée de f(x) est f'(x) = -1/x^2. Pour x > 0, f'(x) est strictement négative. Donc f est strictement décroissante sur ]0, +∞[.
Considérons la fonction g(x) = f(f(x)) :
g(x) = f(1 + 1/x) = 1 + 1/(1 + 1/x)
g(x) = 1 + x/(x+1) = (x+1+x)/(x+1) = (2x+1)/(x+1)
La dérivée de g(x) est g'(x) = (2(x+1) - 1*(2x+1)) / (x+1)^2
g'(x) = (2x+2 - 2x - 1) / (x+1)^2 = 1 / (x+1)^2
Pour x > 0, g'(x) est strictement positive. Donc g est strictement croissante sur ]0, +∞[.
2. Monotonie des sous-suites (U_{2n}) et (U_{2n+1})
Calculons les premiers termes de la suite :
U_0 = 1
U_1 = 1 + 1/U_0 = 1 + 1/1 = 2
U_2 = 1 + 1/U_1 = 1 + 1/2 = 3/2 = 1.5
U_3 = 1 + 1/U_2 = 1 + 2/3 = 5/3 ≈ 1.667
U_4 = 1 + 1/U_3 = 1 + 3/5 = 8/5 = 1.6
Considérons la sous-suite (U_{2n}) : U_0=1, U_2=1.5, U_4=1.6. Cette suite semble croissante.
Considérons la sous-suite (U_{2n+1}) : U_1=2, U_3≈1.667, U_5=1 + 5/8 = 13/8 = 1.625. Cette suite semble décroissante.
Démontrons ces monotonies par récurrence en utilisant la fonction g(x) = U_{n+2} = g(U_n) :
- Pour (U_{2n}) : Puisque g est croissante, la monotonie de (U_{2n}) est déterminée par la comparaison de U_0 et U_2. U_0 = 1 et U_2 = 3/2. Puisque U_0 < U_2, la suite (U_{2n}) est croissante.
- Pour (U_{2n+1}) : La monotonie de (U_{2n+1}) est déterminée par la comparaison de U_1 et U_3. U_1 = 2 et U_3 = 5/3. Puisque U_1 > U_3, la suite (U_{2n+1}) est décroissante.
3. Encadrement des termes et convergence
Nous allons montrer par récurrence que U_{2n} < U_{2n+1} pour tout n ∈ N.
Initialisation : Pour n=0, U_0 = 1 et U_1 = 2. U_0 < U_1. La propriété est vraie.
Hérédité : Supposons U_{2n} < U_{2n+1} pour un certain n.
Puisque la fonction f est strictement décroissante, l'inégalité U_{2n} < U_{2n+1} implique f(U_{2n}) > f(U_{2n+1}), c'est-à-dire U_{2n+1} > U_{2n+2}.
De plus, puisque la fonction g est strictement croissante, l'inégalité U_{2n} < U_{2n+1} implique g(U_{2n}) < g(U_{2n+1}), c'est-à-dire U_{2n+2} < U_{2n+3}.
En combinant ces résultats, nous avons : U_{2n} < U_{2n+2} < U_{2n+3} < U_{2n+1}.
Cela confirme que (U_{2n}) est croissante, (U_{2n+1}) est décroissante, et que U_{2n} < U_{2n+1} pour tout n.
Nous avons donc l'encadrement : U_0 = 1 < U_2 < ... < U_{2n} < U_{2n+1} < ... < U_3 < U_1 = 2.
La suite (U_{2n}) est croissante et majorée par U_1 = 2. Elle converge donc vers une limite l.
La suite (U_{2n+1}) est décroissante et minorée par U_0 = 1. Elle converge donc vers une limite l'.
4. Limite de la suite (U_n)
Les suites (U_{2n}) et (U_{2n+1}) sont adjacentes car (U_{2n}) est croissante, (U_{2n+1}) est décroissante et la limite de leur différence est nulle (lim (U_{2n+1} - U_{2n}) = lim (1/U_{2n}) = 1/l - l. Comme l=l', lim (l - l) = 0).
Par conséquent, elles convergent vers la même limite l = l'.
En passant à la limite dans la relation de récurrence U_{n+1} = 1 + 1/U_n, la limite l doit satisfaire l'équation :
l = 1 + 1/l
En multipliant par l (l ≠ 0 car U_n > 0) :
l^2 = l + 1
l^2 - l - 1 = 0
Les solutions de cette équation du second degré sont données par la formule quadratique :
l = (1 ± √( (-1)^2 - 4 * 1 * (-1) )) / 2
l = (1 ± √(1 + 4)) / 2
l = (1 ± √5) / 2
Puisque tous les termes de la suite (U_n) sont positifs (U_0 = 1 et U_{n+1} = 1 + 1/U_n > 0), la limite doit être positive.
Par conséquent, la limite de la suite (U_n) est l = (1 + √5) / 2 (le nombre d'or).
Foire Aux Questions (FAQ)
1. Qu'est-ce qu'une suite adjacente ?
Deux suites (U_n) et (V_n) sont dites adjacentes si elles vérifient trois conditions : l'une est croissante, l'autre est décroissante, et la limite de leur différence (V_n - U_n) est égale à zéro. Si deux suites sont adjacentes, elles convergent nécessairement vers la même limite.
2. Quand utilise-t-on le théorème des gendarmes (ou théorème d'encadrement) ?
Le théorème des gendarmes est une méthode utile pour déterminer la limite d'une suite (U_n) lorsque son calcul direct est difficile. Il s'applique si l'on peut encadrer (U_n) entre deux autres suites (A_n) et (B_n) telles que A_n ≤ U_n ≤ B_n pour tout n à partir d'un certain rang, et si les deux suites (A_n) et (B_n) convergent vers la même limite L. Dans ce cas, la suite (U_n) converge aussi vers L.
3. Comment déterminer la monotonie d'une suite définie par U_{n+1} = f(U_n) ?
Pour déterminer la monotonie d'une suite définie par une relation de récurrence U_{n+1} = f(U_n), on peut étudier le signe de la différence U_{n+1} - U_n = f(U_n) - U_n. Si f(x) - x est positif pour toutes les valeurs prises par U_n, la suite est croissante. Si f(x) - x est négatif, elle est décroissante. Les points où f(x) = x sont les points fixes de la fonction, qui sont les limites potentielles de la suite.