Corrigé serie 5 (1) -Analyse 1 - Télécharger pdf
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Exercice 1
Calcul des développements limités au voisinage de 0.
1) f(x) = (x^2-1) / (e^x-1)
Le développement limité de e^x - 1 au voisinage de 0 est :
e^x - 1 = x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + o(x^4)
Puisque le dénominateur ne s'annule pas en 0, on peut effectuer la division polynomiale ou utiliser un DL du quotient.
Nous avons :
x^2 - 1 = -1 + x^2
(e^x - 1) = x (1 + x/2 + x^2/6 + x^3/24 + o(x^3))
Donc (x^2-1) / (e^x-1) = (-1 + x^2) / (x (1 + x/2 + x^2/6 + o(x^2)))
= (-1/x + x) * (1 / (1 + x/2 + x^2/6 + o(x^2)))
Utilisons le DL de 1/(1+u) = 1 - u + u^2 - u^3 + o(u^3) avec u = x/2 + x^2/6 + o(x^2) :
1/(1 + x/2 + x^2/6 + o(x^2)) = 1 - (x/2 + x^2/6) + (x/2)^2 + o(x^2)
= 1 - x/2 - x^2/6 + x^2/4 + o(x^2)
= 1 - x/2 + (3-2)/12 x^2 + o(x^2) = 1 - x/2 + x^2/12 + o(x^2)
Alors f(x) = (-1/x + x) * (1 - x/2 + x^2/12 + o(x^2))
= -1/x + 1/2 - x/12 + x - x^2/2 + o(x^2)
= -1/x + 1/2 + (1 - 1/12)x - x^2/2 + o(x^2)
= -1/x + 1/2 + 11x/12 - x^2/2 + o(x^2)
Le calcul du DL de la fonction f(x) = Q(P(x)) est fait par composition :
P(x) = x/2 + x^2/6 + x^3/24 + o(x^3)
Q(u) = 1 + u + u^2 + u^3 + o(u^3)
Donc 1 / (1 + P(x)) = 1 - P(x) + P(x)^2 - P(x)^3 + o(P(x)^3)
= 1 - (x/2 + x^2/6 + x^3/24) + (x/2 + x^2/6)^2 - (x/2)^3 + o(x^3)
= 1 - x/2 - x^2/6 - x^3/24 + x^2/4 + 2(x/2)(x^2/6) - x^3/8 + o(x^3)
= 1 - x/2 + (1/4 - 1/6)x^2 + (1/6 - 1/24 - 1/8)x^3 + o(x^3)
= 1 - x/2 + x^2/12 + (4-1-3)/24 x^3 + o(x^3) = 1 - x/2 + x^2/12 + o(x^3)
Finalement, f(x) = (-1 + x^2) * (1/x) * (1 - x/2 + x^2/12 + o(x^3))
= (-1/x + x) * (1 - x/2 + x^2/12 + o(x^3))
= -1/x + 1/2 - x^2/12 + x - x^2/2 + o(x^3)
= -1/x + 1/2 + (1-1/12)x - (1/2)x^2 + o(x^3)
= -1/x + 1/2 + 11x/12 - x^2/2 + o(x^3)
2) f(x) = ln(ln(1+x))
Développement limité de ln(1+x) au voisinage de 0 à l'ordre 3 :
ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 + o(x^3)
Pour ln(u), il faut que u tende vers 1. Ici, ln(1+x) tend vers 0 quand x tend vers 0. La fonction n'est donc pas définie en x=0.
Cependant, le contexte implique un DL asymptotique ou un DL d'une fonction liée.
Si on considère f(x) = ln(ln(1+x))
ln(1+x) = x - x^2/2 + o(x^2)
Posons u = ln(1+x). u tend vers 0 quand x tend vers 0.
ln(u) n'est pas directement applicable au voisinage de 0. C'est peut-être une erreur dans l'énoncé de la fonction, ou il s'agit d'un autre type de calcul (DL en un point autre que 0, ou DL asymptotique).
Si on suit le texte, il semble que ce soit ln(x) au lieu de ln(ln(1+x)).
Ou s'il s'agit de ln( |ln(1+x)| ), alors :
ln(1+x) = x(1 - x/2 + x^2/3 + o(x^2))
ln(ln(1+x)) = ln(x) + ln(1 - x/2 + x^2/3 + o(x^2))
= ln(x) + (-x/2 + x^2/3) - 1/2(-x/2)^2 + o(x^2)
= ln(x) - x/2 + x^2/3 - x^2/8 + o(x^2)
= ln(x) - x/2 + (8-3)/24 x^2 + o(x^2)
= ln(x) - x/2 + 5x^2/24 + o(x^2)
Le texte original est difficile à interpréter ici. Il semble y avoir des erreurs de transcription importantes. En me basant sur les opérations visibles :
ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 + o(x^3)
On a alors ln(ln(1+x)) = ln(x - x^2/2 + x^3/3 + o(x^3))
= ln(x * (1 - x/2 + x^2/3 + o(x^2)))
= ln(x) + ln(1 - x/2 + x^2/3 + o(x^2))
= ln(x) + (-x/2 + x^2/3) - 1/2 (-x/2)^2 + o(x^2)
= ln(x) - x/2 + x^2/3 - x^2/8 + o(x^2)
= ln(x) - x/2 + 5x^2/24 + o(x^2)
3) f(x) = exp(sqrt(2+cos(x)))
Développement limité de cos(x) au voisinage de 0 à l'ordre 4 :
cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! + o(x^4) = 1 - x^2/2 + x^4/24 + o(x^4)
Alors 2+cos(x) = 2 + (1 - x^2/2 + x^4/24 + o(x^4)) = 3 - x^2/2 + x^4/24 + o(x^4)
sqrt(2+cos(x)) = sqrt(3 - x^2/2 + x^4/24 + o(x^4))
= sqrt(3) * sqrt(1 - x^2/6 + x^4/72 + o(x^4))
Utilisons (1+u)^a = 1 + au + a(a-1)/2 u^2 + o(u^2) avec u = -x^2/6 + x^4/72 et a = 1/2 :
sqrt(3) * (1 + 1/2(-x^2/6 + x^4/72) + 1/2(-1/2)/2 (-x^2/6)^2 + o(x^4))
= sqrt(3) * (1 - x^2/12 + x^4/144 - 1/8 * x^4/36 + o(x^4))
= sqrt(3) * (1 - x^2/12 + x^4/144 - x^4/288 + o(x^4))
= sqrt(3) * (1 - x^2/12 + (2-1)/288 x^4 + o(x^4))
= sqrt(3) * (1 - x^2/12 + x^4/288 + o(x^4))
= sqrt(3) - sqrt(3)x^2/12 + sqrt(3)x^4/288 + o(x^4)
Maintenant, appliquons exp(u) = 1 + u + u^2/2! + o(u^2) avec u = -sqrt(3)x^2/12 + o(x^2) (pour un DL d'ordre 2) :
f(x) = exp(sqrt(3) - sqrt(3)x^2/12 + o(x^2))
= e^sqrt(3) * exp(-sqrt(3)x^2/12 + o(x^2))
= e^sqrt(3) * (1 + (-sqrt(3)x^2/12) + o(x^2))
= e^sqrt(3) * (1 - sqrt(3)x^2/12 + o(x^2))
= e^sqrt(3) - (sqrt(3)/12)e^sqrt(3)x^2 + o(x^2)
4) f(x) = (1 - x - x^2)^(1/3)
Développement limité au voisinage de 0 à l'ordre 2 :
Utilisons (1+u)^a = 1 + au + a(a-1)/2 u^2 + o(u^2) avec u = -x - x^2 et a = 1/3 :
f(x) = 1 + (1/3)(-x - x^2) + (1/3)(1/3-1)/2 (-x - x^2)^2 + o(x^2)
= 1 - x/3 - x^2/3 + (1/3)(-2/3)/2 (-x - x^2)^2 + o(x^2)
= 1 - x/3 - x^2/3 - (1/9) (x^2 + 2x^3 + x^4) + o(x^2)
= 1 - x/3 - x^2/3 - x^2/9 + o(x^2)
= 1 - x/3 - (1/3 + 1/9)x^2 + o(x^2)
= 1 - x/3 - (3+1)/9 x^2 + o(x^2)
= 1 - x/3 - 4x^2/9 + o(x^2)
5) f(x) = (cos(x) - 1) / (ln(1+x)sh(x))
Avant de commencer le calcul à l'ordre n=3, on peut remarquer les équivalences au voisinage de 0 :
ln(1+x) ~ x
sh(x) ~ x
Donc ln(1+x)sh(x) ~ x^2
cos(x) - 1 ~ -x^2/2
On peut donc factoriser puis simplifier par x^2. Il faut donc commencer les DL d'ordre 2+3=5 pour obtenir un DL final d'ordre 3 après simplification.
DL de cos(x) - 1 à l'ordre 5 :
cos(x) - 1 = (1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + o(x^6)) - 1 = -x^2/2 + x^4/24 - x^6/720 + o(x^6)
DL de ln(1+x) à l'ordre 3 :
ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + x^5/5 + o(x^5)
DL de sh(x) à l'ordre 3 :
sh(x) = x + x^3/3! + x^5/5! + o(x^5) = x + x^3/6 + x^5/120 + o(x^5)
Produit du dénominateur :
ln(1+x)sh(x) = (x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + o(x^4)) * (x + x^3/6 + o(x^4))
= x^2 + x^4/6 - x^3/2 - x^5/12 + x^4/3 + o(x^5)
= x^2 - x^3/2 + (1/6+1/3)x^4 + o(x^5) = x^2 - x^3/2 + x^4/2 + o(x^5)
Maintenant, le quotient. On peut factoriser x^2 au numérateur et dénominateur :
f(x) = (-x^2/2 + x^4/24 + o(x^4)) / (x^2 - x^3/2 + x^4/2 + o(x^4))
= (-1/2 + x^2/24 + o(x^2)) / (1 - x/2 + x^2/2 + o(x^2))
Utilisons 1/(1+u) = 1 - u + u^2 + o(u^2) avec u = -x/2 + x^2/2 :
1/(1 - x/2 + x^2/2 + o(x^2)) = 1 - (-x/2 + x^2/2) + (-x/2)^2 + o(x^2)
= 1 + x/2 - x^2/2 + x^2/4 + o(x^2) = 1 + x/2 - x^2/4 + o(x^2)
Alors f(x) = (-1/2 + x^2/24 + o(x^2)) * (1 + x/2 - x^2/4 + o(x^2))
= -1/2 - x/4 + x^2/8 + x^2/24 + o(x^2)
= -1/2 - x/4 + (3+1)/24 x^2 + o(x^2)
= -1/2 - x/4 + 4x^2/24 + o(x^2)
= -1/2 - x/4 + x^2/6 + o(x^2)
6) f(x) = (cos(x))^(1/x^2)
Cette fonction est de la forme u(x)^v(x), on utilise la forme exponentielle : f(x) = exp( (1/x^2) * ln(cos(x)) ).
DL de cos(x) à l'ordre 4 :
cos(x) = 1 - x^2/2 + x^4/24 + o(x^4)
DL de ln(1+u) = u - u^2/2 + o(u^2) avec u = -x^2/2 + x^4/24 + o(x^4) :
ln(cos(x)) = ln(1 + (-x^2/2 + x^4/24 + o(x^4)))
= (-x^2/2 + x^4/24) - 1/2(-x^2/2)^2 + o(x^4)
= -x^2/2 + x^4/24 - x^4/8 + o(x^4)
= -x^2/2 + (1-3)/24 x^4 + o(x^4) = -x^2/2 - x^4/12 + o(x^4)
Maintenant, divisons par x^2 :
(1/x^2) * ln(cos(x)) = (1/x^2) * (-x^2/2 - x^4/12 + o(x^4))
= -1/2 - x^2/12 + o(x^2)
Finalement, appliquons exp(u) = 1 + u + u^2/2 + o(u^2) avec u = -1/2 - x^2/12 + o(x^2) :
f(x) = exp(-1/2 - x^2/12 + o(x^2))
= e^(-1/2) * exp(-x^2/12 + o(x^2))
= e^(-1/2) * (1 - x^2/12 + o(x^2))
= e^(-1/2) - (1/12)e^(-1/2)x^2 + o(x^2)
Exercice 2
Calcul des développements limités à l'aide des DL de f'.
1) f(x) = argsh(sqrt(2+x)) ; x_0 = 0, ordre n = 2.
La fonction x -> sqrt(2+x) est dérivable sur ]-2, +∞[ et est strictement positive sur ]-2, +∞[. De plus, x -> argsh(x) est dérivable sur R. Donc f est dérivable sur ]-2, +∞[.
On a f'(x) = (sqrt(2+x))' / sqrt(1 + (sqrt(2+x))^2)
= (1 / (2*sqrt(2+x))) / sqrt(1 + 2 + x)
= (1 / (2*sqrt(2+x))) / sqrt(3+x)
= 1 / (2 * sqrt((2+x)(3+x))) = 1 / (2 * sqrt(6 + 5x + x^2))
Au voisinage de 0 :
1 / (2 * sqrt(6 + 5x + x^2)) = 1 / (2 * sqrt(6) * sqrt(1 + 5x/6 + x^2/6))
Utilisons (1+u)^a = 1 + au + o(u) avec u = 5x/6 + x^2/6 et a = -1/2 :
= (1 / (2*sqrt(6))) * (1 - 1/2(5x/6 + x^2/6) + (-1/2)(-3/2)/2 (5x/6)^2 + o(x^2))
= (1 / (2*sqrt(6))) * (1 - 5x/12 - x^2/12 + 3/8 * 25x^2/36 + o(x^2))
= (1 / (2*sqrt(6))) * (1 - 5x/12 + (-1/12 + 75/288)x^2 + o(x^2))
= (1 / (2*sqrt(6))) * (1 - 5x/12 + (-24/288 + 75/288)x^2 + o(x^2))
= (1 / (2*sqrt(6))) * (1 - 5x/12 + 51x^2/288 + o(x^2))
= (1 / (2*sqrt(6))) * (1 - 5x/12 + 17x^2/96 + o(x^2))
Pour obtenir f(x), on intègre f'(x) :
f(x) = f(0) + Int(f'(t) dt de 0 à x)
f(0) = argsh(sqrt(2)) = ln(sqrt(2) + sqrt(2+1)) = ln(sqrt(2)+sqrt(3))
f(x) = ln(sqrt(2)+sqrt(3)) + (1 / (2*sqrt(6))) * Int(1 - 5t/12 + 17t^2/96 + o(t^2)) dt de 0 à x
= ln(sqrt(2)+sqrt(3)) + (1 / (2*sqrt(6))) * [t - 5t^2/24 + 17t^3/288]_0^x + o(x^3)
= ln(sqrt(2)+sqrt(3)) + (1 / (2*sqrt(6))) * (x - 5x^2/24 + 17x^3/288 + o(x^3))
2) f(x) = arctan(2/(1-x)) ; x_0 = 0, ordre n = 6.
f'(x) = (2/(1-x))' / (1 + (2/(1-x))^2)
(2/(1-x))' = 2(1-x)^(-1)' = 2 * (-1) * (1-x)^(-2) * (-1) = 2 / (1-x)^2
1 + (2/(1-x))^2 = 1 + 4/(1-x)^2 = ((1-x)^2 + 4) / (1-x)^2 = (1 - 2x + x^2 + 4) / (1-x)^2 = (x^2 - 2x + 5) / (1-x)^2
f'(x) = (2/(1-x)^2) / ((x^2 - 2x + 5) / (1-x)^2) = 2 / (x^2 - 2x + 5)
Au voisinage de 0, on a le DL de 1/(5 - 2x + x^2) :
f'(x) = 2 / 5 * (1 / (1 - (2x - x^2)/5))
Utilisons 1/(1-u) = 1 + u + u^2 + u^3 + o(u^3) avec u = (2x - x^2)/5 :
f'(x) = 2/5 * (1 + (2x - x^2)/5 + ((2x - x^2)/5)^2 + ((2x - x^2)/5)^3 + o(x^3))
= 2/5 * (1 + (2x - x^2)/5 + (4x^2 - 4x^3 + x^4)/25 + (8x^3)/125 + o(x^3))
= 2/5 * (1 + 2x/5 - x^2/5 + 4x^2/25 - 4x^3/25 + 8x^3/125 + o(x^3))
= 2/5 * (1 + 2x/5 + (-1/5+4/25)x^2 + (-4/25+8/125)x^3 + o(x^3))
= 2/5 * (1 + 2x/5 + (-5+4)/25 x^2 + (-20+8)/125 x^3 + o(x^3))
= 2/5 * (1 + 2x/5 - x^2/25 - 12x^3/125 + o(x^3))
= 2/5 + 4x/25 - 2x^2/125 - 24x^3/625 + o(x^3)
Pour obtenir f(x), on intègre f'(x) :
f(x) = f(0) + Int(f'(t) dt de 0 à x)
f(0) = arctan(2/(1-0)) = arctan(2)
f(x) = arctan(2) + Int(2/5 + 4t/25 - 2t^2/125 - 24t^3/625 + o(t^3)) dt de 0 à x
= arctan(2) + [2t/5 + 4t^2/50 - 2t^3/375 - 24t^4/2500]_0^x + o(x^4)
= arctan(2) + 2x/5 + 2x^2/25 - 2x^3/375 - 6x^4/625 + o(x^4)
Exercice 3
Calcul des développements limités en un point x_0 donné.
1) f(x) = cos(x) ; x_0 = π/2, ordre n = 3.
Posons h = x - x_0. Ici x_0 = π/2. Donc x = h + π/2.
f(x) = cos(h + π/2) = -sin(h)
DL de sin(h) au voisinage de 0 (puisque h tend vers 0) :
sin(h) = h - h^3/3! + h^5/5! + o(h^5) = h - h^3/6 + o(h^3)
Donc f(x) = -(h - h^3/6 + o(h^3)) = -h + h^3/6 + o(h^3)
En remplaçant h par (x - π/2) :
f(x) = -(x - π/2) + (1/6)(x - π/2)^3 + o((x - π/2)^3)
2) f(x) = ln(x) ; x_0 = 3, ordre n = 2.
Posons h = x - x_0. Ici x_0 = 3. Donc x = h + 3.
f(x) = ln(h + 3) = ln(3 * (1 + h/3)) = ln(3) + ln(1 + h/3)
DL de ln(1+u) = u - u^2/2 + o(u^2) avec u = h/3 :
ln(1 + h/3) = h/3 - (h/3)^2/2 + o(h^2)
= h/3 - h^2/18 + o(h^2)
Donc f(x) = ln(3) + h/3 - h^2/18 + o(h^2)
En remplaçant h par (x - 3) :
f(x) = ln(3) + (1/3)(x - 3) - (1/18)(x - 3)^2 + o((x - 3)^2)
3) f(x) = (sqrt(x) - 1) / ln(x) ; x_0 = 1, ordre n = 2.
Posons t = x - 1. Alors x = 1 + t. Quand x tend vers 1, t tend vers 0.
DL de sqrt(x) = sqrt(1+t) à l'ordre 3 :
sqrt(1+t) = 1 + t/2 - t^2/8 + t^3/16 + o(t^3)
DL de ln(x) = ln(1+t) à l'ordre 3 :
ln(1+t) = t - t^2/2 + t^3/3 + o(t^3)
Alors le numérateur est sqrt(x) - 1 = t/2 - t^2/8 + t^3/16 + o(t^3)
On effectue la division des DL :
f(x) = (t/2 - t^2/8 + t^3/16 + o(t^3)) / (t - t^2/2 + t^3/3 + o(t^3))
Factorisons t :
f(x) = (1/2 - t/8 + t^2/16 + o(t^2)) / (1 - t/2 + t^2/3 + o(t^2))
Utilisons 1/(1-u) = 1 + u + u^2 + o(u^2) avec u = t/2 - t^2/3 :
1/(1 - t/2 + t^2/3 + o(t^2)) = 1 + (t/2 - t^2/3) + (t/2)^2 + o(t^2)
= 1 + t/2 - t^2/3 + t^2/4 + o(t^2) = 1 + t/2 - t^2/12 + o(t^2)
Maintenant, multiplions les DL :
f(x) = (1/2 - t/8 + t^2/16 + o(t^2)) * (1 + t/2 - t^2/12 + o(t^2))
= 1/2 + t/4 - t^2/24 - t/8 - t^2/16 + t^2/16 + o(t^2)
= 1/2 + (1/4 - 1/8)t + (-1/24 - 1/16 + 1/16)t^2 + o(t^2)
= 1/2 + t/8 - t^2/24 + o(t^2)
En remplaçant t par (x - 1) :
f(x) = 1/2 + (1/8)(x - 1) - (1/24)(x - 1)^2 + o((x - 1)^2)
4) f(x) = ln(sin(x)) ; x_0 = π/2, ordre n = 3.
Posons t = x - π/2. Alors x = t + π/2. Quand x tend vers π/2, t tend vers 0.
sin(x) = sin(t + π/2) = cos(t)
DL de cos(t) à l'ordre 4 :
cos(t) = 1 - t^2/2! + t^4/4! + o(t^4) = 1 - t^2/2 + t^4/24 + o(t^4)
DL de ln(1+u) = u - u^2/2 + o(u^2) avec u = -t^2/2 + t^4/24 + o(t^4) :
f(x) = ln(cos(t)) = ln(1 + (-t^2/2 + t^4/24 + o(t^4)))
= (-t^2/2 + t^4/24) - 1/2(-t^2/2)^2 + o(t^4)
= -t^2/2 + t^4/24 - t^4/8 + o(t^4)
= -t^2/2 + (1-3)/24 t^4 + o(t^4) = -t^2/2 - t^4/12 + o(t^4)
En remplaçant t par (x - π/2) :
f(x) = -(1/2)(x - π/2)^2 - (1/12)(x - π/2)^4 + o((x - π/2)^4)
5) f(x) = x * e^(x-e) ; x_0 = e, ordre n = 3.
Posons h = x - e. Alors x = h + e. Quand x tend vers e, h tend vers 0.
f(x) = (h + e) * e^h
DL de e^h au voisinage de 0 à l'ordre 3 :
e^h = 1 + h + h^2/2! + h^3/3! + o(h^3) = 1 + h + h^2/2 + h^3/6 + o(h^3)
f(x) = (h + e) * (1 + h + h^2/2 + h^3/6 + o(h^3))
= h + h^2 + h^3/2 + e + eh + eh^2/2 + eh^3/6 + o(h^3)
= e + (1+e)h + (1+e/2)h^2 + (1/2+e/6)h^3 + o(h^3)
En remplaçant h par (x - e) :
f(x) = e + (1+e)(x - e) + (1+e/2)(x - e)^2 + (1/2+e/6)(x - e)^3 + o((x - e)^3)
6) f(x) = sqrt(2 - ln(x)) ; x_0 = 1, ordre n = 2.
Posons h = x - 1. Alors x = 1 + h. Quand x tend vers 1, h tend vers 0.
DL de ln(x) = ln(1+h) au voisinage de 0 à l'ordre 2 :
ln(1+h) = h - h^2/2 + o(h^2)
Alors 2 - ln(x) = 2 - (h - h^2/2 + o(h^2)) = 2 - h + h^2/2 + o(h^2)
DL de sqrt(u) = sqrt(2 + (-h + h^2/2 + o(h^2)))
= sqrt(2) * sqrt(1 + (-h/2 + h^2/4 + o(h^2)))
Utilisons (1+u)^a = 1 + au + a(a-1)/2 u^2 + o(u^2) avec u = -h/2 + h^2/4 et a = 1/2 :
= sqrt(2) * (1 + 1/2(-h/2 + h^2/4) + 1/2(-1/2)/2 (-h/2)^2 + o(h^2))
= sqrt(2) * (1 - h/4 + h^2/8 - 1/8 * h^2/4 + o(h^2))
= sqrt(2) * (1 - h/4 + h^2/8 - h^2/32 + o(h^2))
= sqrt(2) * (1 - h/4 + (4-1)/32 h^2 + o(h^2))
= sqrt(2) * (1 - h/4 + 3h^2/32 + o(h^2))
En remplaçant h par (x - 1) :
f(x) = sqrt(2) - (sqrt(2)/4)(x - 1) + (3*sqrt(2)/32)(x - 1)^2 + o((x - 1)^2)
Résumé des équations de tangentes et positions relatives
- Pour f(x) = cos(x) en x_0 = π/2 :
L'équation de la tangente est Y = -(x - π/2).
La fonction f(x) - Y ~ (1/6)(x - π/2)^3. Ce terme change de signe autour de x_0, donc la courbe (Cf) traverse sa tangente au point x_0 = π/2. - Pour f(x) = ln(x) en x_0 = 3 :
L'équation de la tangente est Y = ln(3) + (1/3)(x - 3).
La fonction f(x) - Y ~ -(1/18)(x - 3)^2. Le coefficient est négatif, donc la courbe (Cf) est en dessous de sa tangente au point x_0 = 3. - Pour f(x) = (sqrt(x) - 1) / ln(x) en x_0 = 1 :
L'équation de la tangente est Y = 1/2 + (1/8)(x - 1).
La fonction f(x) - Y ~ -(1/24)(x - 1)^2. Le coefficient est négatif, donc la courbe (Cf) est en dessous de sa tangente au point x_0 = 1. - Pour f(x) = ln(sin(x)) en x_0 = π/2 :
L'équation de la tangente est Y = 0 (axe des abscisses).
La fonction f(x) - Y ~ -(1/2)(x - π/2)^2. Le coefficient est négatif, donc la courbe (Cf) est en dessous de sa tangente au point x_0 = π/2. - Pour f(x) = x * e^(x-e) en x_0 = e :
L'équation de la tangente est Y = e + (1+e)(x - e).
La fonction f(x) - Y ~ (1+e/2)(x - e)^2. Le coefficient (1+e/2) est positif, donc la courbe (Cf) est au-dessus de sa tangente au point x_0 = e. - Pour f(x) = sqrt(2 - ln(x)) en x_0 = 1 :
L'équation de la tangente est Y = sqrt(2) - (sqrt(2)/4)(x - 1).
La fonction f(x) - Y ~ (3*sqrt(2)/32)(x - 1)^2. Le coefficient est positif, donc la courbe (Cf) est au-dessus de sa tangente au point x_0 = 1.
Exercice 4
Calcul des asymptotes et de la position relative de la courbe par rapport à son asymptote.
1) f(x) = sin(1/x) / (1+x) ; au voisinage de +∞, ordre n = 6.
Posons h = 1/x. Quand x tend vers +∞, h tend vers 0.
sin(h) = h - h^3/3! + h^5/5! + o(h^5) = h - h^3/6 + h^5/120 + o(h^5)
1/(1+x) = 1/(1+1/h) = h/(h+1). Si on utilise le DL de 1/(1+h) :
1/(1+h) = 1 - h + h^2 - h^3 + h^4 - h^5 + o(h^5)
f(x) = (h - h^3/6 + h^5/120 + o(h^5)) * (1 - h + h^2 - h^3 + h^4 - h^5 + o(h^5))
= h - h^2 + h^3 - h^4 + h^5 - h^3/6 + h^4/6 - h^5/6 + h^5/120 + o(h^5)
= h - h^2 + (1 - 1/6)h^3 + (-1 + 1/6)h^4 + (1 - 1/6 + 1/120)h^5 + o(h^5)
= h - h^2 + 5h^3/6 - 5h^4/6 + (120 - 20 + 1)/120 h^5 + o(h^5)
= h - h^2 + 5h^3/6 - 5h^4/6 + 101h^5/120 + o(h^5)
En remplaçant h par 1/x :
f(x) = 1/x - 1/x^2 + 5/(6x^3) - 5/(6x^4) + 101/(120x^5) + o(1/x^5)
L'équation de l'asymptote est Y = 0 (l'axe des abscisses).
La fonction f(x) - Y ~ 1/x. Pour x -> +∞, ce terme est positif, donc la courbe (Cf) est au-dessus de son asymptote.
2) f(x) = sqrt(x^2 - x + 1) ; au voisinage de +∞, ordre n = 1.
Factorisons x^2 : f(x) = sqrt(x^2(1 - 1/x + 1/x^2)) = |x| * sqrt(1 - 1/x + 1/x^2)
Pour x -> +∞, |x| = x.
Utilisons (1+u)^a = 1 + au + a(a-1)/2 u^2 + o(u^2) avec u = -1/x + 1/x^2 et a = 1/2 :
f(x) = x * (1 + 1/2(-1/x + 1/x^2) + 1/2(-1/2)/2 (-1/x + 1/x^2)^2 + o(1/x^2))
= x * (1 - 1/(2x) + 1/(2x^2) - 1/8(1/x^2) + o(1/x^2))
= x * (1 - 1/(2x) + (1/2 - 1/8)1/x^2 + o(1/x^2))
= x * (1 - 1/(2x) + 3/(8x^2) + o(1/x^2))
= x - 1/2 + 3/(8x) + o(1/x)
L'équation de l'asymptote est Y = x - 1/2.
La fonction f(x) - Y ~ 3/(8x). Pour x -> +∞, ce terme est positif, donc la courbe (Cf) est au-dessus de son asymptote.
3) f(x) = exp(x * arctan(1/x)) ; au voisinage de +∞, ordre n = 3.
Posons t = 1/x. Quand x tend vers +∞, t tend vers 0.
DL de arctan(t) à l'ordre 3 :
arctan(t) = t - t^3/3 + o(t^3)
Alors x * arctan(1/x) = (1/t) * (t - t^3/3 + o(t^3)) = 1 - t^2/3 + o(t^2)
DL de exp(u) = 1 + u + u^2/2 + o(u^2) avec u = 1 - t^2/3 + o(t^2) :
f(x) = exp(1 - t^2/3 + o(t^2))
= e^1 * exp(-t^2/3 + o(t^2))
= e * (1 - t^2/3 + o(t^2))
= e - (e/3)t^2 + o(t^2)
En remplaçant t par 1/x :
f(x) = e - e/(3x^2) + o(1/x^2)
L'équation de l'asymptote est Y = e.
La fonction f(x) - Y ~ -e/(3x^2). Pour x -> +∞, ce terme est négatif, donc la courbe (Cf) est en dessous de son asymptote.
Exercice 5
Calcul des limites.
1) lim (x - arcsin(x)) / sin^3(x) quand x -> 0.
DL de arcsin(x) à l'ordre 3 :
arcsin(x) = x + x^3/6 + o(x^3)
Numérateur : x - arcsin(x) = x - (x + x^3/6 + o(x^3)) = -x^3/6 + o(x^3)
DL de sin(x) à l'ordre 3 :
sin(x) = x - x^3/6 + o(x^3)
Dénominateur : sin^3(x) = (x - x^3/6 + o(x^3))^3 = x^3 * (1 - x^2/6 + o(x^2))^3
= x^3 * (1 - 3*(x^2/6) + o(x^2)) = x^3 * (1 - x^2/2 + o(x^2))
= x^3 - x^5/2 + o(x^5)
Alors la limite est :
lim (x -> 0) (-x^3/6 + o(x^3)) / (x^3 - x^5/2 + o(x^5))
= lim (x -> 0) (-1/6 + o(1)) / (1 - x^2/2 + o(x^2))
= -1/6 / 1 = -1/6.
2) lim exp((ln(1-x) - ln(1+x))/x) quand x -> 0.
DL de ln(1-x) à l'ordre 3 :
ln(1-x) = -x - x^2/2 - x^3/3 + o(x^3)
DL de ln(1+x) à l'ordre 3 :
ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 + o(x^3)
Différence : ln(1-x) - ln(1+x) = (-x - x^2/2 - x^3/3) - (x - x^2/2 + x^3/3) + o(x^3)
= -2x - 2x^3/3 + o(x^3)
Division par x : (ln(1-x) - ln(1+x))/x = (-2x - 2x^3/3 + o(x^3)) / x
= -2 - 2x^2/3 + o(x^2)
DL de exp(u) = 1 + u + o(u) avec u = -2 - 2x^2/3 + o(x^2) :
f(x) = exp(-2 - 2x^2/3 + o(x^2)) = e^(-2) * exp(-2x^2/3 + o(x^2))
= e^(-2) * (1 - 2x^2/3 + o(x^2))
Alors la limite est :
lim (x -> 0) f(x) = e^(-2) * (1 - 0) = e^(-2).
3) lim (x - x^2 ln(1 + 1/x)) quand x -> +∞.
Posons t = 1/x. Quand x tend vers +∞, t tend vers 0.
L'expression devient : lim (t -> 0) (1/t - (1/t)^2 ln(1+t))
DL de ln(1+t) à l'ordre 3 :
ln(1+t) = t - t^2/2 + t^3/3 + o(t^3)
Alors x^2 ln(1+1/x) = (1/t^2) * (t - t^2/2 + t^3/3 + o(t^3))
= 1/t - 1/2 + t/3 + o(t)
L'expression est : 1/t - (1/t - 1/2 + t/3 + o(t))
= 1/2 - t/3 + o(t)
Alors la limite est :
lim (x -> +∞) f(x) = lim (t -> 0) (1/2 - t/3 + o(t)) = 1/2.
4) lim (sqrt(sin(x)) - sqrt(x)) / (sin(sqrt(x)) - sqrt(x)) quand x -> 0.
Numérateur : sqrt(sin(x)) - sqrt(x)
DL de sin(x) à l'ordre 5 : sin(x) = x - x^3/6 + x^5/120 + o(x^5)
sqrt(sin(x)) = sqrt(x * (1 - x^2/6 + x^4/120 + o(x^4)))
= sqrt(x) * (1 - x^2/6 + x^4/120 + o(x^4))^(1/2)
Utilisons (1+u)^a = 1 + au + a(a-1)/2 u^2 + o(u^2) avec u = -x^2/6 + x^4/120 et a = 1/2 :
= sqrt(x) * (1 + 1/2(-x^2/6 + x^4/120) + 1/2(-1/2)/2 (-x^2/6)^2 + o(x^4))
= sqrt(x) * (1 - x^2/12 + x^4/240 - x^4/288 + o(x^4))
= sqrt(x) * (1 - x^2/12 + (6-5)/1440 x^4 + o(x^4))
= sqrt(x) - x^(5/2)/12 + x^(9/2)/1440 + o(x^(9/2))
Donc Numérateur = (sqrt(x) - x^(5/2)/12 + o(x^(5/2))) - sqrt(x) = -x^(5/2)/12 + o(x^(5/2))
Dénominateur : sin(sqrt(x)) - sqrt(x)
Posons u = sqrt(x). Quand x tend vers 0, u tend vers 0.
DL de sin(u) à l'ordre 3 : sin(u) = u - u^3/6 + o(u^3)
sin(sqrt(x)) = sqrt(x) - (sqrt(x))^3/6 + o((sqrt(x))^3)
= sqrt(x) - x^(3/2)/6 + o(x^(3/2))
Donc Dénominateur = (sqrt(x) - x^(3/2)/6 + o(x^(3/2))) - sqrt(x) = -x^(3/2)/6 + o(x^(3/2))
La limite est :
lim (x -> 0) (-x^(5/2)/12) / (-x^(3/2)/6)
= lim (x -> 0) (6/12) * (x^(5/2) / x^(3/2))
= lim (x -> 0) (1/2) * x^(5/2 - 3/2)
= lim (x -> 0) (1/2) * x^1 = 0.
Exercice 6
Continuité et dérivabilité.
1) f(x) = (arctan(x) - arctan(1)) / ln(x) ; x_0 = 1, ordre n = 1.
Posons t = x - 1. Alors x = 1 + t. Quand x tend vers 1, t tend vers 0.
DL de arctan(x) = arctan(1+t) au voisinage de 0 à l'ordre 2 :
arctan(1+t) = arctan(1) + (1/(1+1^2))t - (2*1/(1+1^2)^2/2!)t^2 + o(t^2)
= π/4 + t/2 - t^2/4 + o(t^2)
Numérateur : arctan(x) - arctan(1) = (t/2 - t^2/4 + o(t^2))
DL de ln(x) = ln(1+t) au voisinage de 0 à l'ordre 2 :
ln(1+t) = t - t^2/2 + o(t^2)
f(x) = (t/2 - t^2/4 + o(t^2)) / (t - t^2/2 + o(t^2))
= (1/2 - t/4 + o(t)) / (1 - t/2 + o(t))
= (1/2 - t/4) * (1 + t/2 + o(t))
= 1/2 + t/4 - t/4 + o(t) = 1/2 + o(t)
Alors lim (x -> 1) f(x) = 1/2. Pour que f soit prolongeable par continuité en x_0 = 1, il faut définir F(1) = 1/2.
Le prolongement par continuité F est défini par :
F(x) = f(x) si x ∈ R \ {1}
F(1) = 1/2
Pour la dérivabilité, on calcule la limite de (F(x) - F(1)) / (x - 1) quand x -> 1.
(F(x) - F(1)) / (x - 1) = (1/2 + o(t) - 1/2) / t = o(t) / t = o(1).
Alors lim (x -> 1) (F(x) - F(1)) / (x - 1) = 0.
Donc F est dérivable en 1, et F'(1) = 0.
2) f(x) = (e^x sqrt(x+1) - cos^2(x)) / x ; x_0 = 0, ordre n = 2.
Calculons le DL du numérateur à l'ordre 2 :
DL de e^x à l'ordre 2 : e^x = 1 + x + x^2/2 + o(x^2)
DL de sqrt(1+x) à l'ordre 2 : sqrt(1+x) = 1 + x/2 - x^2/8 + o(x^2)
Produit e^x sqrt(1+x) :
(1 + x + x^2/2) * (1 + x/2 - x^2/8) + o(x^2)
= 1 + x/2 - x^2/8 + x + x^2/2 + x^2/2 + o(x^2)
= 1 + (1/2+1)x + (-1/8+1/2+1/2)x^2 + o(x^2)
= 1 + 3x/2 + (7/8)x^2 + o(x^2)
DL de cos(x) à l'ordre 2 : cos(x) = 1 - x^2/2 + o(x^2)
cos^2(x) = (1 - x^2/2 + o(x^2))^2 = 1 - x^2 + o(x^2)
Différence du numérateur :
(1 + 3x/2 + 7x^2/8) - (1 - x^2) + o(x^2)
= 3x/2 + (7/8 + 1)x^2 + o(x^2)
= 3x/2 + 15x^2/8 + o(x^2)
Division par x : f(x) = (3x/2 + 15x^2/8 + o(x^2)) / x
= 3/2 + 15x/8 + o(x)
Alors lim (x -> 0) f(x) = 3/2. Pour que f soit prolongeable par continuité en x_0 = 0, il faut définir F(0) = 3/2.
Le prolongement par continuité F est défini par :
F(x) = f(x) si x ∈ [-1, 0[ U ]0, +∞[
F(0) = 3/2
Pour la dérivabilité, on calcule la limite de (F(x) - F(0)) / (x - 0) quand x -> 0.
(F(x) - F(0)) / x = (3/2 + 15x/8 + o(x) - 3/2) / x
= (15x/8 + o(x)) / x = 15/8 + o(1)
Alors lim (x -> 0) (F(x) - F(0)) / x = 15/8.
Donc F est dérivable en 0, et F'(0) = 15/8.
Exercice 7
Asymptotes et positions relatives de la courbe par rapport à son asymptote.
1) f(x) = (1+x^2) / (x+1+sqrt(1+x^2))
Au voisinage de +∞ :
DL de sqrt(1+x^2) : sqrt(x^2(1+1/x^2)) = x * sqrt(1+1/x^2)
= x * (1 + 1/(2x^2) - 1/(8x^4) + o(1/x^4))
= x + 1/(2x) - 1/(8x^3) + o(1/x^3)
Dénominateur : x+1+sqrt(1+x^2) = x+1 + x + 1/(2x) + o(1/x) = 2x + 1 + 1/(2x) + o(1/x)
Numérateur : 1+x^2 = x^2(1+1/x^2)
f(x) = (x^2(1+1/x^2)) / (2x(1 + 1/(2x) + 1/(4x^2) + o(1/x^2)))
= x/2 * (1+1/x^2) * (1 / (1 + 1/(2x) + 1/(4x^2) + o(1/x^2)))
Utilisons 1/(1+u) = 1 - u + u^2 + o(u^2) avec u = 1/(2x) + 1/(4x^2) :
= x/2 * (1+1/x^2) * (1 - (1/(2x) + 1/(4x^2)) + (1/(2x))^2 + o(1/x^2))
= x/2 * (1+1/x^2) * (1 - 1/(2x) - 1/(4x^2) + 1/(4x^2) + o(1/x^2))
= x/2 * (1+1/x^2) * (1 - 1/(2x) + o(1/x^2))
= x/2 * (1 - 1/(2x) + 1/x^2 + o(1/x^2))
= x/2 - 1/4 + 1/(2x) + o(1/x)
L'équation de l'asymptote est Y = x/2 - 1/4.
La fonction f(x) - Y ~ 1/(2x). Pour x -> +∞, ce terme est positif, donc la courbe (Cf) est au-dessus de son asymptote.
Au voisinage de -∞ :
DL de sqrt(1+x^2) : sqrt(x^2(1+1/x^2)) = |x| * sqrt(1+1/x^2). Pour x -> -∞, |x| = -x.
= -x * (1 + 1/(2x^2) - 1/(8x^4) + o(1/x^4))
= -x - 1/(2x) + 1/(8x^3) + o(1/x^3)
Dénominateur : x+1+sqrt(1+x^2) = x+1 -x - 1/(2x) + o(1/x) = 1 - 1/(2x) + o(1/x)
Numérateur : 1+x^2
f(x) = (1+x^2) / (1 - 1/(2x) + o(1/x))
= (x^2(1+1/x^2)) * (1 / (1 - 1/(2x) + o(1/x)))
= x^2(1+1/x^2) * (1 + 1/(2x) + 1/(4x^2) + o(1/x^2))
= x^2 * (1 + 1/(2x) + 1/(4x^2) + 1/x^2 + 1/(2x^3) + o(1/x^3))
= x^2 * (1 + 1/(2x) + 5/(4x^2) + o(1/x^2))
= x^2 + x/2 + 5/4 + o(1)
Cette fonction n'a pas d'asymptote oblique ni horizontale en -∞ car elle tend vers +∞.
2) f(x) = (x^2 - 1) ln(|(1+x)/(1-x)|) ; au voisinage de l'infini.
Pour x au voisinage de l'infini, posons t = 1/x. Quand x tend vers ±∞, t tend vers 0.
ln(|(1+x)/(1-x)|) = ln(|(1/t+1)/(1/t-1)|) = ln(|(1+t)/(1-t)|) = ln(|1+t|) - ln(|1-t|)
DL de ln(1+t) - ln(1-t) à l'ordre 3 :
(t - t^2/2 + t^3/3 + o(t^3)) - (-t - t^2/2 - t^3/3 + o(t^3))
= 2t + 2t^3/3 + o(t^3)
En remplaçant t par 1/x :
ln(|(1+x)/(1-x)|) = 2/x + 2/(3x^3) + o(1/x^3)
Alors f(x) = (x^2 - 1) * (2/x + 2/(3x^3) + o(1/x^3))
= 2x + 2/(3x) - 2/x - 2/(3x^3) + o(1/x)
= 2x + (2/3 - 2)1/x + o(1/x)
= 2x - 4/(3x) + o(1/x)
L'équation de l'asymptote est Y = 2x.
Position relative : f(x) - Y ~ -4/(3x).
Pour x -> +∞, -4/(3x) est négatif, donc la courbe (Cf) est en dessous de son asymptote.
Pour x -> -∞, -4/(3x) est positif (car x est négatif), donc la courbe (Cf) est au-dessus de son asymptote.
Foire Aux Questions (FAQ)
Q1: Qu'est-ce qu'un développement limité (DL) ?
Un développement limité est une approximation polynomiale d'une fonction au voisinage d'un point donné. Il permet de simplifier l'étude locale d'une fonction, en particulier pour calculer des limites, des tangentes ou des positions relatives de courbes.
Q2: Pourquoi les développements limités sont-ils utiles en analyse ?
Les développements limités sont essentiels pour étudier le comportement local des fonctions. Ils permettent de résoudre des formes indéterminées lors du calcul de limites, d'approcher des fonctions complexes par des polynômes plus simples, de déterminer les équations des tangentes et asymptotes, et d'analyser la position d'une courbe par rapport à ces éléments.
Q3: Quelles sont les principales méthodes pour calculer un développement limité ?
Les méthodes courantes incluent l'utilisation de développements limités usuels (pour e^x, sin(x), cos(x), ln(1+x), etc.), les opérations sur les DL (somme, produit, quotient), la composition de DL, et l'intégration ou la dérivation d'un DL.