Cristallographie etude des structures metalliques cristallog

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I. Empilements Compacts

1. Arrangements Planaires

Dans un empilement compact de sphères en deux dimensions (un plan), chaque sphère est entourée de:

Nombre de sphères directement voisines : 6
Distance entre les centres des boules voisines (en contact) : D = 2R (où R est le rayon de la sphère)

2. Proches Voisins en 3D (Coordinence)

La coordinence représente le nombre de sphères directement en contact avec une sphère centrale dans une structure cristalline tridimensionnelle. C'est une caractéristique fondamentale de l'arrangement atomique.

3. Sites Interstitiels

Les espaces vides entre les sphères dans un empilement compact sont appelés sites interstitiels. Les deux types de sites les plus courants sont :

Site formé : Tétraédrique (entouré par 4 sphères)
Site formé : Octaédrique (entouré par 6 sphères)

Le nombre de ces sites varie selon la structure cristalline :

Dans la structure Hexagonale Compacte (HC), il y a 12 sites tétraédriques et 6 sites octaédriques par maille élémentaire.
Dans la structure Cubique à Faces Centrées (CFC), il y a 8 sites tétraédriques et 4 sites octaédriques par maille élémentaire, soit un total de 12 sites interstitiels.

II. Structures Métalliques

1. Structure Cubique Centrée (CC)

La structure cubique centrée (CC) est un arrangement où les atomes sont situés aux huit sommets d'un cube et un atome est au centre du cube.

Nombre de motifs par maille (Z) :
Chaque atome de sommet est partagé par 8 mailles (8 × 1/8), et l'atome central est entièrement dans la maille (1 × 1).
Z = (8 × 1/8) + (1 × 1) = 1 + 1 = 2 motifs par maille.
Coordonnées réduites des motifs :
- (0, 0, 0)
- (1/2, 1/2, 1/2)
Projection : (0,1) (0,1) (1/2) (0,1) (0,1) (Ces indications nécessitent un schéma pour une compréhension complète.)
Compacité (C) : C'est le pourcentage du volume de la maille occupé par les atomes.
C = (Volume des atomes dans la maille) / (Volume de la maille)
Avec Z = 2 motifs et un rayon atomique R. Le volume des atomes est Z × (4/3)πR³. Le volume de la maille est a³.
Dans la structure CC, les atomes sont en contact le long de la diagonale du cube, donc 4R = a√3.
C = (2 × (4/3)πR³) / ((4R/√3)³) = (8/3)πR³ / (64R³/ (3√3)) = (8/3)πR³ × (3√3 / 64R³) = π√3 / 8 ≈ 0.68 ou 68%.
Coordinence : Chaque atome dans une structure CC est en contact avec 8 atomes voisins.
Coordinence = 8.

2. Structure Cubique à Faces Centrées (CFC)

La structure cubique à faces centrées (CFC) est un arrangement où les atomes sont situés aux huit sommets d'un cube et au centre de chacune des six faces.

Nombre de motifs par maille (Z) :
Chaque atome de sommet est partagé par 8 mailles (8 × 1/8), et chaque atome de face est partagé par 2 mailles (6 × 1/2).
Z = (8 × 1/8) + (6 × 1/2) = 1 + 3 = 4 motifs par maille.
Coordonnées réduites des motifs :
- (0, 0, 0)
- (0, 1/2, 1/2)
- (1/2, 0, 1/2)
- (1/2, 1/2, 0)
Projection : (1/2) (0,1) (0,1) (1/2) (1/2) (0,1) (0,1) (0,1) (1/2) (Ces indications nécessitent un schéma.)
Compacité (C) :
Avec Z = 4 motifs. Dans la structure CFC, les atomes sont en contact le long de la diagonale des faces, donc 4R = a√2.
C = (4 × (4/3)πR³) / ((4R/√2)³) = (16/3)πR³ / (64R³ / (2√2)) = (16/3)πR³ × (2√2 / 64R³) = π√2 / 6 ≈ 0.74 ou 74%.
Coordinence : Chaque atome dans une structure CFC est en contact avec 12 atomes voisins.
Coordinence = 12.

Sites Tétraédriques et Octaédriques dans la structure CFC

La structure CFC offre des positions spécifiques pour les sites interstitiels.

Nombre de sites tétraédriques par maille : Il y a 8 sites tétraédriques par maille CFC, tous entièrement contenus dans la maille.
Nombre de sites = 8.
Coordonnées réduites des sites tétraédriques :
- (1/4, 1/4, 1/4)
- (1/4, 1/4, 3/4)
- (1/4, 3/4, 1/4)
- (3/4, 1/4, 1/4)
- (3/4, 3/4, 3/4)
- (3/4, 3/4, 1/4)
- (3/4, 1/4, 3/4)
- (1/4, 3/4, 3/4)
Nombre de sites octaédriques par maille : Il y a 12 sites sur les milieux des arêtes (chacun partagé par 4 mailles) et 1 site au centre du cube (entièrement contenu).
Nombre de sites = (12 × 1/4) + 1 = 3 + 1 = 4 sites par maille.
Coordonnées réduites des sites octaédriques :
- (0, 1/2, 0)
- (1/2, 0, 0)
- (0, 0, 1/2)
- (1/2, 1/2, 1/2)

3. Structure Hexagonale Compacte (HC)

La structure hexagonale compacte (HC) est également un empilement dense d'atomes, caractérisée par une maille élémentaire de forme hexagonale prismatique.

On peut décrire la structure HC à l'aide d'une maille hexagonale complète ou d'une pseudo-maille rhomboédrique qui en constitue un tiers.

Coordonnées réduites pour la pseudo-maille :
- (0, 0, 0)
- (1/2, 1/2, 1/2)
Nombre de motifs par maille HC complète :
Z = (12 atomes aux sommets × 1/6) + (2 atomes aux centres des faces × 1/2) + (3 atomes dans le plan médian × 1) = 2 + 1 + 3 = 6 motifs par maille.
Nombre de motifs pour la pseudo-maille :
La pseudo-maille représente 1/3 de la maille hexagonale compacte.
Z_pseudo = 6 / 3 = 2 motifs par pseudo-maille.

Sites Tétraédriques et Octaédriques dans la structure HC

Les sites interstitiels sont cruciaux pour les propriétés de diffusion et d'insertion dans la structure HC.

Nombre de sites tétraédriques : Dans une maille HC complète, il y a 12 sites tétraédriques.
Pour la pseudo-maille : 12 / 3 = 4 sites tétraédriques.
Nombre de sites octaédriques : Dans une maille HC complète, il y a 6 sites octaédriques.
Pour la pseudo-maille : 6 / 3 = 2 sites octaédriques.
Projection des sites tétraédriques : (1/8)(7/8) (3/8)(5/8) (Ces indications nécessitent un schéma pour être interprétées.)
Projection des sites octaédriques : (1/4)(3/4) (Ces indications nécessitent un schéma pour être interprétées.)

Compacité (C) de la structure HC

La structure HC est un empilement compact de sphères, et sa compacité est la même que celle de la structure CFC.

C = (Volume des atomes dans la maille) / (Volume de la maille)

Pour la maille HC, le volume est V = Aire de la base × hauteur = (6 × (a²/4)√3) × c = (3√3/2)a²c.

Avec Z = 6 motifs par maille et un rayon atomique R. Pour une HC idéale, a = 2R et c = 2a√(2/3) = 4R√(2/3).

C = (6 × (4/3)πR³) / ((3√3/2)a²c) = (8πR³) / ((3√3/2)(2R)²(4R√(2/3))) = (8πR³) / (24R³√2) = π / (3√2) ≈ 0.74 ou 74%.

Relation entre les paramètres a et c dans la structure HC idéale

Dans un empilement hexagonal compact idéal, les paramètres de maille (longueur des côtés de l'hexagone 'a' et hauteur du prisme 'c') sont liés au rayon atomique R :

a = 2R
c = 2a√(2/3) ou c = 4R√(2/3)

III. Notions de Cristallographie

Indices de Miller des Rangées (Directions)

Les indices de rangée [uvw] définissent la direction d'une droite ou d'un vecteur dans un réseau cristallin.

R1 : [2 1 1]
R2 : [1 2 1]
R3 : [1 1 0]
R4 : [0 1 2]

Indices de Miller des Plans

Les indices de Miller (hkl) sont une notation utilisée pour désigner les familles de plans cristallographiques parallèles dans un réseau.

Plan 1 : (322)
Plan 2 : (202)
Plan 3 : (111)
Plan 4 : (304)

FAQ sur les Structures Cristallines

Qu'est-ce que la compacité d'une structure cristalline et pourquoi est-elle importante ?

La compacité est le rapport entre le volume total occupé par les atomes dans une maille élémentaire et le volume total de cette maille, exprimé en pourcentage. Elle est importante car elle indique l'efficacité de l'empilement atomique et influence les propriétés physiques des matériaux, telles que la densité, la dureté et la ductilité.

Quelle est la principale différence entre la coordinence et le nombre de motifs par maille ?

La coordinence (ou nombre de proches voisins) est le nombre d'atomes directement en contact avec un atome central donné dans une structure. Elle décrit l'environnement local d'un atome. Le nombre de motifs par maille (Z), en revanche, est le nombre total d'atomes (ou d'unités de formule) contenus dans une maille élémentaire, après avoir pris en compte le partage des atomes aux sommets, aux arêtes ou aux faces.

Pourquoi les structures Cubique à Faces Centrées (CFC) et Hexagonale Compacte (HC) ont-elles la même compacité ?

Les structures CFC et HC sont toutes deux des empilements compacts de sphères, ce qui signifie qu'elles représentent les arrangements les plus denses possibles pour des sphères de taille identique. Malgré des arrangements atomiques différents (cubique pour CFC, hexagonal pour HC), l'efficacité avec laquelle l'espace est rempli est maximale et identique pour les deux, soit environ 74%. Elles sont considérées comme deux formes polytypiques d'empilement compact.