Td cristallographie géométrique et cristallochimie smp4 cris

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Exercices de Cristallographie Géométrique et Cristallochimie

Ces exercices couvrent les concepts fondamentaux de la cristallographie géométrique et de la cristallochimie, incluant l'indexation des directions et des plans, l'étude des structures cristallines, les sites interstitiels et les alliages. Ils sont conçus pour approfondir la compréhension des propriétés des matériaux à l'échelle atomique.

1) Détermination des indices de direction

Déterminer les indices des directions tracées dans les mailles élémentaires suivantes :

(Note : Les diagrammes des mailles élémentaires sont nécessaires pour résoudre cette question. En cristallographie, une direction est représentée par des indices de Miller [uvw], qui sont les composantes les plus petites d'un vecteur, exprimées en multiples des vecteurs de base de la maille.)

2) Traçage des directions dans une maille cubique

Tracer les directions suivantes dans une maille élémentaire cubique : [110], [211], [012] et [133].

(Pour tracer une direction [uvw] dans une maille cubique, on part de l'origine (0,0,0) et on se déplace de u unités le long de l'axe x, v unités le long de l'axe y et w unités le long de l'axe z. Si les indices sont supérieurs à 1, on peut imaginer des mailles adjacentes ou réduire le vecteur à son plus petit ensemble d'entiers si possible, bien que les indices de direction soient généralement donnés sous forme entière non réduite si c'est la direction d'intérêt.)

3) Détermination des indices de Miller des plans

Déterminer les indices de Miller des plans tracés dans les mailles élémentaires suivantes :

(Note : Les diagrammes des mailles élémentaires sont nécessaires pour résoudre cette question. Les indices de Miller (hkl) d'un plan sont les inverses des intersections du plan avec les axes cristallographiques, réduits au plus petit ensemble d'entiers.)

4) Traçage des plans dans une maille cubique

Tracer les plans suivants dans une maille élémentaire cubique : (011), (112), (102) et (131).

(Pour tracer un plan (hkl), on trouve les inverses des indices (1/h, 1/k, 1/l) qui représentent les points d'intersection du plan avec les axes x, y, z. On relie ensuite ces points. Un indice nul signifie que le plan est parallèle à cet axe.)

5) Indexation et traçage de plans réticulaires

a) Indexer les plans réticulaires

Indexer les plans réticulaires qui déterminent respectivement sur les axes OX, OY et OZ les segments : (2a, 6a, 20a) ; (3a, b, c) ; (a, b, c) et (6a, 6b, 3c).

(Pour indexer, on prend les inverses des intersections, puis on les multiplie par le plus petit commun multiple pour obtenir des entiers. Par exemple, pour (2a, 6a, 20a), les intersections sont 2, 6, 20. Les inverses sont 1/2, 1/6, 1/20. Le plus petit commun multiple est 60. Donc (30, 10, 3).)

b) Tracer ces plans

Tracer ces plans. (Cette tâche nécessite une représentation graphique et la compréhension des intersections déterminées en 5a.)

c) Déterminer les indices de Miller des plans suivants

Déterminer les indices de Miller des plans suivants : (10) (L'énoncé semble incomplet ici ; les indices de Miller d'un plan sont typiquement trois entiers (hkl). S'il s'agit d'une projection, cela devrait être spécifié.)

6) Étude cristallographique de l'uranium

L'uranium possède trois variétés allotropiques entre la température ambiante et sa température de fusion (1132°C). La phase α apparaît pour T < 668 °C. La phase β existe entre 668 °C et 775 °C. La phase γ est de structure cubique centrée pour 775 °C < T < 1132 °C. À l'aide des données ci-après, on demande de préciser quelques caractéristiques structurales de la phase γ.

Données : Masse molaire de l'uranium : M = 238 g/mol ; paramètre de maille a = 350 pm.

a) Dessiner une maille conventionnelle et calculer le rayon atomique

Dessiner une maille conventionnelle du réseau cristallin associé à cette phase. Quelle est la relation qui lie le côté 'a' de la maille usuelle et le rayon atomique 'R' de l'uranium ? Calculer le rayon atomique de l'uranium dans cette structure.

(Pour une structure cubique centrée (BCC), les atomes sont en contact le long de la diagonale du corps. La relation est 4R = a√3. Après avoir dessiné la maille, utilisez cette relation pour calculer R.)

b) Calculer le nombre d'atomes par maille, la coordinence et la compacité

Calculer le nombre d'atomes par maille, la coordinence et la compacité.

(Pour une structure cubique centrée :

Nombre d'atomes par maille : 1 (au centre) + 8 * (1/8) (aux sommets) = 2 atomes.

Coordinence : Chaque atome central est entouré de 8 atomes aux sommets. Chaque atome aux sommets est entouré de 8 atomes centraux dans les mailles adjacentes. Donc la coordinence est 8.

Compacité (ou facteur de remplissage) : Volume des atomes / Volume de la maille = (2 * (4/3)πR³) / a³. Utilisez la relation 4R = a√3 pour exprimer R en fonction de 'a'.)

c) Calculer la masse volumique de l'uranium

Calculer la masse volumique de l'uranium.

(La masse volumique ρ = (Nombre d'atomes par maille * Masse molaire) / (Volume de la maille * Nombre d'Avogadro). Assurez-vous d'utiliser des unités cohérentes (pm en cm, g/mol en g/atome).)

7) Rayon des sites interstitiels dans un CFC

Déterminer, dans un empilement compact cubique à faces centrées (CFC) d'atomes de même nature et de rayon R, le rayon maximal de l'atome pouvant occuper un site tétraédrique et un site octaédrique.

(Dans une structure CFC, les sites octaédriques se trouvent au centre des arêtes et au centre de la maille, tandis que les sites tétraédriques se trouvent dans les octants de la maille.

Pour le site octaédrique : le rayon de l'interstice r_o est lié au rayon de l'atome hôte R par r_o = 0.414 R.

Pour le site tétraédrique : le rayon de l'interstice r_t est lié au rayon de l'atome hôte R par r_t = 0.225 R.

Ces calculs impliquent la géométrie des contacts entre l'atome interstitiel et les atomes hôtes.)

8) Alliages

Le cuivre et le nickel cristallisent tous les deux dans un système cubique à faces centrées (CFC) de paramètres respectivement égaux à 3,61 Å et 3,52 Å.

a) Calculer les rayons atomiques et la possibilité de former des alliages

Calculez les rayons atomiques du cuivre et du nickel. Pensez-vous que l'on puisse former des alliages entre le cuivre et le nickel ? Si oui, de quel type et pourquoi ?

(Pour une structure CFC, 4R = a√2. Pour la formation d'alliages de substitution, les règles de Hume-Rothery sont à considérer :

La différence de rayons atomiques doit être inférieure à environ 15%.

Les deux éléments doivent avoir la même structure cristalline.

L'électronégativité doit être similaire.

Les valences doivent être similaires.

Si ces conditions sont remplies, un alliage de substitution est probable. Le type d'alliage peut être une solution solide.)

b) Comparaison avec le zinc

En est-il de même pour le cuivre et le zinc dont le rayon atomique est de 1,37 Å ?

(Comparez le rayon atomique du zinc avec celui du cuivre et appliquez les règles de Hume-Rothery. Il est également important de noter la structure cristalline du zinc, qui est hexagonal compact (HC), différente du CFC du cuivre, ce qui rend la formation d'une solution solide de substitution complète moins probable.)

c) Hydrures de métaux de transition

Les hydrures de métaux de transition sont-ils des alliages de substitution ou d'insertion et pourquoi ? Donnez une réponse la plus complète possible. On donne r_H = 0,37 Å.

(Les hydrures de métaux de transition sont typiquement des alliages d'insertion car l'atome d'hydrogène (avec son petit rayon atomique r_H = 0,37 Å) est beaucoup plus petit que les atomes métalliques hôtes. Il peut ainsi s'insérer dans les sites interstitiels du réseau métallique sans remplacer les atomes métalliques. Les alliages d'insertion se forment lorsque la différence de taille entre les atomes du soluté et du solvant est très grande, et que les petits atomes du soluté occupent les lacunes ou les sites interstitiels de la structure cristalline du solvant.)

9) Sites octaédriques et tétraédriques dans la maille hexagonale compacte

Déterminer la position et le nombre des sites O et T dans un empilement hexagonal compact (HC) d'atomes identiques.

(Dans une maille hexagonale compacte, il y a :

Sites octaédriques : 2 par maille HC. Ils sont situés au centre de chaque face hexagonale et au milieu des arêtes verticales. Plus précisément, on en trouve 1/3 et 2/3 des arêtes 'c' sur deux positions différentes.

Sites tétraédriques : 6 par maille HC. Ils se situent à environ 1/8 et 3/8 de la hauteur 'c' pour chaque atome plan.

Le nombre d'atomes par maille HC est de 6. Le rapport sites T/atome est de 2, et sites O/atome est de 1.)

10) Cristal de cobalt

Le cobalt de rayon atomique 125 pm cristallise dans le système hexagonal compact (HC).

Donnée : Masse molaire M = 58,933 g/mol.

a) Déterminer les paramètres de maille a et c

Déterminer les paramètres de maille a et c.

(Pour une structure hexagonale compacte idéale, la relation entre le rayon atomique R et le paramètre 'a' est a = 2R. La relation entre 'c' et 'a' est c = a * √(8/3) ≈ 1.633a. Calculez 'a' puis 'c'.)

b) Vérifier la masse volumique expérimentale

Vérifier si la masse volumique expérimentale de 8,9 g/cm³ s'accorde avec les paramètres calculés.

(La masse volumique ρ = (Nombre d'atomes par maille * Masse molaire) / (Volume de la maille * Nombre d'Avogadro). Le volume de la maille HC est V = a²c * √3 / 2. Le nombre d'atomes par maille HC est 6. Comparez votre résultat avec 8,9 g/cm³.)

c) Déterminer la compacité et la coordinence du cobalt

Déterminer la compacité et la coordinence du cobalt dans cette structure.

(Pour une structure hexagonale compacte idéale :

Compacité : (Volume des atomes / Volume de la maille) = (6 * (4/3)πR³) / (a²c√3/2). En utilisant a = 2R et c = a√(8/3), la compacité théorique est d'environ 0,74 (74%).

Coordinence : Chaque atome est en contact avec 12 atomes voisins (6 dans le même plan, 3 au-dessus et 3 en dessous). La coordinence est donc 12.

)

11) Bromure de césium

Le bromure de césium cristallise sous deux formes :

type CsCl : la plus courte distance Cs-Br vaut d1 = 372 pm (structure stable).
type NaCl : la plus courte distance Cs-Br vaut d2 = 362 pm.

Calculer la masse volumique de ces deux cristaux.

Données : M(Br) = 80 g/mol et M(Cs) = 133 g/mol.

(Pour le type CsCl : C'est une structure cubique simple avec un ion au centre. Il y a un ion Cs et un ion Br par maille. La plus courte distance d1 est la diagonale du corps divisée par deux, d1 = a√3 / 2, donc a = 2d1/√3. Pour le type NaCl : C'est une structure cubique à faces centrées. Il y a 4 ions Cs et 4 ions Br par maille. La plus courte distance d2 est la moitié de l'arête de la maille, d2 = a/2, donc a = 2d2. La masse volumique pour chaque structure se calcule avec ρ = (Masse d'une maille) / (Volume de la maille) = ((N_Cs * M_Cs + N_Br * M_Br) / N_A) / a³.)

12) Cristal de fluorure de lithium

Le fluorure de lithium cristallise comme le chlorure de sodium (structure type NaCl). Les rayons ioniques sont : Li⁺ : 0,060 nm ; F⁻ : 0,136 nm.

a) Calculer les paramètres de maille

Calculer les paramètres de maille.

(Dans une structure de type NaCl, les ions sont en contact le long de l'arête de la maille. La distance entre le centre d'un ion Li⁺ et un ion F⁻ est la somme de leurs rayons : d = R_Li⁺ + R_F⁻. Le paramètre de maille 'a' est égal à 2d, donc a = 2 * (R_Li⁺ + R_F⁻).)

b) Vérifier le non-contact des anions

Vérifier que les anions ne sont pas en contact en calculant la distance entre deux des plus proches.

(Dans la structure NaCl, les anions F⁻ ne sont pas en contact direct le long des arêtes, mais ils seraient en contact s'ils étaient trop grands. La distance la plus courte entre deux anions F⁻ voisins se trouve le long de la diagonale d'une face, où elle est de a/√2. Comparez cette distance à 2 * R_F⁻. Si a/√2 > 2 * R_F⁻, ils ne sont pas en contact.)

c) Calculer la compacité

Calculer la compacité.

(La compacité est le volume total des ions dans la maille divisé par le volume de la maille. Pour une maille de type NaCl, il y a 4 ions Li⁺ et 4 ions F⁻. Compacité = (4 * (4/3)πR_Li⁺³ + 4 * (4/3)πR_F⁻³) / a³.)

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce qu'un indice de Miller ?

Les indices de Miller (hkl) sont un système de notation utilisé en cristallographie pour désigner des plans atomiques et des directions cristallographiques au sein d'un réseau. Pour un plan, ils sont déterminés en prenant l'inverse des intersections du plan avec les axes cristallographiques, puis en réduisant ces fractions au plus petit ensemble d'entiers.

Pourquoi la compacité est-elle importante en science des matériaux ?

La compacité, ou facteur de remplissage atomique, indique la proportion du volume d'une maille élémentaire occupée par les atomes. Elle est cruciale car elle influence directement plusieurs propriétés physiques et mécaniques d'un matériau, telles que la densité, la dureté, la ductilité et la conductivité thermique ou électrique. Une compacité élevée est souvent associée à une plus grande densité et une meilleure résistance mécanique.

Quelles sont les règles de Hume-Rothery pour la formation d'alliages de substitution ?

Les règles de Hume-Rothery prédisent la possibilité de formation de solutions solides de substitution entre deux éléments. Elles incluent : une différence de rayons atomiques inférieure à 15%, une structure cristalline identique, une électronégativité similaire, et une valence similaire. Lorsque ces conditions sont respectées, les atomes d'un élément peuvent facilement remplacer ceux de l'autre dans le réseau cristallin, formant un alliage homogène.