Examen algèbre 2 deust mip 2021 2022 (module 124) -Algèbre 2
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Instructions de l'examen :
Durée : 1h 45. Tous documents et smartphones sont interdits. Les calculatrices non programmables sont autorisées. La note tiendra compte du soin apporté à la présentation et à la rédaction de la copie.
L'ensemble M3(R) des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients réels est un R-espace vectoriel de dimension 9. On note I3 la matrice identité d'ordre 3 et O3 la matrice nulle d'ordre 3.
Dans M3(R), on définit les matrices :
J = [[0, 1, 1], [1, 0, 1], [1, 1, 0]]
Et l'ensemble E comme étant l'ensemble des matrices de la forme M(a,b) = aI3 + bJ, pour tout (a, b) ∈ R². Cela signifie que :
M(a,b) = [[a, b, b], [b, a, b], [b, b, a]]
I. Propriétés des matrices de E
1. Structure de l'ensemble E
Montrer que l'ensemble E est un sous-espace vectoriel de M3(R) et que la famille B = (I3, J) est une base de E. Cela implique de démontrer que E est stable par combinaison linéaire et que I3 et J sont des générateurs linéairement indépendants.
2. Stabilité de E par produit
Montrer que J² = 2I3 + J. En déduire que l'ensemble E est stable par produit de matrices, c'est-à-dire que si M ∈ E et N ∈ E alors MN ∈ E. L'associativité de la multiplication matricielle et la propriété J² = 2I3 + J sont clés ici.
3. Existence de diviseurs de zéro dans E
Peut-on dire que si M ∈ E et N ∈ E alors MN = O3 implique M = O3 ou N = O3 ? Sinon, donner un contre-exemple. Il s'agit de déterminer si l'ensemble E, muni de la multiplication matricielle, possède des diviseurs de zéro.
4. Commutativité des matrices de E
Montrer que les matrices de E commutent, c'est-à-dire, pour tout M ∈ E et N ∈ E, MN = NM. La commutativité de I3 et J ainsi que le fait que I3 commute avec toute matrice sont des arguments importants.
5. Calcul du déterminant de M(a,b)
Montrer que det (M(a,b)) = (a-b)²(a+2b), pour tout (a, b) ∈ R².
6. Inversibilité de M(a,b)
Discuter en fonction de a et b l'inversibilité de la matrice M(a,b). Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.
7. Équation polynomiale et inverse de M(a,b)
Montrer que toute matrice M(a,b) de E est solution de l'équation (M(a,b))² - (2a+b)M(a,b) + (a-b)(a+2b)I3 = O3. Lorsque M(a,b) est inversible, en déduire M(a,b)⁻¹ en fonction de M(a,b) puis de I3 et J.
8. Rang de la matrice M(a,b)
Discuter, suivant les valeurs de a et b, le rang de la matrice M(a,b).
9. Justification de la formule du binôme pour (M(a,b))^n
Justifier la validité de l'application de la formule du binôme pour le calcul de (M(a,b))^n. La commutativité des matrices I3 et J (et donc de M(a,b) sous la forme aI3 + bJ) est la condition essentielle.
10. Calcul de J^n par récurrence
Montrer, par récurrence, une formule explicite pour les puissances de la matrice J, c'est-à-dire pour J^n. (Note : la formule spécifique n'a pas pu être reproduite à partir du texte original en raison d'une corruption de caractères).
11. Expression de (M(a,b))^n
En déduire l'expression de (M(a,b))^n pour tout n ≥ 0. L'utilisation de la formule du binôme et de la formule pour J^n est attendue ici.
II. Diagonalisation de l'endomorphisme f_(a,b)
Introduction de l'endomorphisme f_(a,b)
On considère maintenant l'endomorphisme f_(a,b) ∈ L(R³) défini par, pour tout (x, y, z) ∈ R³ :
f_(a,b)(x, y, z) = (ax+by+bz, bx+ay+bz, bx+by+az)
(Note : la définition de l'endomorphisme a été corrigée pour assurer sa linéarité et sa cohérence avec la matrice M(a,b) utilisée dans la partie I, en supprimant les termes non linéaires et en ajustant les coefficients.)
1. Matrice de f_(a,b) dans la base canonique
Donner la matrice de f_(a,b) par rapport à la base canonique de R³.
2. Polynôme caractéristique de f_(a,b)
Déduire de la forme du déterminant de M(a,b) (calculé à la question 5 de la partie I) l'expression du polynôme caractéristique de f_(a,b).
3. Valeurs propres et leurs multiplicités
Donner les valeurs propres de f_(a,b) en précisant leurs multiplicités algébriques.
4. Diagonalisabilité de f_(a,b)
Montrer que f_(a,b) est diagonalisable pour tout (a,b) ≠ (0,0). La diagonalisabilité dépend de la dimension des sous-espaces propres par rapport aux multiplicités algébriques des valeurs propres.
5. Diagonalisation complète de f_(a,b)
Diagonaliser f_(a,b) : on donnera une base constituée de vecteurs propres et la matrice de f_(a,b) par rapport à cette base (la matrice diagonale).
6. Retrouver (M(a,b))^n par diagonalisation
Retrouver ainsi l'expression de (M(a,b))^n pour tout n ≥ 0 en utilisant la diagonalisation de la matrice.
III. Projecteurs et symétries
Rappel des définitions
On rappelle qu'un projecteur d'un espace vectoriel E est un endomorphisme de E vérifiant p ∘ p = p, et qu'une symétrie de E est un endomorphisme de E vérifiant s ∘ s = id_E.
1. Lien entre projecteur et symétrie
Montrer que l'équivalence suivante est vraie : p est un projecteur de E si et seulement si 2p - id_E est une symétrie de E.
2. Conditions pour que f_(a,b) soit un projecteur ou une symétrie
Pour quelles valeurs du couple (a,b), l'endomorphisme f_(a,b) défini ci-dessus est-il un projecteur de R³ ? Pour quelles valeurs est-il une symétrie de R³ ?
FAQ : Questions Fréquemment Posées
1. Qu'est-ce qu'un espace vectoriel de matrices ?
Un espace vectoriel de matrices est un ensemble de matrices, généralement de mêmes dimensions et sur le même corps de scalaires (ici, les nombres réels), qui est muni de l'addition matricielle et de la multiplication par un scalaire, et qui satisfait les huit axiomes d'un espace vectoriel. M3(R), l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients réels, en est un exemple courant.
2. Pourquoi la formule du binôme est-elle applicable dans ce contexte ?
La formule du binôme de Newton, sous sa forme (A+B)^n = Σ (n parmi k) A^k B^(n-k), est applicable pour les matrices A et B si et seulement si elles commutent (AB = BA). Dans ce problème, la matrice M(a,b) est définie comme M(a,b) = aI3 + bJ. Puisque la matrice identité I3 commute avec toute matrice (I3J = JI3), et J commute avec elle-même, A = aI3 et B = bJ commutent, ce qui permet d'appliquer la formule du binôme pour calculer (M(a,b))^n.
3. Quelle est l'importance de la diagonalisation pour le calcul des puissances de matrices ?
La diagonalisation est une méthode très efficace pour calculer les puissances d'une matrice (M^n). Si une matrice M est diagonalisable, elle peut s'écrire sous la forme M = PDP⁻¹, où D est une matrice diagonale. Le calcul de M^n devient alors simple : M^n = (PDP⁻¹)^n = PD^nP⁻¹. Comme D est diagonale, D^n est obtenue en élevant chaque élément diagonal à la puissance n, ce qui est trivial. Cette méthode simplifie grandement les calculs, en particulier pour de grandes puissances de matrices.