Examen algèbre ii fst mohammedia 18 janvier 2022 algèbre 2 -
Télécharger PDFCet article explore des concepts clés d'algèbre linéaire, tirés d'un examen universitaire typique en mathématiques. Il couvre l'analyse d'endomorphismes, les propriétés des matrices, la diagonalisabilité et les sous-espaces propres.
Exercice 1 : Algèbre linéaire fondamentale
1. Analyse d'un endomorphisme et de ses propriétés
Soit ƒ l'endomorphisme de R³ dont l'expression explicite est donnée par :
ƒ(x, y, z) = (-4x - 3z, x - 3y + 3z, 2x + 3z).
La matrice A associée à ƒ par rapport à la base canonique est :
| -4 | 0 | -3 |
| 1 | -3 | 3 |
| 2 | 0 | 3 |
Le polynôme caractéristique de A est : P_A(λ) = (λ - 2)(λ + 3)².
Les valeurs propres de A, notées λ, sont :
- λ₁ = -3, d'ordre de multiplicité algébrique 2.
- λ₂ = 2, d'ordre de multiplicité algébrique 1.
2. Étude du déterminant et du rang d'une matrice paramétrée
On considère la matrice M suivante, où m est un paramètre réel :
| m | m² | m³ |
| m² | m | m³ |
| m³ | m² | m |
Le déterminant de M est : det(M) = m²(1 + m + m²)(1 - m)²(1 + m).
Le rang de la matrice M (rg(M)) varie selon la valeur du paramètre m :
- rg(M) = 0 si m = 0.
- rg(M) = 1 si m = 1.
- rg(M) = 2 si m = -1.
- rg(M) = 3 si m ∉ {0, 1, -1}.
3. Propriétés d'une matrice diagonalisable
Soit A une matrice carrée. On suppose que A est diagonalisable et que son polynôme caractéristique est : P_A(λ) = λ(λ + 2)²(λ - 2)³.
La taille de la matrice A est 6x6 (déduite du degré du polynôme caractéristique).
La matrice A n'est pas inversible, car 0 est une valeur propre de A. Une matrice est inversible si et seulement si 0 n'est pas une de ses valeurs propres.
Si E_λ est le sous-espace propre associé à la valeur propre λ, alors pour une matrice diagonalisable, la dimension de chaque sous-espace propre est égale à la multiplicité algébrique de la valeur propre correspondante :
- dim(E₀) = 1 (pour λ = 0).
- dim(E₋₂) = 2 (pour λ = -2).
- dim(E₂) = 3 (pour λ = 2).
4. Analyse de matrices nilpotentes et de la puissance d'une matrice de Jordan
Considérons la matrice N₁ :
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
Le carré de N₁ est la matrice nulle :
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
Soit une matrice A qui peut être décomposée en A = D + N₂, où D est une matrice diagonale et N₂ est une matrice nilpotente (N₂³ = 0) et telle que D et N₂ commutent. Par exemple, A pourrait être de la forme Jordanienne :
| -2 | 1 | 0 |
| 0 | -2 | 1 |
| 0 | 0 | -2 |
Dans ce cas, D = -2I₃ et N₂ = [[0,1,0],[0,0,1],[0,0,0]].
La formule explicite pour Aⁿ est dérivée de la formule du binôme de Newton pour des matrices qui commutent :
Aⁿ = Dⁿ + n Dⁿ⁻¹ N₂ + (n(n-1)/2) Dⁿ⁻² N₂².
Explicitement, pour cette forme spécifique de A, on a :
| (-2)ⁿ | n(-2)ⁿ⁻¹ | n(n-1)/2 (-2)ⁿ⁻² |
| 0 | (-2)ⁿ | n(-2)ⁿ⁻¹ |
| 0 | 0 | (-2)ⁿ |
5. Matrice d'un endomorphisme de l'espace des polynômes
Soit ƒ l'endomorphisme de R₂[X] (polynômes de degré au plus 2) défini par f(P) = P + P' - P''.
La matrice M associée à ƒ par rapport à la base canonique {1, X, X²} de R₂[X] est :
| 1 | 1 | -2 |
| 0 | 1 | 2 |
| 0 | 0 | 1 |
Exercice 2 : Sous-espaces vectoriels et endomorphismes
Contexte : Espace de matrices spécifiques
L'ensemble M₃(R) des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients réels est un espace vectoriel de dimension 9 sur R. Nous considérons E, un sous-ensemble de M₃(R), constitué des matrices de la forme :
| a | 0 | c |
| 0 | b | 0 |
| c | 0 | a |
où a, b, c sont des réels.
1. Démonstration que E est un sous-espace vectoriel de M₃(R)
Pour montrer que E est un sous-espace vectoriel de M₃(R), il faut vérifier les trois conditions suivantes :
- E est non vide : La matrice nulle (correspondant à a=0, b=0, c=0) est de la forme spécifiée et appartient donc à E.
- Stabilité par addition : Si M₁ et M₂ sont deux matrices de E, alors leur somme M₁ + M₂ est également de la forme de E. En effet, si M₁ = [[a₁,0,c₁],[0,b₁,0],[c₁,0,a₁]] et M₂ = [[a₂,0,c₂],[0,b₂,0],[c₂,0,a₂]], alors M₁+M₂ = [[a₁+a₂,0,c₁+c₂],[0,b₁+b₂,0],[c₁+c₂,0,a₁+a₂]], qui est de la même forme.
- Stabilité par multiplication scalaire : Si M est une matrice de E et λ est un scalaire réel, alors λM est aussi de la forme de E. En effet, si M = [[a,0,c],[0,b,0],[c,0,a]], alors λM = [[λa,0,λc],[0,λb,0],[λc,0,λa]], qui est de la même forme.
Puisque ces trois conditions sont satisfaites, E est bien un sous-espace vectoriel de M₃(R).
2. Détermination d'une base de E
La famille B = {M₁, M₂, M₃} est une base de E, où les matrices sont définies comme suit :
- M₁ (pour a=1, b=0, c=0) :
1 0 0 0 0 0 0 0 1 - M₂ (pour a=0, b=1, c=0) :
0 0 0 0 1 0 0 0 0 - M₃ (pour a=0, b=0, c=1) :
0 0 1 0 0 0 1 0 0
Ces trois matrices sont linéairement indépendantes et tout élément de E peut s'écrire comme une combinaison linéaire unique de M₁, M₂ et M₃ (M = aM₁ + bM₂ + cM₃). Elles forment donc une base de E, et la dimension de E est 3.
3. Étude d'un endomorphisme ƒ sur E
On définit l'application ƒ: E → E par :
ƒ([[a,0,c],[0,b,0],[c,0,a]]) = [[b,0,-c],[0,a,0],[-c,0,b]].
a. ƒ est un endomorphisme de E
Pour démontrer que ƒ est un endomorphisme, il faut prouver sa linéarité et que son image est bien dans E. La linéarité peut être vérifiée en montrant que ƒ(λM + M') = λƒ(M) + ƒ(M') pour tout scalaire λ et toutes matrices M, M' dans E. De plus, la forme de la matrice résultante [[b,0,-c],[0,a,0],[-c,0,b]] est conforme à la définition des matrices de E (avec 'a' remplacé par 'b', 'b' par 'a', et 'c' par '-c'). Ainsi, ƒ est une application linéaire de E vers E, ce qui en fait un endomorphisme.
b. Matrice de ƒ par rapport à la base B
Pour déterminer la matrice de ƒ par rapport à la base B = {M₁, M₂, M₃}, nous appliquons ƒ à chaque vecteur de base et exprimons le résultat en fonction des vecteurs de B :
- ƒ(M₁) = ƒ([[1,0,0],[0,0,0],[0,0,1]]) = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]] = M₂
- ƒ(M₂) = ƒ([[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]) = [[1,0,0],[0,0,0],[0,0,1]] = M₁
- ƒ(M₃) = ƒ([[0,0,1],[0,0,0],[1,0,0]]) = [[0,0,-1],[0,0,0],[-1,0,0]] = -M₃
La matrice de ƒ par rapport à la base B, notée Mat_B(ƒ), est donc :
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | -1 |
c. ƒ est une involution
Une application ƒ est une involution si et seulement si ƒ o ƒ = id_E (l'application identité sur E). Calculons ƒ(ƒ(M)) :
ƒ(ƒ([[a,0,c],[0,b,0],[c,0,a]])) = ƒ([[b,0,-c],[0,a,0],[-c,0,b]])
En appliquant la règle de ƒ une seconde fois avec les paramètres b, a, -c :
= [[a,0,-(-c)],[0,b,0],[-(-c),0,a]] = [[a,0,c],[0,b,0],[c,0,a]] = M.
Puisque ƒ(ƒ(M)) = M pour toute matrice M dans E, ƒ est bien une involution.
d. Déduction des valeurs propres de ƒ
Puisque ƒ est une involution, ƒ o ƒ = id_E. Si λ est une valeur propre de ƒ, alors ƒ(v) = λv pour un vecteur propre v non nul. En appliquant ƒ une seconde fois : ƒ(ƒ(v)) = ƒ(λv) = λƒ(v) = λ(λv) = λ²v. Comme ƒ(ƒ(v)) = id_E(v) = v, nous avons λ²v = v. Puisque v est non nul, il s'ensuit que λ² = 1. Les valeurs propres possibles de ƒ sont donc 1 et -1.
4. Détermination des sous-espaces propres et leur somme directe
a. Sous-espace propre E₁ (associé à λ = 1)
Le sous-espace propre E₁ est l'ensemble des matrices M de E telles que ƒ(M) = M. En utilisant les composantes (a,b,c) :
[[b,0,-c],[0,a,0],[-c,0,b]] = [[a,0,c],[0,b,0],[c,0,a]]
Ceci implique les conditions : b=a et -c=c (donc c=0). Ainsi, M est de la forme :
| a | 0 | 0 |
| 0 | a | 0 |
| 0 | 0 | a |
E₁ est engendré par M₁ + M₂. Par conséquent, dim(E₁) = 1.
b. Sous-espace propre E₋₁ (associé à λ = -1)
Le sous-espace propre E₋₁ est l'ensemble des matrices M de E telles que ƒ(M) = -M. En utilisant les composantes (a,b,c) :
[[b,0,-c],[0,a,0],[-c,0,b]] = [[-a,0,-c],[0,-b,0],[-c,0,-a]]
Ceci implique les conditions : b=-a et -c=-c (ce qui est toujours vrai). Ainsi, M est de la forme :
| a | 0 | c |
| 0 | -a | 0 |
| c | 0 | a |
E₋₁ est engendré par M₁ - M₂ et M₃. Par conséquent, dim(E₋₁) = 2.
c. Supplémentarité des sous-espaces propres
La dimension de l'espace E est 3. Nous avons dim(E₁) = 1 et dim(E₋₁) = 2. La somme des dimensions est dim(E₁) + dim(E₋₁) = 1 + 2 = 3, ce qui est égal à la dimension de E.
De plus, l'intersection E₁ ∩ E₋₁ ne contient que la matrice nulle. En effet, si M appartient à E₁ et E₋₁, alors M = -M, ce qui implique 2M = 0, donc M est la matrice nulle. Par conséquent, les sous-espaces propres E₁ et E₋₁ sont supplémentaires dans E (E = E₁ ⊕ E₋₁).
5. L'endomorphisme ƒ est-il diagonalisable ?
Oui, l'endomorphisme ƒ est diagonalisable.
Justification : Un endomorphisme est diagonalisable si la somme des dimensions de ses sous-espaces propres est égale à la dimension de l'espace vectoriel tout entier. Dans notre cas, dim(E₁) + dim(E₋₁) = 1 + 2 = 3, qui est égale à dim(E). De plus, la matrice Mat_B(ƒ) est symétrique, et toute matrice symétrique est diagonalisable sur R.
FAQ : Questions Fréquemment Posées
1. Qu'est-ce qu'un endomorphisme ?
Un endomorphisme est une application linéaire qui transforme un espace vectoriel en lui-même. En d'autres termes, c'est une fonction ƒ d'un espace vectoriel E vers E, qui respecte l'addition des vecteurs et la multiplication par un scalaire.
2. Comment détermine-t-on le rang d'une matrice ?
Le rang d'une matrice est le nombre maximal de colonnes (ou de lignes) linéairement indépendantes dans cette matrice. Il peut être déterminé en utilisant des opérations élémentaires sur les lignes pour la réduire à une forme échelonnée, puis en comptant le nombre de lignes non nulles, ou en trouvant la taille du plus grand mineur non nul.
3. Quand une matrice est-elle diagonalisable ?
Une matrice carrée (ou un endomorphisme) est diagonalisable si et seulement s'il existe une base de vecteurs propres pour l'espace vectoriel. Cela signifie que la somme des dimensions de tous ses sous-espaces propres doit être égale à la dimension de l'espace, ou que pour chaque valeur propre, sa multiplicité algébrique est égale à sa multiplicité géométrique (dimension du sous-espace propre associé).