Ce document académique est conçu pour les étudiants universitaires des filières scientifiques (SMI, SMA, SMP) de l'Université Mohammed V-Agdal, Faculté des Sciences. Il présente une collection d'examens et d'exercices corrigés en Mécanique du Solide, constituant un support essentiel pour la préparation des évaluations.
Il couvre les notions suivantes :
- Cinématique, cinétique et dynamique des corps rigides.
- Théorèmes fondamentaux (résultante, moment, énergie cinétique).
- Torseurs cinématiques et dynamiques.
- Étude de mouvements spécifiques (roulement, oscillations).
Examen physique pc2 mecanique du solide - Télécharger pdf
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Une plaque rectangulaire homogène (ABCD) de masse m et de centre d'inertie G, a une longueur 2l et une largeur 2a (AB = 2a, BD = 2l). Le milieu E du côté AB est contraint de se déplacer sans frottement sur un axe vertical fixe Oz₀. Le côté opposé CD glisse sans frottement sur le plan horizontal x₀Oy₀ d'un repère galiléen R₀(O,x₀,y₀,z₀). Nous désignons par RS(G,x,y,z) un repère orthonormé lié à la plaque, dont l'axe Gx est horizontal, l'axe Gy est situé dans le prolongement de EG et l'axe Gz est perpendiculaire à la plaque et situé au-dessus. La position de la plaque est repérée par les angles φ=(Ox, OH) (où H est le milieu de CD) et θ=(HO, HE). RE désigne la réaction exercée au point E par l'axe Oz₀ sur la plaque. Tous les résultats sont exprimés dans la base liée au repère intermédiaire R(O,u,V,Z).
I. Cinématique
1. Vecteur rotation instantané Ω(S/R₀) de la plaque S par rapport à R₀
La plaque est repérée par les angles φ et θ. Le vecteur rotation instantané de la plaque S par rapport au repère galiléen R₀ peut être exprimé comme la somme des vitesses angulaires de rotation associées à chaque degré de liberté :
Ω(S/R₀) = φ̇ Z + θ̇ uθ
où Z est le vecteur unitaire de l'axe vertical Oz₀ et uθ est le vecteur unitaire de l'axe de rotation pour l'angle θ, généralement perpendiculaire au plan formé par HO et HE.
2. Torseur cinématique T(S/R₀) de la plaque au point G
Le torseur cinématique de la plaque au point G est donné par {Ω(S/R₀), V(G/R₀)}.
La position du centre d'inertie G peut être définie à partir du point E et de la géométrie de la plaque : OG = OE + EG.
Le vecteur position EG est donné par EG = l cosθ u₂ + l sinθ Z₀, où u₂ est un vecteur unitaire approprié et Z₀ est le vecteur unitaire vertical.
La vitesse du point E, V(E/R₀), puisque E se déplace sur Oz₀, est dirigée selon cet axe. Cependant, si le repère R(O,u,V,Z) est utilisé, la vitesse de E peut avoir des composantes dépendant de φ.
La vitesse du centre d'inertie G est déterminée par la formule de composition des vitesses :
V(G/R₀) = V(E/R₀) + Ω(S/R₀) ∧ EG
Les calculs détaillés mènent à une expression vectorielle de V(G/R₀) qui dépend de φ̇, θ̇ et des vecteurs unitaires locaux.
II. Cinétique
1. Matrice d'inertie de la plaque au point G dans la base RS
Pour une plaque rectangulaire homogène de masse m, de longueur 2l et de largeur 2a, les moments d'inertie principaux par rapport à son centre d'inertie G et dans un repère RS(G,x,y,z) où l'axe Gx est le long de la largeur et Gy le long de la longueur, sont :
Ixx = (1/3) m a²
Iyy = (1/3) m l²
Izz = Ixx + Iyy = (1/3) m (a² + l²)
La matrice d'inertie est donc diagonale dans cette base.
2. Torseur cinétique T(S/R₀) de la plaque au point G et au point E
Le torseur cinétique au point G est {P, LG}, où :
- La quantité de mouvement est P = m V(G/R₀).
- Le moment cinétique au point G est LG = IG Ω(S/R₀).
Le torseur cinétique au point E, TE(S/R₀), peut être déduit du torseur au point G par la formule de transport :
TE(S/R₀) = {P, LE} avec LE = LG + EG ∧ P
3. Énergie cinétique Ec de la plaque par rapport à R₀
L'énergie cinétique totale de la plaque est la somme de l'énergie cinétique de translation du centre d'inertie et de l'énergie cinétique de rotation propre :
Ec = (1/2) m V(G/R₀)² + (1/2) Ω(S/R₀) ⋅ LG
Après calcul et substitution des expressions de V(G/R₀), Ω(S/R₀) et LG, l'énergie cinétique s'exprime en fonction des vitesses angulaires θ̇ et φ̇, et de l'angle θ :
Ec = (2/3) m l² θ̇² + (1/6) m (a² + 4l² cos²θ) φ̇²
III. Dynamique
1. Théorème du moment dynamique au point E (forme vectorielle)
Le théorème du moment dynamique appliqué au point E stipule que la dérivée temporelle du moment cinétique en E est égale à la somme des moments des forces extérieures appliquées à la plaque par rapport à E :
d(LE/R₀)/dt = Σ ME(Fext)
Les forces extérieures sont le poids P appliqué en G, la réaction RE en E, et la réaction RI appliquée en un point I du côté CD. Le moment de la force RE au point E est nul car RE est appliquée en E.
d(LE/R₀)/dt = EG ∧ P + EI ∧ RI
2. Intégrale première du moment cinétique (projection sur Oz₀)
En projetant le théorème du moment dynamique sur l'axe vertical Oz₀, et en supposant que le moment des forces extérieures par rapport à cet axe est nul (ce qui est souvent le cas pour les forces de réaction si elles sont verticales ou si leur point d'application n'a pas de composante de vitesse horizontale pour les forces de frottement nulles), on peut obtenir une intégrale première.
Si d(LE/R₀)/dt ⋅ Z₀ = 0, alors LE ⋅ Z₀ = Cste.
Cette intégrale première, souvent associée à la conservation de la composante du moment cinétique le long de l'axe Oz₀, prend la forme :
(a² + 4l² cos²θ) φ̇ = Cste (une constante d'intégration)
On en déduit que λ = φ̇ = Cste / (a² + 4l² cos²θ).
3. Théorème de la résultante dynamique et expression de la réaction RE
Le théorème de la résultante dynamique établit que la dérivée temporelle de la quantité de mouvement de la plaque est égale à la somme des forces extérieures :
d(P/R₀)/dt = Σ Fext
P = m V(G/R₀). Les forces extérieures sont le poids P = -mg Z₀, la réaction RE appliquée en E (verticale, RE Z₀) et la réaction RI appliquée en I (située dans le plan horizontal x₀Oy₀, sans composante selon Z₀ si pas de frottement vertical).
En projetant cette équation sur l'axe Oz₀ :
m γ(G/R₀) ⋅ Z₀ = -mg + RE
La réaction RE peut être exprimée en fonction des paramètres du mouvement et de la gravité :
RE = m (γ(G/R₀) ⋅ Z₀ + g)
où γ(G/R₀) ⋅ Z₀ est la composante verticale de l'accélération du centre d'inertie G.
Un calcul détaillé de cette projection fournit : RE = m (l θ̇ cosθ - l φ̇ sinθ + g)
4. Théorème de l'énergie cinétique et équation du mouvement
Le théorème de l'énergie cinétique stipule que la dérivée temporelle de l'énergie cinétique est égale à la puissance des forces extérieures non conservatives (les forces conservatives comme le poids peuvent être incluses via l'énergie potentielle) :
d(Ec/R₀)/dt = Σ P(Fext)
Les points E et I se déplacent sans frottement. Cela signifie que les réactions RE et RI ne travaillent pas (ou leurs puissances sont nulles). Seul le poids P effectue un travail.
P(P) = P ⋅ V(G/R₀) = (-mg Z₀) ⋅ V(G/R₀)
L'énergie potentielle du poids est Ep = mg yG. En prenant l'origine en bas, yG = l sinθ (si l'angle θ est pris par rapport à l'horizontale).
Ainsi, pour un système conservatif : Ec + Ep = Cste.
En utilisant l'expression de Ec et Ep (Ep = -mgl cosθ si θ est l'angle avec la verticale descendante, ou mgl sinθ si θ est l'angle avec l'horizontale et Oy est ascendante), et en la dérivant par rapport au temps, on obtient l'équation du mouvement pour θ. Après substitution de l'intégrale première φ̇ = Cste / (a² + 4l² cos²θ), on obtient une équation différentielle de la forme :
(A + B cos²θ) θ̈ + C sinθ cosθ θ̇² + D sinθ = 0
qui peut être réécrite sous la forme θ̈ = f(θ, θ̇).
Si l'on considère une énergie potentielle Ep = mgl sinθ, l'intégrale première du mouvement est :
(2/3) m l² θ̇² + (1/6) m (a² + 4l² cos²θ) φ̇² + mgl sinθ = Cste
En substituant φ̇ par son expression issue de l'intégrale première du moment cinétique, et en dérivant par rapport au temps, on obtient l'équation du mouvement pour θ, qui est de la forme θ̈ = f(θ, θ̇). Si la question demande spécifiquement θ̈ = f(θ), cela implique une simplification ou un cas particulier où θ̇ n'apparaît pas explicitement ou peut être éliminé.
5. Équations du mouvement par les équations de Lagrange
Pour dériver les équations du mouvement en utilisant les équations de Lagrange, nous définissons le Lagrangien L = Ec - Ep.
Avec Ec = (2/3) m l² θ̇² + (1/6) m (a² + 4l² cos²θ) φ̇² et Ep = mgl sinθ.
Les équations de Lagrange pour les coordonnées généralisées θ et φ sont :
- d/dt (∂L/∂θ̇) - ∂L/∂θ = 0
- d/dt (∂L/∂φ̇) - ∂L/∂φ = 0
La deuxième équation, ∂L/∂φ = 0, conduit à d/dt (∂L/∂φ̇) = 0, ce qui implique ∂L/∂φ̇ = Cste. Cette expression correspond à l'intégrale première du moment cinétique que nous avons trouvée précédemment : (1/3) m (a² + 4l² cos²θ) φ̇ = Cste.
La première équation, pour θ, une fois φ̇ substitué par l'intégrale première, donnera l'équation différentielle du mouvement pour θ, confirmant les résultats obtenus par le théorème de l'énergie cinétique.
Examen de Mécanique du Solide - Université Mohammed V-Agdal (2010)
Dans le plan (x₀Oy₀) d'un repère fixe orthonormé direct galiléen R₀=(O,x₀,y₀,z₀) où Ox désigne la verticale descendante, nous considérons un cerceau (C) de centre C, de rayon a et de masse m, fixe au point O qui effectue un mouvement de rotation autour du point O. Les extrémités d'une barre (AB) homogène, pesante de masse m, de longueur 2l < 2a et de centre d'inertie G, se déplacent sans frottement sur (C). On pose 2α=(AC,CB), θ=(Ox, Ou) et on note par g l'intensité de la pesanteur. On définit deux autres repères intermédiaires orthonormés directs : R₁(O; x, y, z) lié au cerceau (C) tel que x = CG / ||CG||, et R₂(C; u, v, Z₀) lié à la barre (AB) tel que u est un vecteur unitaire. On désigne par ψ l'angle entre les axes Ox₀ et Ox. Tous les résultats devront être exprimés dans la base du repère R₂.
I. Cinématique
1. Vitesses absolues V(G/R₀) et V(A(AB)/R₀)
La vitesse absolue du centre d'inertie G de la barre (AB) est la dérivée temporelle de son vecteur position OG par rapport au repère R₀. Étant donné la rotation du cerceau autour de O et le mouvement de la barre sur le cerceau, V(G/R₀) est une combinaison complexe des vitesses angulaires et des longueurs.
La vitesse absolue du point A de la barre, V(A(AB)/R₀), peut être déterminée en utilisant la formule de composition des vitesses à partir de V(G/R₀) et du vecteur rotation de la barre :
V(A(AB)/R₀) = V(G/R₀) + Ω(AB/R₀) ∧ GA
2. Vitesse absolue V(A(C)/R₀) et vitesse de glissement de la barre sur le cerceau
La vitesse absolue du point A du cerceau, V(A(C)/R₀), est la vitesse du point A considéré comme appartenant au cerceau. Étant donné que le cerceau tourne, V(A(C)/R₀) dépendra de la vitesse angulaire du cerceau.
La vitesse de glissement de la barre (AB) sur le cerceau (C) au point A est la différence entre la vitesse du point A de la barre et la vitesse du point A du cerceau :
Vglissement(A) = V(A(AB)/R₀) - V(A(C)/R₀)
II. Cinétique
1. Torseur cinétique de la barre (AB) au point G
Le torseur cinétique de la barre (AB) au point G par rapport au repère R₀ est T(AB/R₀)G = {P, LG}, où :
- P est la quantité de mouvement de la barre : P = m V(G/R₀).
- LG est le moment cinétique de la barre au point G : LG = IG Ω(AB/R₀), où IG est la matrice d'inertie de la barre au point G.
2. Torseur dynamique de la barre (AB) au point C et énergie cinétique Ec
Le torseur dynamique de la barre (AB) au point C par rapport au repère R₀ est D(AB/R₀)C = {γC, dLC/dt}, où :
- γC est l'accélération du centre d'inertie C : γC = m γ(G/R₀).
- dLC/dt est la dérivée temporelle du moment cinétique au point C.
Le moment cinétique au point C, LC, peut être obtenu par transport de LG : LC = LG + CG ∧ P.
L'énergie cinétique de la barre (AB) est donnée par la formule de Koenig :
Ec = (1/2) m V(G/R₀)² + (1/2) Ω(AB/R₀) ⋅ LG
Cette expression s'écrit comme Ec = (1/2)m (ṙ² + (a θ̇)²) + ...
III. Dynamique
1. Équation du mouvement par le théorème du moment dynamique
En appliquant le théorème du moment dynamique au point C, nous obtenons :
d(LC/R₀)/dt = Σ MC(Fext)
où Σ MC(Fext) est la somme des moments des forces extérieures par rapport au point C. Ces forces incluent le poids de la barre (P = mg x₀) et les réactions RA et RB aux points A et B où la barre glisse sur le cerceau.
Les calculs mènent à une équation différentielle du mouvement de la barre en fonction des angles et de leurs dérivées.
2. Intégrale première du mouvement par le théorème de l'énergie cinétique
Le théorème de l'énergie cinétique stipule que d(Ec/R₀)/dt = Σ P(Fext).
Puisque les extrémités de la barre se déplacent sans frottement sur le cerceau, les forces de réaction RA et RB ne travaillent pas (leur puissance est nulle). Seul le poids est une force conservative et effectue un travail.
Par conséquent, l'énergie mécanique totale (énergie cinétique + énergie potentielle) du système est conservée :
Ec + Ep = Cste
où Ep est l'énergie potentielle due à la gravité. Cette conservation fournit une intégrale première du mouvement.
3. Calcul explicite des réactions RA et RB
Pour calculer explicitement les réactions RA et RB aux points A et B, on utilise le théorème de la résultante dynamique (m γ(G/R₀) = Σ Fext) et les équations de moment dynamique. En projetant ces équations sur les axes appropriés du repère R₂, on obtient des expressions pour RA et RB en fonction des paramètres du système et des dérivées angulaires.
4. Composantes de la réaction R₀ au point de contact O
Pour calculer les composantes de la réaction R₀ au point O, on applique le théorème de la résultante dynamique à l'ensemble du système (cerceau + barre) ou au cerceau seul si ses caractéristiques sont connues. La réaction R₀ est la force exercée par le support fixe sur le cerceau au point O.
Examen de Mécanique du Solide - Université Mohammed V-Agdal (2010-2011)
On considère une tige (AB), homogène, de masse m, de longueur 2a et de centre d'inertie G qui glisse sans frottement à l'intérieur d'un anneau (A) circulaire de centre C et de rayon r. Tout en restant dans le plan vertical (xOy) du repère fixe R(O, x, y, z), l'anneau roule sur l'axe Ox du repère R avec une vitesse angulaire ω constante. On désigne par θ l'angle formé, à chaque instant, entre les vecteurs CG et CI; x l'abscisse du point C sur l'axe Ox; g=-gey, le vecteur accélération de la pesanteur; I le point de contact de l'anneau avec l'axe Ox et (u, v, z) une base orthonormée directe liée à la tige (AB). On pose CG = Lu.
1. Torseur cinématique de la tige (AB) au point G
Le torseur cinématique de la tige (AB) au point G est donné par {Ω(AB/R), V(G/R)} :
- Le vecteur rotation instantané de la tige est Ω(AB/R) = θ̇ z, où z est le vecteur unitaire perpendiculaire au plan (xOy).
- La vitesse du centre d'inertie G de la tige est V(G/R) = ẋC x + L θ̇ v, où ẋC est la vitesse de C le long de Ox, et v est un vecteur unitaire local.
En exprimant la position de G à partir de C (CG = L u), et C à partir de O (OC = xC x + r y si l'anneau est en contact avec Ox en I (xC, r)), la vitesse V(G/R) peut être déterminée par dérivation temporelle : V(G/R) = (ẋC - L θ̇ sinθ) x + (L θ̇ cosθ) y.
2. Moment d'inertie J de la tige (AB) par rapport à son axe Gz
Pour une tige homogène de masse m et de longueur 2a, le moment d'inertie par rapport à un axe perpendiculaire à la tige et passant par son centre d'inertie G (axe Gz) est :
J = (1/3) m a²
3. Torseur dynamique de la tige (AB) au point G
Le torseur dynamique de la tige (AB) au point G est donné par {m γ(G/R), d(LG/R)/dt} :
- Le vecteur accélération du centre d'inertie G est m γ(G/R) = m d(V(G/R))/dt.
- La dérivée temporelle du moment cinétique au point G est d(LG/R)/dt = J θ̈ z.
4. Équation du mouvement par le théorème du moment dynamique au point C
En appliquant le théorème du moment dynamique à la tige (AB) au point C :
d(LC/R)/dt = Σ MC(Fext)
Les forces extérieures sont le poids de la tige P = -mg ey, et les réactions aux points A et B où la tige glisse dans l'anneau. Le moment du poids par rapport à C est MC(P) = CG ∧ P = (L u) ∧ (-mg ey). Les réactions aux points A et B ont des moments nuls par rapport à C si A, C, B sont alignés sur la tige.
L'équation différentielle du mouvement qui en résulte est de la forme :
(J + mL²) θ̈ + mgL sinθ = 0
5. Calcul des réactions de contact RA et RB
Pour calculer les réactions de contact RA et RB aux points A et B, on applique le théorème de la résultante dynamique à la tige (m γ(G/R) = P + RA + RB). En projetant cette équation vectorielle sur les axes appropriés (par exemple u et v liés à la tige), on obtient des équations scalaire. Ces équations, combinées à la relation entre RA, RB et les contraintes de mouvement, permettent de déterminer les réactions.
6. Travaux des forces extérieures sur la tige (AB)
Le travail élémentaire des forces extérieures est δW = P(Fext) dt = Σ Fext ⋅ V(point d'application) dt.
Les forces extérieures sont le poids P et les réactions RA et RB. Puisque la tige glisse sans frottement, les réactions RA et RB sont normales aux surfaces de contact et ne travaillent pas (P(RA) = 0, P(RB) = 0).
Seul le poids P effectue un travail :
δW = P ⋅ V(G/R) dt = (-mg ey) ⋅ V(G/R) dt = -mg (L θ̇ cosθ) dt
7. Équation du mouvement par le théorème de l'énergie cinétique
Le théorème de l'énergie cinétique stipule que d(Ec/R)/dt = Σ P(Fext).
L'énergie cinétique de la tige est Ec = (1/2) m V(G/R)² + (1/2) J θ̇².
Le travail des forces extérieures est uniquement dû au poids, P(P) = -mgL θ̇ cosθ (si l'axe y est ascendant et yG = L sinθ).
En substituant Ec et P(P), et en dérivant, on retrouve l'équation du mouvement :
(J + mL²) θ̈ + mgL sinθ = 0
8. Période des petites oscillations (roulement sans glissement)
Si le roulement de l'anneau sur l'axe Ox s'effectue sans glissement, cela signifie que la vitesse du point de contact I est nulle. V(I/R) = 0. Si l'anneau roule avec une vitesse angulaire constante ω, alors la vitesse de son centre C est constante, ẋC = r ω.
Pour les petites oscillations de la tige (θ petit), sinθ ≈ θ et cosθ ≈ 1.
L'équation du mouvement simplifiée devient :
(J + mL²) θ̈ + mgL θ = 0
Cette équation est celle d'un oscillateur harmonique, avec une pulsation angulaire ωosc donnée par :
ωosc² = mgL / (J + mL²)
La période des petites oscillations est alors :
T = 2π / ωosc = 2π √[(J + mL²) / (mgL)]
Examen de Mécanique du Solide - Université Mohammed V-Agdal (2008-2009)
Soient R₀(O, x, y, z) un repère fixe orthonormé direct et R(O, u, v, z) un repère orthonormé direct obtenu à partir de R₀ par une rotation d'angle θ autour de z. Un disque D de centre C, de masse m et de rayon a roule sans glisser sur l'axe Ou tout en restant dans le plan (Ox, Oy) du repère R₀. On pose OI=ru et (Cx, CP)=φ où I est le point de contact du disque avec l'axe Ou et P un point du disque. On définit le repère orthonormé direct lié au disque par Rd(C, xs, ys, k) avec CP=axs. On note par RI la réaction au point I et on néglige le moment de résistance au roulement. Tous les résultats seront exprimés dans la base (O, u, v, z).
1. Vitesse V(C/R₀) et V(ID/R₀)
Le centre C du disque est situé à une distance a de l'axe Ou et à une distance r de l'origine O le long de Ou. Ainsi, OC = r u + a v.
La vitesse du centre C du disque par rapport à R₀ est :
V(C/R₀) = d(OC)/dt = ṙ u + r θ̇ v + a θ̇ u
Le vecteur rotation du disque par rapport à R₀ est Ω(D/R₀) = θ̇ z + φ̇ k (où k est l'axe de rotation du disque par rapport à lui-même).
La vitesse du point I du disque (ID) par rapport à R₀ est :
V(ID/R₀) = V(C/R₀) + Ω(D/R₀) ∧ CI
Avec CI = -a v, on obtient V(ID/R₀) = (ṙ + aφ̇) u + rθ̇ v.
2. Vitesse de glissement, condition de roulement sans glissement et degré de liberté
La vitesse de glissement du disque D par rapport à l'axe Ou est la différence entre la vitesse du point de contact I du disque (ID) et la vitesse du point de contact I de l'axe Ou (IOu).
V(IOu/R₀) = ṙ u + rθ̇ v
La vitesse de glissement est Vg(D/Ou) = V(ID/R₀) - V(IOu/R₀) = (ṙ + aφ̇) u + rθ̇ v - (ṙ u + rθ̇ v) = aφ̇ u.
La condition de roulement sans glissement est Vg(D/Ou) = 0, ce qui implique :
aφ̇ = 0, donc φ̇ = 0. Cependant, pour un disque roulant, c'est généralement la vitesse du point de contact qui est nulle. Une formulation plus commune est V(ID/R₀) = 0 si l'axe Ou est fixe, ou V(ID/R₀) = V(IOu/R₀). Si l'axe Ou est lui-même mobile (comme le repère R), alors V(IOu/R₀) = ṙ u + rθ̇ v. L'expression `ṙ + a(φ̇ - θ̇) = 0` dans les notes indique une relation entre la translation `r`, la rotation du repère `θ` et la rotation propre du disque `φ`.
Le système a 3 paramètres généralisés (r, θ, φ). Avec la condition de roulement sans glissement (une équation de contrainte), le degré de liberté du système est de 3 - 1 = 2.
3. Vitesses d'entraînement, relative et absolue du point I. Vitesse de glissement et conclusions
La vitesse d'entraînement Ve(ID/R₀) est la vitesse du point I s'il était fixe dans le repère mobile R. Ve(ID/R₀) = V(ID/R). La vitesse relative Vr(ID/R) est la vitesse du point I par rapport au repère mobile R. La vitesse absolue Va(ID/R₀) = Ve(ID/R₀) + Vr(ID/R).
La vitesse absolue de I est V(ID/R₀) = (ṙ + aφ̇) u + rθ̇ v.
La vitesse de glissement Vg(D/Ou) = aφ̇ u.
Conclusion : Si le disque roule sans glisser, alors Vg(D/Ou) = 0, ce qui implique φ̇ = 0. Ceci est une interprétation spécifique où φ est la rotation du disque par rapport au repère R. Si φ est la rotation absolue du disque, la condition serait ṙ + aφ̇ = 0 (si θ=0) ou plus généralement a(φ̇ + θ̇) = 0.
4. Torseur cinétique du disque au point I
Le torseur cinétique du disque au point I est T(D/R₀)I = {P, LI}, où :
- P est la quantité de mouvement de translation du centre d'inertie C : P = m V(C/R₀).
- LI est le moment cinétique du disque au point I. Il peut être calculé par transport : LI = LC + CI ∧ P.
Pour un disque homogène, le moment cinétique propre au centre d'inertie C est LC = IC Ω(D/R₀), où IC est le moment d'inertie du disque par rapport à son axe de rotation (souvent (1/2) m a²).
5. Torseur dynamique du disque au point I
Le torseur dynamique du disque au point I est D(D/R₀)I = {m γ(C/R₀), d(LI/R₀)/dt}, où :
- m γ(C/R₀) est le vecteur résultante dynamique, produit de la masse par l'accélération du centre d'inertie C.
- d(LI/R₀)/dt est le moment dynamique au point I, dérivée temporelle du moment cinétique LI par rapport au repère R₀.
6. Équation du mouvement par le théorème du moment dynamique
En appliquant le théorème du moment dynamique au point I (point de contact) :
d(LI/R₀)/dt = Σ MI(Fext)
Les forces extérieures sont le poids P = -mg y (si y est vertical descendant) et la réaction RI au point I. Le moment de RI au point I est nul. Seul le poids contribue au moment en I.
Le moment du poids par rapport à I est MI(P) = IC ∧ P. Puisque IC = -a v et P = -mg y, MI(P) est non nul si v n'est pas parallèle à y.
L'équation de mouvement est obtenue en substituant LI et en dérivant. Une forme simplifiée peut être obtenue comme :
(3/2) m a² θ̈ + mg a sinθ = 0 (si r=0 et φ̇ = -θ̇).
Plus généralement, l'équation dépend de r, θ et leurs dérivées.
7. Réaction RI au point I par le théorème de la résultante dynamique
Pour déterminer la réaction RI au point I, on applique le théorème de la résultante dynamique au centre d'inertie C du disque :
m γ(C/R₀) = P + RI
où P = -mg y. RI est la réaction du plan sur le disque. En projetant cette équation sur les axes u et v, on obtient les composantes de RI :
RIu = m γ(C/R₀) ⋅ u
RIv = m γ(C/R₀) ⋅ v + mg
8. Deuxième équation du mouvement par le théorème de l'énergie cinétique
Le théorème de l'énergie cinétique stipule que d(Ec/R₀)/dt = Σ P(Fext).
L'énergie cinétique totale du disque est Ec = (1/2) m V(C/R₀)² + (1/2) IC Ω(D/R₀)².
La puissance des forces extérieures est P(P) + P(RI). Pour le roulement sans glissement et sans frottement, P(RI) = 0.
P(P) = P ⋅ V(C/R₀) = (-mg y) ⋅ V(C/R₀).
En utilisant la relation Ec + Ep = Cste pour les forces conservatives, où Ep est l'énergie potentielle du poids (Ep = mg a cosθ ou similaire selon l'orientation des axes).
La dérivation par rapport au temps de l'énergie mécanique conservée fournit une deuxième équation du mouvement, couplant les coordonnées généralisées.
Examen de Mécanique du Solide - Université Mohammed V-Agdal (2008)
On considère une barre (AB) de longueur 2l, de centre d'inertie G et de masse m, soumise à l'action du champ de pesanteur g, en mouvement dans le plan (xOy) d'un repère galiléen orthonormé R(O,x,y,z) où Oy est la verticale ascendante. Les extrémités A et B se déplacent tout en restant en contact respectivement avec l'axe Oy (y>0) et l'axe Ox (x>0). On note par RA et RB les forces de contact respectivement aux points A et B et par μ le coefficient de frottement dynamique. Soient Rs(G, xs, ys, zs) le repère lié à la barre et θ l'angle que fait la barre avec l'axe Ox : θ = (Ox, xs).
1. Position du centre d'inertie G
Le centre d'inertie G est le milieu de la barre. Si les points A et B sont sur les axes Oy et Ox respectivement, alors les coordonnées de A sont (0, yA) et de B sont (xB, 0).
La longueur de la barre est 2l. Par géométrie, yA = 2l sinθ et xB = 2l cosθ.
Les coordonnées de G, milieu de AB, sont :
xG = (0 + xB)/2 = l cosθ
yG = (yA + 0)/2 = l sinθ
Donc, le vecteur position de G est OG = l cosθ x + l sinθ y.
2. Vitesse instantanée de rotation Ω(AB/R)
La barre tourne dans le plan xOy. Le vecteur rotation instantanée de la barre (AB) par rapport au repère R est :
Ω(AB/R) = -θ̇ z
où z est le vecteur unitaire perpendiculaire au plan xOy (selon la règle de la main droite si θ augmente dans le sens anti-horaire).
3. Vitesse du point A et du centre d'inertie G
Le point A est sur l'axe Oy, donc V(A/R) = ẏA y. Avec yA = 2l sinθ, alors ẏA = 2l θ̇ cosθ.
V(A/R) = 2l θ̇ cosθ y
La vitesse du centre d'inertie G peut être obtenue en dérivant le vecteur position OG :
V(G/R) = d(OG)/dt = (-l θ̇ sinθ) x + (l θ̇ cosθ) y
On peut aussi utiliser la formule de composition des vitesses : V(G/R) = V(A/R) + Ω(AB/R) ∧ AG.
4. Torseur cinétique de la barre (AB) au point G
Le torseur cinétique de la barre (AB) au point G est {P, LG} :
- La quantité de mouvement est P = m V(G/R).
- Le moment cinétique au point G est LG = IG Ω(AB/R). Pour une barre homogène de longueur 2l et de masse m, le moment d'inertie par rapport à un axe perpendiculaire à la barre et passant par son centre G est IG = (1/3) m l².
LG = (1/3) m l² (-θ̇ z).
5. Torseur dynamique de la barre (AB) au point G
Le torseur dynamique de la barre (AB) au point G est {m γ(G/R), d(LG/R)/dt} :
- Le vecteur résultante dynamique est m γ(G/R) = m d(V(G/R))/dt.
- Le moment dynamique au point G est d(LG/R)/dt = (1/3) m l² (-θ̈ z).
6. Forces de contact RA et RB par le théorème de la résultante dynamique
Le théorème de la résultante dynamique s'écrit :
m γ(G/R) = P + RA + RB
Le poids P = -mg y (Oy est ascendant). RA agit au point A sur Oy, RB au point B sur Ox.
Avec frottement, RA = NA x + FA y et RB = NB y + FB x, où FA = μ NA et FB = μ NB.
En projetant l'équation sur les axes x et y, on obtient deux équations scalaires permettant de déterminer les composantes des réactions NA, NB, FA, FB en fonction du mouvement de la barre.
7. Équation du mouvement par le théorème du moment dynamique au point A
En appliquant le théorème du moment dynamique au point A :
d(LA/R)/dt = Σ MA(Fext)
LA est le moment cinétique de la barre au point A. Il est lié à LG par LA = LG + AG ∧ P.
Les moments des forces extérieures par rapport à A sont :
- MA(RA) = 0 (RA est appliquée en A).
- MA(RB) = AB ∧ RB.
- MA(P) = AG ∧ P.
En remplaçant et en projetant sur l'axe z, on obtient une équation différentielle du second ordre pour θ, qui décrira le mouvement de la barre, prenant en compte le frottement.
8. Équation du mouvement sans frottement (θ̈ = f(θ))
Si les extrémités A et B de la barre glissent sans frottement, alors les forces de frottement FA et FB sont nulles. Les réactions RA et RB sont alors purement normales : RA = NA x et RB = NB y.
L'équation du mouvement obtenue par le théorème du moment dynamique (ou par Lagrange) se simplifie considérablement. Elle prend la forme :
(4/3) m l² θ̈ + mg l cosθ = 0
D'où :
θ̈ = -(3g / (4l)) cosθ
Dans ce cas, f(θ) = -(3g / (4l)) cosθ.
9. Équation du mouvement par le théorème de l'énergie cinétique (sans frottement)
En l'absence de frottement, les réactions RA et RB ne travaillent pas (leur puissance est nulle). Seul le poids P effectue un travail, qui est une force conservative. Dans ce cas, l'énergie mécanique totale du système est conservée :
Ec + Ep = Cste
L'énergie cinétique est Ec = (1/2) m V(G/R)² + (1/2) IG Ω(AB/R)².
V(G/R)² = (-l θ̇ sinθ)² + (l θ̇ cosθ)² = l² θ̇².
Ec = (1/2) m l² θ̇² + (1/2) (1/3) m l² θ̇² = (2/3) m l² θ̇².
L'énergie potentielle du poids est Ep = mg yG = mg l sinθ (en prenant Oy ascendant et O comme référence pour l'énergie potentielle).
Donc, l'équation de conservation de l'énergie est :
(2/3) m l² θ̇² + mg l sinθ = Cste
En dérivant cette équation par rapport au temps :
(4/3) m l² θ̇ θ̈ + mg l θ̇ cosθ = 0
En simplifiant par m l θ̇ (si θ̇ ≠ 0) :
(4/3) l θ̈ + g cosθ = 0
Ce qui donne :
θ̈ = -(3g / (4l)) cosθ
Ceci confirme l'équation du mouvement obtenue précédemment.
Examen de Mécanique du Solide - Université Mohammed V-Agdal (2011-2012)
Exercice 1 : Champ de vecteurs antisymétrique
Dans le repère R(O, i, J, K), soient A(3,0,0) et B(-1,2,1) deux points de l'espace. Soit M un champ de vecteurs défini par : M(A) = (2, -1, 0) et M(B) = (2, -3, 1).
1. Vérification du champ antisymétrique
Un champ de vecteurs M est dit antisymétrique (ou moment d'un torseur) si pour tout couple de points A et B, le vecteur (M(B) - M(A)) est orthogonal au vecteur AB.
Calculons M(B) - M(A) = (2-2, -3-(-1), 1-0) = (0, -2, 1).
Calculons AB = B - A = (-1-3, 2-0, 1-0) = (-4, 2, 1).
Le produit scalaire (M(B) - M(A)) ⋅ AB = (0)(-4) + (-2)(2) + (1)(1) = 0 - 4 + 1 = -3.
Puisque le produit scalaire est -3 ≠ 0, le champ M n'est pas antisymétrique (ce n'est pas un torseur). La question demande de montrer qu'il est antisymétrique, ce qui suggère que les données pourraient être mal transcrites ou qu'une erreur d'interprétation est possible. En l'état, il ne l'est pas.
2. Détermination de la résultante R
Si le champ était antisymétrique (un torseur), sa résultante R serait un vecteur constant tel que M(B) - M(A) = AB ∧ R. Avec les données actuelles, R ne peut pas être déterminé de cette manière car la condition d'antisymétrie n'est pas satisfaite.
3. Expression de M(P)
Si M était un torseur, alors pour tout point P(x,y,z), M(P) = M(O) + OP ∧ R. Pour cela, il faudrait déterminer R et M(O).
4. Axe central Δ du torseur et moment sur Δ
L'axe central Δ d'un torseur est le lieu des points P où le moment M(P) est parallèle à la résultante R. Si M n'est pas un torseur, cette notion n'est pas applicable.
Exercice 2 : Mouvement d'un cerceau
Dans un plan vertical fixe, un cerceau C, de centre A et de rayon 3a est mobile...
FAQ - Mécanique du Solide
Qu'est-ce qu'un torseur en mécanique du solide ?
Un torseur est un outil mathématique qui permet de représenter simultanément la résultante (somme des forces ou des quantités de mouvement) et le moment (somme des moments des forces ou des moments cinétiques) d'un système de vecteurs. Il est défini par un couple (R, MP) où R est la résultante (un vecteur invariant pour un torseur) et MP est le moment en un point P, qui varie selon la formule de Varignon : MQ = MP + PQ ∧ R. Les torseurs sont couramment utilisés pour décrire les actions mécaniques (forces et moments) et les grandeurs cinématiques et cinétiques des corps solides.
Quel est le principe du théorème de l'énergie cinétique ?
Le théorème de l'énergie cinétique énonce que la variation de l'énergie cinétique d'un système entre deux instants est égale au travail total de toutes les forces extérieures et intérieures agissant sur le système pendant cet intervalle de temps. Sous forme différentielle, il s'écrit dEc/dt = Σ P(Fext) + Σ P(Fint), où P représente la puissance. Pour un corps rigide, les forces intérieures ne travaillent pas. Si toutes les forces extérieures sont conservatives et ne sont pas soumises à des contraintes dissipatives (comme le frottement), l'énergie mécanique totale (cinétique + potentielle) est conservée.
Quand utiliser les équations de Lagrange en dynamique ?
Les équations de Lagrange sont une formulation alternative de la mécanique, basée sur le principe de moindre action, souvent plus simple à utiliser que les lois de Newton pour des systèmes complexes avec des contraintes. Elles sont particulièrement utiles lorsque : 1) Le système a des contraintes holonomes (relations entre les coordonnées généralisées), car les forces de contrainte ne sont pas explicitement introduites, mais sont gérées par le choix des coordonnées généralisées ; 2) Le système est soumis à des forces conservatives, permettant de définir un Lagrangien L = Ec - Ep ; 3) Le système est décrit par plusieurs degrés de liberté, rendant l'approche vectorielle de Newton plus lourde. Les équations de Lagrange sont une série d'équations différentielles du second ordre pour chaque degré de liberté.