Exercices algèbre linéaire suites recurrentes diagonalisatio
Télécharger PDFÉpreuve d'Examen : Algèbre II
Ce document présente une série d'exercices d'algèbre couvrant des concepts fondamentaux tels que les matrices, les suites récurrentes linéaires, les endomorphismes, les valeurs et vecteurs propres, ainsi que la diagonalisation. Il s'agit d'une épreuve conçue pour évaluer la compréhension de ces sujets essentiels en mathématiques.
Exercice 1 : Questions à Choix Multiples (QCM)
Cet exercice est un QCM (Questionnaire à Choix Multiples). Aucune justification n'est demandée. Pour chaque question, une seule affirmation est correcte. Chaque réponse convenable rapporte 1 point, tandis qu'une réponse erronée retire 0,5 point. L'absence de réponse n'est pas pénalisée. Tout total négatif est ramené à 0.
1. Déterminant d'une matrice
On considère la matrice M où a et b sont deux paramètres réels non nuls.
| a | b | b |
| b | a | b |
| a | b | a |
Le déterminant de M est :
- A. (a+b)(a − b)2
- B. (a+b)2(a − b)
- C. (a+b)(a − b)
2. Rang de la matrice M
Le rang de la matrice M est :
- A. rg(M) = 1 si a = −b, 2 si a = b, 3 si a2 ≠ b2
- B. rg(M) = 1 si a = b, 2 si a = −b, 3 si a2 ≠ b2
- C. rg(M) = 1 si a2 = b2, 2 si a = b, 3 si a2 ≠ b2
3. Propriétés d'une matrice diagonalisable N
Soit N une matrice carrée d'ordre 3. On suppose que le spectre de N est {2; 3}, que N est diagonalisable et que sa trace est égale à 7. Alors :
- A. det(N) = 6
- B. det(N) = 18
- C. det(N) = 12
4. Dimensions des sous-espaces propres
On note E2 et E3 les sous-espaces propres associés respectivement aux valeurs propres 2 et 3. Alors :
- A. dim E2 = 1 et dim E3 = 2
- B. dim E2 = 2 et dim E3 = 1
- C. dim E2 = 1 et dim E3 = 1
5. Matrice d'un endomorphisme sur un espace de fonctions
Soit E le sous-espace vectoriel des fonctions numériques d'une variable réelle engendré par la famille B=(f1, f2, f3, f4) où les fonctions fi sont définies par : f1(x) = 1, f2(x) = x, f3(x) = sin(x), f4(x) = cos(x). On considère l'endomorphisme φ : E → E défini pour tout f ∈ E par φ(f) = f + f' + f''. Alors la matrice associée à φ par rapport à la base B est :
- A.
1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 −1 0 0 1 0 - B.
1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 −1 - C.
1 0 0 0 0 1 0 −1 0 0 1 0 0 0 0 0
Exercice 2 : Suites Récurrentes Linéaires et Matrices
Soient a et b des nombres réels. La suite (un)n∈N est définie par u0 = a, u1 = b et, pour tout n ∈ N, un+2 = un+1 + 2un. On considère, pour tout entier n positif ou nul, le vecteur colonne Xn =
| un |
| un+1 |
1. Détermination de la matrice A
Montrer que Xn+1 = AXn, où A est une matrice carrée d'ordre 2 à déterminer.
2. Expression de Xn
En déduire l'égalité Xn = AnX0 pour tout entier n positif.
3. Formule de An par récurrence
Montrer, par récurrence, que pour tout n ∈ N, la matrice An est donnée par :
| (2n+1 + 2(−1)n)/3 | (2n − (−1)n)/3 |
| (2n+1 − 2(−1)n)/3 | (2n+1 + (−1)n)/3 |
4. Formule de un
En déduire une formule donnant la valeur de un en fonction de a, b et n.
Exercice 3 : Étude d'un Endomorphisme de R4
On considère un endomorphisme f de R4 dont la matrice par rapport à la base canonique de R4 est donnée par :
| 2 | 0 | −2 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | −2 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 3 |
1. Valeurs propres et multiplicités
Montrer que l'endomorphisme f admet 3 valeurs propres dont on déterminera les multiplicités.
2. Déterminant et bijectivité
En déduire det(B). L'endomorphisme f est-il bijectif ?
3. Diagonalisabilité
L'endomorphisme f est-il diagonalisable ?
4. Réduction de la matrice
Montrer qu'il existe une base de R4 par rapport à laquelle la matrice de f est :
| 2 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 2 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 3 |
On donnera une matrice de passage.
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'un QCM en algèbre ?
Un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) est un type d'évaluation où l'étudiant choisit une ou plusieurs réponses parmi une liste proposée, sans nécessiter de justification détaillée. Il est souvent utilisé pour évaluer rapidement la compréhension de concepts fondamentaux.
Comment déterminer la matrice A pour une suite récurrente linéaire ?
Pour une suite récurrente linéaire d'ordre 2 comme un+2 = a un+1 + b un, la matrice A transformant le vecteur colonne [un, un+1]T en [un+1, un+2]T est généralement [[0, 1], [b, a]].
Qu'est-ce qu'un endomorphisme diagonalisable ?
Un endomorphisme est dit diagonalisable si sa matrice représentative dans une certaine base est une matrice diagonale. Cela se produit si et seulement si la somme des dimensions de ses sous-espaces propres est égale à la dimension de l'espace vectoriel, ou si le polynôme caractéristique est scindé et, pour chaque valeur propre, la multiplicité algébrique est égale à la multiplicité géométrique.